MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1357
題
・第 40／46 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
圓錐曲線（截痕概念）・二次函數與拋物線
開始練習 →
桃園一個戶外展場用 AR 導覽標出「離服務台
F
F
F
的直線距離，永遠等於離直線走道
l
l
l
的最短距離」的地面點，其中服務台
F
F
F
不在走道
l
l
l
上。若把這些點連成一條曲線，並和圓錐截痕概念連結，下列哪項正確？
分科測驗（數學甲）
‹
1
…
39
40
41
…
46
›
積分應用（面積與體積）・黎曼和與定積分
開始練習 →
某高中數學研究社為校慶製作壓克力立牌，立牌側面的輪廓畫在座標平面上（單位：公分）：它是由曲線
y
=
x
2
−
3
x
+
2
y=x^2-3x+2
y
=
x
2
−
3
x
+
2
、
x
x
x
軸，以及兩條鉛直線
x
=
0
x=0
x
=
0
與
x
=
3
x=3
x
=
3
所圍成的區域（如圖中的灰色部分）。若要估算所需的壓克力板材，須先知道這塊輪廓的面積。試問灰色部分的總面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
如圖，兩圓
C
1
:
2
x
2
+
2
y
2
−
12
x
−
4
y
−
30
=
0
C_1:2x^2+2y^2-12x-4y-30=0
C
1
:
2
x
2
+
2
y
2
−
12
x
−
4
y
−
30
=
0
與
C
2
:
3
x
2
+
3
y
2
+
6
x
−
18
y
−
18
=
0
C_2:3x^2+3y^2+6x-18y-18=0
C
2
:
3
x
2
+
3
y
2
+
6
x
−
18
y
−
18
=
0
相交於相異兩點
A
A
A
、
B
B
B
。公共弦
A
B
AB
A
B
所在直線的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
校慶數學社設計闖關卡時，卡片上印有
M
=
5
sin
68
∘
cos
68
∘
sin
68
∘
cos
24
∘
−
cos
68
∘
sin
24
∘
M=\frac{5\sin68^\circ\cos68^\circ}{\sin68^\circ\cos24^\circ-\cos68^\circ\sin24^\circ}
M
=
s
i
n
6
8
∘
c
o
s
2
4
∘
−
c
o
s
6
8
∘
s
i
n
2
4
∘
5
s
i
n
6
8
∘
c
o
s
6
8
∘
，則
M
M
M
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
小涵用電腦繪圖軟體設計一張平行四邊形的貼紙，在座標平面上依序標出頂點
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
、
B
(
7
,
3
)
B(7,3)
B
(
7
,
3
)
、
C
(
5
,
y
)
C(5,y)
C
(
5
,
y
)
，如圖，再補上第四個頂點
D
D
D
，使
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
為平行四邊形。已知
C
C
C
點位於第一象限，且平行四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積為
26
26
26
，則
D
D
D
點坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
屏東某農場溫室內的自動遮光系統使光照強度呈週期變化。感測器顯示光照強度的基準線為
500
500
500
勒克斯，振幅為
120
120
120
勒克斯，每
8
8
8
小時完成一個循環；且在上午
2
2
2
時剛好通過基準線並開始增加。令
t
t
t
為上午
0
0
0
時後經過的小時數，光照強度為
L
(
t
)
L(t)
L
(
t
)
勒克斯。下列模型何者符合？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
一條筆直道路以某處為原點建立位置座標，兩個物資領取站的位置分別為
x
=
−
5
x=-5
x
=
−
5
與
x
=
7
x=7
x
=
7
。管理系統要以方程式
∣
a
x
+
b
∣
=
24
|ax+b|=24
∣
a
x
+
b
∣
=
24
表示這兩個位置，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
。則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
某外送路線在方格地圖上以一般式
2
x
−
3
y
−
12
=
0
2x-3y-12=0
2
x
−
3
y
−
12
=
0
表示，且通過定位點
P
(
9
,
2
)
P(9,2)
P
(
9
,
2
)
。下列哪一組截距式與以
P
P
P
為基準的點斜式都正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，某公園有一座以
O
O
O
為圓心、半徑
1
1
1
公尺的圓形花圃，花圃邊緣上裝了三支灑水頭
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其位置滿足
3
O
A
⃗
+
4
O
B
⃗
+
5
O
C
⃗
=
0
⃗
3\vec{OA}+4\vec{OB}+5\vec{OC}=\vec{0}
3
O
A
+
4
O
B
+
5
O
C
=
0
。試問內積
O
A
⃗
⋅
O
C
⃗
\vec{OA}\cdot\vec{OC}
O
A
⋅
O
C
之值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
雲林一座農場的自動灑水器左右擺動。噴頭相對中央方向的角度介於
