MathMagic
Contest
AMC/AIME
▾
所有競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
知識點
課程
練習題
訂閱方案
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。未登入可試做 Demo 題；登入後每日可免費練習 5 題。
全部
台灣升學
國際競賽
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
國中
高中
綜合
競賽
全部國際競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
38
題
・第 1／2 頁
清除全部篩選
AMC 12
因式分解技巧（SFFT）・整數解與不定方程
開始練習 →
台南某文具店舉辦集點活動。小芸買了
x
x
x
枝筆和
y
y
y
本筆記本，其中
x
x
x
、
y
y
y
都是正整數。店員告訴她，活動記錄滿足
x
y
+
4
x
+
3
y
=
32
xy+4x+3y=32
x
y
+
4
x
+
3
y
=
32
。請問
x
+
y
x+y
x
+
y
等於多少？
‹
1
2
›
AMC 12
不等式與絕對值
開始練習 →
早餐店老闆量測每顆茶葉蛋的重量，標準重量是
60
60
60
公克，合格品的重量與標準重量相差不超過
4
4
4
公克。若某顆茶葉蛋重量為
x
x
x
公克，則
x
x
x
的範圍為何？
AMC 12
因式分解技巧（SFFT）・整數解與不定方程
開始練習 →
在台南夜市的抽籤小遊戲中，攤主給出兩個正整數暗號
x
x
x
、
y
y
y
，並說它們滿足
x
y
+
5
x
+
2
y
=
18
xy+5x+2y=18
x
y
+
5
x
+
2
y
=
18
。符合條件的有序數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有幾組？
AMC 12
整數解與不定方程
開始練習 →
台南夜市的遊戲攤用兩種代幣記帳。若整數
x
x
x
、
y
y
y
滿足
6
x
+
9
y
=
45
6x+9y=45
6
x
+
9
y
=
45
，且
−
4
≤
x
≤
10
-4\le x\le 10
−
4
≤
x
≤
10
，則共有多少組整數解
(
x
,
y
)
\left(x,y\right)
(
x
,
y
)
？
AMC 12
整數解與不定方程
開始練習 →
台南某早餐店推出兩種集點貼紙：紅貼紙每張折抵
8
8
8
元，藍貼紙每張折抵
13
13
13
元。店員整理紀錄時，只知道某天兩種貼紙折抵總額為
94
94
94
元，且紅貼紙張數
x
x
x
滿足
0
≤
x
≤
12
0 \le x \le 12
0
≤
x
≤
12
，藍貼紙張數
y
y
y
滿足
0
≤
y
≤
10
0 \le y \le 10
0
≤
y
≤
10
。共有多少組整數解
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
符合
8
x
+
13
y
=
94
8x+13y=94
8
x
+
13
y
=
94
？
AMC 12
對數
開始練習 →
台北捷運站的電子置物櫃設定一組正數密碼
x
x
x
，螢幕顯示它必須滿足
log
3
(
x
−
2
)
+
log
3
(
x
+
2
)
=
2
\log_3(x-2)+\log_3(x+2)=2
lo
g
3
(
x
−
2
)
+
lo
g
3
(
x
+
2
)
=
2
。請問
x
x
x
的值為何？
AMC 12
不等式與絕對值
開始練習 →
晨瑄在台南早餐店買蘿蔔糕，店家用折價券後的付款金額以整數
x
x
x
元記錄。若付款金額必須滿足
∣
2
x
−
70
∣
≤
10
|2x-70|\le 10
∣2
x
−
70∣
≤
10
，則
x
x
x
的可能範圍為何？
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄某飲料店用函數
f
(
x
)
=
3
x
−
2
f(x)=3x-2
f
(
x
)
=
3
x
−
2
表示調整後的甜度分數，另用
g
(
x
)
=
x
+
4
g(x)=x+4
g
(
x
)
=
x
+
4
表示先加上活動加分。若店長先使用
g
g
g
，再使用
f
f
f
，則
(
f
∘
g
)
−
1
(
16
)
\left(f\circ g\right)^{-1}(16)
(
f
∘
g
)
−
1
(
16
)
的值是多少？
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
士林夜市一攤販整理贈品貼紙，小包每包
8
8
8
張，大包每包
13
13
13
張。當天小包的淨增量
x
x
x
可為負數表示退回，大包的淨增量
y
y
y
可為
0
0
0
。若淨增加貼紙總數為
104
104
104
張，且
−
15
≤
x
≤
20
-15\le x\le20
−
15
≤
x
≤
20
、
0
≤
y
≤
10
0\le y\le10
0
≤
y
≤
10
，問滿足條件的整數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
有幾組？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
嘉義文化路夜市的三個攤位分別記為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。已知
A
B
=
8
AB=8
A
B
=
8
公尺，
A
C
