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大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 46／53 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
已知
α
\alpha
α
、
β
\beta
β
均為銳角，且
0
∘
<
2
β
<
90
∘
0^\circ<2\beta<90^\circ
0
∘
<
2
β
<
9
0
∘
、
α
+
β
<
90
∘
\alpha+\beta<90^\circ
α
+
β
<
9
0
∘
。若
tan
(
α
+
β
)
=
3
4
\tan(\alpha+\beta)=\frac{3}{4}
tan
(
α
+
β
)
=
4
3
，
tan
(
2
β
)
=
5
6
\tan(2\beta)=\frac{5}{6}
tan
(
2
β
)
=
6
5
，則
tan
(
α
−
β
)
\tan(\alpha-\beta)
tan
(
α
−
β
)
之值為何？
‹
1
…
45
46
47
…
53
›
國小數學
立體幾何
開始練習 →
如圖，將邊長為
1
1
1
公分的小正方體緊密堆成一個長、深、高分別為
3
3
3
公分、
2
2
2
公分、
3
3
3
公分的長方體，再從正面中央取走一個小正方體，形成深度為
1
1
1
公分的凹槽，其餘小正方體的位置不變。所得立體的表面積為多少平方公分？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，社區圓形廣場邊緣設有四個燈座
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，兩條直線燈帶形成等長弦
A
B
AB
A
B
與
C
D
CD
C
D
。已知劣弧
A
B
^
\widehat{AB}
A
B
的度數為
(
3
x
+
14
)
∘
(3x+14)^\circ
(
3
x
+
14
)
∘
，優弧
C
D
^
\widehat{CD}
C
D
的度數為
(
5
x
+
210
)
∘
(5x+210)^\circ
(
5
x
+
210
)
∘
，則
x
x
x
為何？
國中教育會考
多邊形與正多邊形
開始練習 →
捷運站出口前要鋪設一圈正九邊形裝飾磚。若每片磚的形狀都是正九邊形，單片磚的一個內角是多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
如圖，圓系
C
k
:
(
k
+
2
)
(
x
2
+
y
2
)
+
(
2
k
−
1
)
x
+
(
2
k
−
1
)
y
−
14
k
−
18
=
0
C_k:(k+2)(x^2+y^2)+(2k-1)x+(2k-1)y-14k-18=0
C
k
:
(
k
+
2
)
(
x
2
+
y
2
)
+
(
2
k
−
1
)
x
+
(
2
k
−
1
)
y
−
14
k
−
18
=
0
中的所有圓均通過兩個相異定點
A
A
A
、
B
B
B
，其中
k
>
−
2
k>-2
k
>
−
2
。直線
A
B
AB
A
B
的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
花蓮車站伴手禮架上要排
10
10
10
盒商品：
5
5
5
盒相同鳳梨酥、
3
3
3
盒相同麻糬、
2
2
2
盒相同牛軋糖。店員要求
2
2
2
盒牛軋糖必須相鄰，且任兩盒麻糬不可相鄰。符合條件的一列排法共有幾種？
國中教育會考
數線與絕對值
開始練習 →
校慶園遊會的計分程式以實數
x
x
x
與
k
k
k
記錄兩項校正量，通過條件為
∣
x
−
2
∣
+
∣
2
x
−
k
∣
=
0
|x-2|+|2x-k|=0
∣
x
−
2∣
+
∣2
x
−
k
∣
=
0
。若有人通過，則
k
k
k
必為何值？
國小數學
立體幾何
開始練習 →
如圖為
n
n
n
角柱的結構示意。某校園遊會燈籠的外形為
n
n
n
角柱，其頂點數比面數多
8
8
8
。這個燈籠共有多少條邊？
大學學科能力測驗（數學）
圓錐曲線（截痕概念）・二次函數與拋物線
開始練習 →
桃園一個戶外展場用 AR 導覽標出「離服務台
F
F
F
的直線距離，永遠等於離直線走道
l
l
l
的最短距離」的地面點，其中服務台
F
F
F
不在走道
l
l
l
上。若把這些點連成一條曲線，並和圓錐截痕概念連結，下列哪項正確？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）・黎曼和與定積分
開始練習 →
某高中數學研究社為校慶製作壓克力立牌，立牌側面的輪廓畫在座標平面上（單位：公分）：它是由曲線
y
=
x
2
−
3
x
+
2
y=x^2-3x+2
y
=
x
2
−
3
x
+
2
、
x
x
x
軸，以及兩條鉛直線
x
=
0
x=0
x
=
0
與
x
=
3
x=3
x
=
3
所圍成的區域（如圖中的灰色部分）。若要估算所需的壓克力板材，須先知道這塊輪廓的面積。試問灰色部分的總面積為多少平方公分？
國中教育會考
二次函數與拋物線・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
a
a
a
為實數。若關於
x
x
x
的方程式
(
a
−
1
)
x
2
−
4
x
+
a
+
2
=
0
(a-1)x^2-4x+a+2=0
(
a
−
1
)
x
2
−
4
x
+
a
+
2
=
0
恰有一個相異實數解，則所有符合條件的
a
a
a
值所成的集合為何？