−
30
∘
-30^\circ
−
3
0
∘
與
30
∘
30^\circ
3
0
∘
之間，且角度隨時間呈餘弦曲線（簡諧擺動）變化，每
20
20
20
秒完成一次往返。計時開始時，噴頭位於
30
∘
30^\circ
3
0
∘
並朝中央方向移動。計時後第一次到達
15
∘
15^\circ
1
5
∘
時，經過多少秒？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・平面向量
開始練習 →
台中河濱公園規畫一塊三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
60
AB=60
A
B
=
60
公尺、
A
C
=
75
AC=75
A
C
=
75
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。步道入口
D
D
D
位於邊
B
C
BC
B
C
上，並滿足
B
D
:
D
C
=
2
:
3
BD:DC=2:3
B
D
:
D
C
=
2
:
3
。若要鋪設一條由
A
A
A
直達
D
D
D
的筆直步道，則步道長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・對數函數與對數方程
開始練習 →
某社區透過住戶群組傳播停水通知。通知發布後
t
t
t
小時，已得知通知的住戶百分比為
100
(
1
−
2
−
k
t
)
%
100(1-2^{-kt})\%
100
(
1
−
2
−
k
t
)
%
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
為常數。發布後
6
6
6
小時，已有
75
%
75\%
75%
的住戶得知通知。從此時起，還需要多少小時，已得知通知的住戶才會達到
94
%
94\%
94%
？以下
log
\log
lo
g
均為常用對數。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
宜蘭河濱自行車道的維修站
P
P
P
分別有直線支道通往閘門
A
A
A
與
B
B
B
。已知
P
A
=
5
PA=5
P
A
=
5
公里、
P
B
=
8
PB=8
P
B
=
8
公里，兩支道從
P
P
P
出發的方向夾角為
120
∘
120^\circ
12
0
∘
。若要沿直線新建一條連接兩閘門的巡查道，則巡查道
A
B
AB
A
B
的長度為多少公里？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・三角函數與和差角
開始練習 →
如圖，以
y
=
sin
x
y=\sin x
y
=
sin
x
的圖形為起點，分別依下列順序作變換。 甲：向左平移
π
6
\frac{\pi}{6}
6
π
，將橫坐標乘以
1
2
\frac{1}{2}
2
1
，向上平移
1
1
1
，將縱坐標乘以
3
3
3
。 乙：將橫坐標乘以
1
2
\frac{1}{2}
2
1
，向左平移
π
6
\frac{\pi}{6}
6
π
，將縱坐標乘以
3
3
3
，向上平移
1
1
1
。 將乙所得的整個圖形再作哪一組平移，會與甲所得的圖形完全重合？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・二次函數與拋物線
開始練習 →
一家手搖飲店試賣新飲品，店長記錄每杯售價
x
x
x
元時，每日利潤可用函數
P
(
x
)
=
−
2
x
2
+
260
x
−
7200
P(x)=-2x^2+260x-7200
P
(
x
)
=
−
2
x
2
+
260
x
−
7200
表示，其中
40
≤
x
≤
90
40\le x\le 90
40
≤
x
≤
90
。若店長想讓每日利潤最大，售價應訂為多少元？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・整數解與不定方程
開始練習 →
彰化某班園遊會把
12
12
12
張完全相同的折價券分給甲、乙、丙、丁
4
4
4
個攤位，規定甲至少拿
2
2
2
張、乙至少拿
1
1
1
張，丙與丁可以不拿。只看各攤位拿到的張數，共有幾種分法？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
某三角形公園的三個入口為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，三條中線交於
G
G
G
。由
A
A
A
出發的中線與
B
C
BC
B
C
交於
H
H
H
。已知
A
G
=
8
AG=8
A
G
=
8
公尺、
G
B
=
6
GB=6
GB
=
6
公尺、
G
C
=
10
GC=10
GC
=
10
公尺，則
B
C
BC
B
C
長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
x
x
x
為實數，連立不等式
{
(
x
+
2
)
(
x
−
4
)
≤
0
(
x
−
1
)
(
x
−
6
)
>
0
\begin{cases}(x+2)(x-4)\le 0\\(x-1)(x-6)>0\end{cases}
{
(
x
+
2
)
(
x
−
4
)
≤
0
(
x
−
1
)
(
x
−
6
)
>
0
的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某市區地圖以同一比例建立平面座標，一條道路邊線的方程式為
5
x
+
12
y
=
k
5x+12y=k
5
x
+
12
y
=
k
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
。已知便利商店所在位置
P
(
1
,
1
)
P(1,1)
P
(
1
,
1
)
到這條道路邊線的距離為
2
2
2
，則
k
k
k