=
7
AC=7
A
C
=
7
公尺，且走道夾角
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。若從
B
B
B
直接走到
C
C
C
，距離是多少公尺？
AMC 12
對數
開始練習 →
台南一間手搖飲店設計集點活動，店長把今日的通關數字設為正整數
x
x
x
，並寫下條件：
log
2
(
x
−
1
)
=
1
log
6
2
\log_2(x-1)=\frac{1}{\log_6 2}
lo
g
2
(
x
−
1
)
=
l
o
g
6
2
1
。求
x
x
x
的值。
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
在台南一個小公園中，阿哲從涼亭
P
P
P
出發，沿著兩條筆直步道分別走到咖啡攤
A
A
A
與冰店
B
B
B
。已知
P
A
=
8
PA=8
P
A
=
8
公尺，
P
B
=
10
PB=10
P
B
=
10
公尺，且兩條步道的夾角
∠
A
P
B
=
120
∘
\angle APB=120^\circ
∠
A
P
B
=
12
0
∘
。若要直接從咖啡攤
A
A
A
走到冰店
B
B
B
，直線距離
A
B
AB
A
B
為多少公尺？
AMC 12
對稱式與代數恆等式・二次函數與拋物線
開始練習 →
小涵在高雄輕軌站旁買紀念票，票背面的兩個暗碼
x
x
x
、
y
y
y
是二次方程式
t
2
−
11
t
+
24
=
0
t^2-11t+24=0
t
2
−
11
t
+
24
=
0
的兩根。若兌換碼定義為
x
3
+
y
3
x^3+y^3
x
3
+
y
3
，請問兌換碼是多少？
AMC 12
二次函數與拋物線
開始練習 →
台南某飲料店推出芒果冰沙。原本每杯售價
50
50
50
元時，一天可賣
120
120
120
杯。店長估計售價每提高
1
1
1
元，一天會少賣
4
4
4
杯；每杯成本為
30
30
30
元。若提高的金額為非負整數，且不考慮其他成本，則一天利潤最大時，每杯售價應為多少元？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在平面座標上，嘉義火車站前廣場有一個圓形花圃，其邊界方程式為
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
x^2+y^2-8x+6y-11=0
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
。小晴站在點
P
(
2
,
1
)
P(2,1)
P
(
2
,
1
)
，想沿著一條直線走向花圃中心
C
C
C
。通過
P
P
P
與
C
C
C
的直線方程式為何？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南某校園的三個打卡點
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
形成三角形。已知
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公尺、
A
C
=
9
AC=9
A
C
=
9
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。若學生從
B
B
B
直接走到
C
C
C
，距離
B
C
BC
B
C
為多少公尺？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南某夜市的平面地圖上，以入口服務台為原點，兩個垃圾桶位置分別為
A
(
2
,
−
1
)
A(2,-1)
A
(
2
,
−
1
)
與
B
(
8
,
7
)
B(8,7)
B
(
8
,
7
)
。若清潔人員規劃一個圓形巡查範圍，使得
A
B
AB
A
B
是這個圓的直徑，則此圓的方程式為何？
AMC 12
整數解與不定方程
開始練習 →
嘉義夜市在臨時攤位圖上用整數座標標記攤位，服務台為原點，往東與往北分別為
x
x
x
、
y
y
y
的正方向。某條照明線經過的格點滿足
18
x
+
30
y
=
126
18x+30y=126
18
x
+
30
y
=
126
。若可設攤的區域限制為
−
10
≤
x
≤
20
-10\le x\le 20
−
10
≤
x
≤
20
且
−
8
≤
y
≤
12
-8\le y\le 12
−
8
≤
y
≤
12
，共有多少個整數座標攤位可能落在這條照明線上？
AMC 12
遞迴與路徑計數
開始練習 →
在台南一條用方格地磚鋪成的小巷中，小芸從路口
S
S
S
走到甜點店
T
T
T
。把
S
S
S
設為座標
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
，
T
T
T
設為
(
6
,
5
)
(6,5)
(
6
,
5
)
。她每一步只能往東或往北走一格，且不能經過施工中的兩個路口
(
2
,
2
)
(2,2)
(
2
,
2
)
與
(
4
,
3
)
(4,3)
(
4
,
3
)
。請問她共有多少種最短走法？
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一間飲料店用函數描述點數兌換規則。原本規則為
f
(
x
)
=
2
x
+
5
f(x)=2x+5
f
(
x
)
=
2
x
+
5
，新活動規則
g
g
g
是把
f
f
f
的圖形向左平移
3
3
3
單位，再向下平移
4
4
4
單位後得到。若
h
h
h
是
g
g
g
的反函數，則
(
h
∘
f