國中教育會考
多項式與因式餘式定理・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
已完成檢驗的十字交乘配置如圖。將此配置所對應的兩個因式相乘，再整理成兩個括號內的
x
x
x
項係數皆為正、括號外提出一個負號的形式，結果為下列何者？
國中教育會考
容斥原理・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
連鎖飲料店發出編號
1
1
1
到
120
120
120
的電子優惠券，其中只有符合
gcd
(
n
,
30
)
=
1
\gcd(n,30)=1
g
cd
(
n
,
30
)
=
1
的編號可以兌換贈品。共有多少張優惠券可以兌換？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
如圖，兩圓
C
1
:
2
x
2
+
2
y
2
−
12
x
−
4
y
−
30
=
0
C_1:2x^2+2y^2-12x-4y-30=0
C
1
:
2
x
2
+
2
y
2
−
12
x
−
4
y
−
30
=
0
與
C
2
:
3
x
2
+
3
y
2
+
6
x
−
18
y
−
18
=
0
C_2:3x^2+3y^2+6x-18y-18=0
C
2
:
3
x
2
+
3
y
2
+
6
x
−
18
y
−
18
=
0
相交於相異兩點
A
A
A
、
B
B
B
。公共弦
A
B
AB
A
B
所在直線的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
校慶數學社設計闖關卡時，卡片上印有
M
=
5
sin
68
∘
cos
68
∘
sin
68
∘
cos
24
∘
−
cos
68
∘
sin
24
∘
M=\frac{5\sin68^\circ\cos68^\circ}{\sin68^\circ\cos24^\circ-\cos68^\circ\sin24^\circ}
M
=
s
i
n
6
8
∘
c
o
s
2
4
∘
−
c
o
s
6
8
∘
s
i
n
2
4
∘
5
s
i
n
6
8
∘
c
o
s
6
8
∘
，則
M
M
M
的值為何？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，
J
J
J
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的內心，
E
E
E
為
△
J
B
C
\triangle JBC
△
J
B
C
的內心。若
∠
B
E
C
\angle BEC
∠
B
E
C
比
∠
B
J
C
\angle BJC
∠
B
J
C
大
32
∘
32^\circ
3
2
∘
，則
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
為多少？
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
學校整理一批圖書，原訂每天由
8
8
8
位志工工作，需
12
12
12
天完成。依原安排工作
3
3
3
天後，從第
4
4
4
天起每天增加
4
4
4
位志工，直到完成。每位志工每天的工作時間及效率皆相同，以一人工作一天計為一人次，且工作期間不中斷。從開始整理到全部完成，共需幾天？
國小數學
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
解方程式
7
−
2
x
−
3
=
5
2
\frac{7-2x}{-3}=\frac{5}{2}
−
3
7
−
2
x
=
2
5
時，先把分子
7
−
2
x
7-2x
7
−
2
x
當成一個整體保留，整理成
7
−
2
x
=
a
7-2x=a
7
−
2
x
=
a
，再求出
x
=
b
x=b
x
=
b
。下列哪一組為
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
？
國中教育會考
數線與絕對值・分數與小數運算
開始練習 →
台灣某公路以一間派出所為局部座標的原點，沿公路前進為正方向；該派出所位於公路里程
23.4
23.4
23.4
公里處。兩座緊急電話分別設於派出所兩側，且與派出所等距。若兩座緊急電話相距
5.6
5.6
5.6
公里，則它們位於公路里程的哪兩處？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
小涵用電腦繪圖軟體設計一張平行四邊形的貼紙，在座標平面上依序標出頂點
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
、
B
(
7
,
3
)
B(7,3)
B
(
7
,
3
)
、
C
(
5
,
y
)
C(5,y)
C
(
5
,
y
)
，如圖，再補上第四個頂點
D
D
D
，使
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
為平行四邊形。已知
C
C
C
點位於第一象限，且平行四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積為
26
26
26
，則
D
D
D
點坐標為何？
國中教育會考
相似形與比例線段
開始練習 →
里長在公園規畫一條與步道邊界平行的安全線。已知在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，點
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上、點