為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台中捷運站前有
7
7
7
位同學排成一列買飲料，其中阿倫與品妤想站相鄰，且柏翰與宥廷不想站相鄰。若
7
7
7
位同學都不同，符合條件的排法共有幾種？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
公園中兩條直線步道的中心線交於
P
(
1
,
1
)
P(1,1)
P
(
1
,
1
)
，其中一條角平分線為
L
:
2
x
−
y
−
1
=
0
L:2x-y-1=0
L
:
2
x
−
y
−
1
=
0
。定位點
Q
(
t
,
t
+
4
)
Q(t,t+4)
Q
(
t
,
t
+
4
)
位在另一條角平分線上，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某河濱公園的導覽圖以涼亭
O
O
O
為原點，向東為正
x
x
x
軸、向北為正
y
y
y
軸，每一座標單位代表一公尺。自行車架
A
A
A
距離
O
O
O
為
6
6
6
公尺，且射線
O
A
OA
O
A
從正
x
x
x
軸逆時針旋轉
150
∘
150^\circ
15
0
∘
。已知
A
A
A
與另一座自行車架
B
B
B
的中點為
M
=
(
1
,
2
)
M=(1,2)
M
=
(
1
,
2
)
，則
B
B
B
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
高雄某夜市設置一個圓形招牌，圓心為
O
O
O
。從招牌外一點
P
P
P
拉兩條切線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。已知半徑
O
A
=
12
OA=12
O
A
=
12
公分，且
O
P
=
20
OP=20
O
P
=
20
公分，若要在兩段切線
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
上裝等長燈條，兩段燈條總長為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
方程式
2
log
2
(
x
−
1
)
−
log
2
(
x
+
3
)
=
1
2\log_2(x-1)-\log_2(x+3)=1
2
lo
g
2
(
x
−
1
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
=
1
的實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
log
12
=
a
\log 12=a
lo
g
12
=
a
、
log
18
=
b
\log 18=b
lo
g
18
=
b
，則
log
24
\log 24
lo
g
24
以
a
,
b
a,b
a
,
b
表示為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
某校園福利社的電子置物櫃取件編號為正整數
N
N
N
，且滿足
log
N
+
log
2
1
+
2
log
2
3
=
5
\log N+\log_2 1+2^{\log_2 3}=5
lo
g
N
+
lo
g
2
1
+
2
l
o
g
2
3
=
5
。則
N
N
N
為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・三角函數與和差角
開始練習 →
某捷運站以
0
≤
x
≤
1
0\leq x\leq1
0
≤
x
≤
1
表示一段設備測試時間，兩個感測訊號為
f
(
x
)
=
2
cos
(
5
x
+
3
)
−
1
f(x)=2\cos(5x+3)-1
f
(
x
)
=
2
cos
(
5
x
+
3
)
−
1
與
g
(
x
)
=
3
tan
(
2
π
x
)
g(x)=3\tan(2\pi x)
g
(
x
)
=
3
tan
(
2
π
x
)
。下列關於這段測試時間內的訊號值域及失效時刻之敘述，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義市的圓形夜跑路線上，打卡點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
在同一段較短圓弧上依序排列，圓心為
O
O
O
。量得
∠
A
O
C
=
128
∘
\angle AOC=128^\circ
∠
A
O
C
=
12
8
∘
。另一個打卡點
D
D
D
在
A
A
A
到
C
C
C
的另一段較長圓弧上。攝影機放在
D
D
D
，拍攝方向分別對準
A
A
A
、
C
C
C
，求視角
∠
A
D
C
\angle ADC
∠
A
D
C
。
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
設平面向量
u
⃗
\vec u
u
、
v
⃗
\vec v
v
滿足
∣
u
⃗
∣
=
∣
v
⃗
∣
=
3
|\vec u|=|\vec v|=3
∣
u
∣
=
∣
v
∣
=
3
。如圖，
v
⃗
−
u
⃗
\vec v-\vec u
v
−
u
與
u
⃗
\vec u
u
的夾角為
150
∘
150^\circ
15
0
∘
，則
u
⃗
⋅
v
⃗
\vec u\cdot\vec v
u
⋅
v
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
阿里山步道管理員在相距
100
100
100
公尺的觀測點
A
A
A
、
B
B
B
發現迷途遊客位於
T
T
T
。測得
∠
T
A
B
=
30
∘
\angle TAB=30^\circ
∠
T
A
B
=
3
0
∘
，且
∠
A
B
T
=
45
∘
\angle ABT=45^\circ
∠
A
B
T
=
4
5
∘
。假設三點位於同一水平面，則遊客與觀測點
B
B
B
的直線距離
B
T
BT
B
T
為多少公尺？