)
(
7
)
(h\circ f)(7)
(
h
∘
f
)
(
7
)
的值是多少？
AMC 12
幾何機率・基礎機率
開始練習 →
新竹一間早餐店在早上尖峰時段很忙。承恩會在
7
:
00
7:00
7
:
00
到
7
:
24
7:24
7
:
24
之間隨機到店，品瑜會在
7
:
00
7:00
7
:
00
到
7
:
30
7:30
7
:
30
之間隨機到店，且兩人的到達時間彼此獨立且均勻分布。若兩人到達時間相差不超過
6
6
6
分鐘，就算在店裡遇到。請問他們遇到的機率是多少？
AMC 12
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台中某手搖飲店辦桌遊活動，
6
6
6
位高中生甲、乙、丙、丁、戊、己與
2
2
2
位老師林老師、王老師共
8
8
8
人圍坐一張圓桌。若甲、乙必須相鄰，且兩位老師不可相鄰，則共有幾種不同坐法？旋轉後相同的坐法視為同一種，左右鏡像不同。
AMC 12
幾何機率・基礎機率
開始練習 →
週六下午，小霖和阿捷約在台南火車站附近的一間豆花店碰面。兩人各自獨立且等可能地在
14
:
00
14:00
14
:
00
到
14
:
30
14:30
14
:
30
之間到達。先到的人只等
10
10
10
分鐘，若對方還沒到就離開。已知小霖到達時間不早於
14
:
05
14:05
14
:
05
，則兩人成功碰面的機率為何？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
新竹一處夜市有三個攤位
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。阿庭量得
A
B
=
40
AB=40
A
B
=
40
公尺、
A
C
=
25
AC=25
A
C
=
25
公尺，且從攤位
A
A
A
看向
B
B
B
與
C
C
C
的夾角為
120
∘
120^\circ
12
0
∘
。若要直接從
B
B
B
走到
C
C
C
，距離
B
C
BC
B
C
為多少公尺？
AMC 12
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南某早餐店有
8
8
8
位不同的學生圍坐在一張圓桌旁，轉動後相同視為同一種坐法，左右翻轉視為不同。若阿廷與小芸必須相鄰，而小凱與阿蓉不能相鄰，則共有多少種坐法？
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中逢甲夜市某射氣球攤整理兌換券庫存，把本週甲券的淨增加張數記為整數
x
x
x
，乙券的淨增加張數記為整數
y
y
y
；負數表示本週用掉的比補進的多。甲券每張代表
18
18
18
點，乙券每張代表
30
30
30
點。若總點數淨增加
114
114
114
點，且
−
12
≤
x
≤
16
-12 \le x \le 16
−
12
≤
x
≤
16
、
−
8
≤
y
≤
14
-8 \le y \le 14
−
8
≤
y
≤
14
，則可能的整數序對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有幾種？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南夜市的平面導覽圖上，鹽酥雞攤位在
P
(
1
,
2
)
P(1,2)
P
(
1
,
2
)
，珍珠奶茶攤位在
Q
(
7
,
6
)
Q(7,6)
Q
(
7
,
6
)
。有一條圓形散步路線通過這兩個攤位，且圓心位在直線
y
=
x
+
1
y=x+1
y
=
x
+
1
上。這條圓形路線的方程式為何？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南夜市的兩個攤位
A
A
A
、
B
B
B
相距
7
7
7
公尺。小恩站在位置
C
C
C
，量得
C
A
=
5
CA=5
C
A
=
5
公尺，且
∠
A
C
B
=
120
∘
\angle ACB=120^\circ
∠
A
C
B
=
12
0
∘
。若三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
表示這三個位置圍成的區域，則其面積為多少平方公尺？
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市某攤位盤點雲端訂單時，發現蔥抓餅每份
42
42
42
元、冬瓜茶每杯
30
30
30
元的數量需要修正。令
x
x
x
表示蔥抓餅的淨修正份數，
y
y
y
表示冬瓜茶的淨修正杯數；正數代表補登，負數代表扣回，
0
0
0
代表不變。若總金額需增加
210
210
210
元，且系統允許
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
、
−
14
≤
y
≤
35
-14 \le y \le 35
−
14
≤
y
≤
35
，共有幾組整數
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
嘉義文化路夜市的簡化座標圖中，每一格代表相同距離。小昕要在兩個攤位
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
與
B
(
5
,
6
)
B(5,6)
B
(
5
,
6
)
之間設計一個圓形打卡區，圓周必須通過這兩個攤位，且圓心要落在服務動線
x
+
2
y
=
7
x+2y=7
x
+
2
y
=
7
上。下列哪一個可能是這個圓形打卡區的圓方程？