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
。若
A
D
=
4
AD=4
A
D
=
4
、
D
B
=
2
DB=2
D
B
=
2
、
A
E
=
6
AE=6
A
E
=
6
，則
E
C
EC
E
C
的長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
屏東某農場溫室內的自動遮光系統使光照強度呈週期變化。感測器顯示光照強度的基準線為
500
500
500
勒克斯，振幅為
120
120
120
勒克斯，每
8
8
8
小時完成一個循環；且在上午
2
2
2
時剛好通過基準線並開始增加。令
t
t
t
為上午
0
0
0
時後經過的小時數，光照強度為
L
(
t
)
L(t)
L
(
t
)
勒克斯。下列模型何者符合？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
方程式
(
2
x
−
3
)
(
x
+
4
)
=
(
3
−
2
x
)
(
2
x
−
5
)
(2x-3)(x+4)=(3-2x)(2x-5)
(
2
x
−
3
)
(
x
+
4
)
=
(
3
−
2
x
)
(
2
x
−
5
)
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
一條筆直道路以某處為原點建立位置座標，兩個物資領取站的位置分別為
x
=
−
5
x=-5
x
=
−
5
與
x
=
7
x=7
x
=
7
。管理系統要以方程式
∣
a
x
+
b
∣
=
24
|ax+b|=24
∣
a
x
+
b
∣
=
24
表示這兩個位置，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
。則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
台灣燈會攤位有兩條裝飾帶，長度分別為
3
200
3\sqrt{200}
3
200
公分與
2
8
2\sqrt{8}
2
8
公分。從第一條裝飾帶剪去與第二條等長的部分後，剩餘長度化為最簡根式為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
某外送路線在方格地圖上以一般式
2
x
−
3
y
−
12
=
0
2x-3y-12=0
2
x
−
3
y
−
12
=
0
表示，且通過定位點
P
(
9
,
2
)
P(9,2)
P
(
9
,
2
)
。下列哪一組截距式與以
P
P
P
為基準的點斜式都正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，某公園有一座以
O
O
O
為圓心、半徑
1
1
1
公尺的圓形花圃，花圃邊緣上裝了三支灑水頭
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其位置滿足
3
O
A
⃗
+
4
O
B
⃗
+
5
O
C
⃗
=
0
⃗
3\vec{OA}+4\vec{OB}+5\vec{OC}=\vec{0}
3
O
A
+
4
O
B
+
5
O
C
=
0
。試問內積
O
A
⃗
⋅
O
C
⃗
\vec{OA}\cdot\vec{OC}
O
A
⋅
O
C
之值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
雲林一座農場的自動灑水器左右擺動。噴頭相對中央方向的角度介於
−
30
∘
-30^\circ
−
3
0
∘
與
30
∘
30^\circ
3
0
∘
之間，且角度隨時間呈餘弦曲線（簡諧擺動）變化，每
20
20
20
秒完成一次往返。計時開始時，噴頭位於
30
∘
30^\circ
3
0
∘
並朝中央方向移動。計時後第一次到達
15
∘
15^\circ
1
5
∘
時，經過多少秒？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・平面向量
開始練習 →
台中河濱公園規畫一塊三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
60
AB=60
A
B
=
60
公尺、
A
C
=
75
AC=75
A
C
=
75
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。步道入口
D
D
D
位於邊
B
C
BC
B
C
上，並滿足
B
D
:
D
C
=
2
:
3
BD:DC=2:3
B
D
:
D
C
=
2
:
3
。若要鋪設一條由
A
A
A
直達
D
D
D
的筆直步道，則步道長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・對數函數與對數方程
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某社區透過住戶群組傳播停水通知。通知發布後
t
t
t
小時，已得知通知的住戶百分比為
100
(
1
−
2
−
k
t
)
%
100(1-2^{-kt})\%
100
(
1
−
2
−
k
t
)
%
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
為常數。發布後
6
6
6
小時，已有
75
%
75\%
75%
的住戶得知通知。從此時起，還需要多少小時，已得知通知的住戶才會達到
94
%
94\%
94%
？以下
log
\log
lo
g
均為常用對數。