MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 14／53 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
已知非零向量
a
⃗
\vec a
a
與
b
⃗
\vec b
b
不平行，並令
u
⃗
=
a
⃗
+
2
b
⃗
\vec u=\vec a+2\vec b
u
=
a
+
2
b
、
v
⃗
=
2
a
⃗
+
k
b
⃗
\vec v=2\vec a+k\vec b
v
=
2
a
+
k
b
，其中
k
k
k
為實數。若向量等式
p
u
⃗
+
q
v
⃗
=
3
a
⃗
+
6
b
⃗
p\vec u+q\vec v=3\vec a+6\vec b
p
u
+
q
v
=
3
a
+
6
b
至少有兩組相異的實數有序數對
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
滿足，則
k
k
k
為何？
‹
1
…
13
14
15
…
53
›
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
校園科學社的感測器記錄一顆微粒的直徑為
0.01
×
10
−
4
0.01\times10^{-4}
0.01
×
1
0
−
4
公尺。若將此數改寫成標準科學記號
a
×
10
n
a\times10^n
a
×
1
0
n
，則
n
n
n
為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，社區原有一塊邊長為
x
x
x
公尺的正方形菜圃，調整成長方形後，一邊的長度變為原邊長的
3
3
3
倍，另一邊的長度比原邊長減少
4
4
4
公尺。調整後的面積反而比原面積少
10
10
10
平方公尺。若沿新菜圃四周設置圍籬，不留缺口，則共需要多少公尺的圍籬？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
嘉義某咖啡攤把
6
6
6
張圓形口味貼紙貼在圓桌邊緣等距位置，貼紙顏色為
2
2
2
張紅色、
2
2
2
張藍色、
1
1
1
張黃色、
1
1
1
張綠色。同一種貼法若只是整個圓桌旋轉後相同，視為同一種；翻面看到的順序不同，視為不同種。共有幾種貼法？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
設
a
a
a
、
b
b
b
為固定實數，圓系為
C
k
:
x
2
+
y
2
+
(
a
k
+
b
)
x
+
(
3
k
−
2
)
y
+
b
k
−
3
=
0
C_k:x^2+y^2+(ak+b)x+(3k-2)y+bk-3=0
C
k
:
x
2
+
y
2
+
(
ak
+
b
)
x
+
(
3
k
−
2
)
y
+
bk
−
3
=
0
。如圖，當
k
=
2
k=2
k
=
2
與
k
=
4
k=4
k
=
4
時，兩圓的一個交點為
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
，則
a
+
b
a+b
a
+
b
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
滿足
(
1
4
)
x
−
1
<
1
8
2
≤
(
1
8
)
x
−
2
\left(\dfrac14\right)^{x-1}<\dfrac{1}{8\sqrt2}\leq\left(\dfrac18\right)^{x-2}
(
4
1
)
x
−
1
<
8
2
1
≤
(
8
1
)
x
−
2
的所有實數
x
x
x
所成的解集為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
某飲料店整理活動用杯墊，以短除法記錄依序分裝後每組的數量，如圖。左側兩個
k
k
k
代表相同的正整數，且
A
−
B
=
432
A-B=432
A
−
B
=
432
。求
A
+
C
A+C
A
+
C
的值。
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
某公園的環形跑道全長為
360
360
360
公尺。甲、乙各以固定速率跑步，甲跑完一圈需
3
3
3
分鐘，乙跑完一圈需
6
6
6
分鐘。兩人同時從同一地點朝相反方向出發，出發後經過多少分鐘首次相遇？
國中教育會考
面積切割與補形
開始練習 →
如圖，高雄某公園有一塊四邊形鋪面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
。
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別為
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
D
CD
C
D
、
D
A
DA
D
A
的中點；
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
、
S
S
S
又分別為
E
F
EF
E
F
、
F
G
FG
F
G
、
G
H
GH
G
H
、
H
E
HE
H
E
的中點。若四邊形
P
Q
R
S
PQRS
P
QR
S
的面積為
27
m
2
27\,\mathrm{m}^2
27
m
2
，則鋪面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積為何？
國中教育會考
單位換算與時間計算・比例、速率與百分比
開始練習 →
外送員的定位紀錄顯示平均速率為
7.5
7.5
7.5
公尺/秒。若系統改以公里/分鐘顯示速率，應顯示多少？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
已知二次方程式
6
x
2
+
a
x
+
b
=
0
6x^2+ax+b=0
6
x
2
+
a
x
+
b
=
0
的兩根為
−
1
+
5
2
\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
2
−
1
+
5
與
−
1
−
5
2
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
2
−
1
−
5
，則此方程式為下列何者？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
雷射切割機以直式開平方法計算正方形壓克力價牌的邊長，被開方數為
0.05363856
0.05363856
0.05363856
。計算時已依序使用
05
05
05
與
36
36
36
兩組，為求商的後續各位，接下來應依序放下哪幾組數字？
國中教育會考
指數與根式・數線與絕對值
開始練習 →
已知
1
<
a
<
2
1<a<2
1
<
a
<
2
，則
(
a
−
1
)
2
−
(
a
−
4
)
2
\sqrt{(a-1)^2}-\sqrt{(a-4)^2}
(
a
−
1
)
2
−
(
a
−
4
)
2
等於下列何者？
國中教育會考
模運算與同餘・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
某社區園遊會共有四位數張園遊券
N
N
N
，且
3000
≤
N
≤
6500
3000\leq N\leq 6500
3000
≤
N
≤
6500
。若分別以每束
12
12
12
張、
15
15
15
張、
18
18
18
張整理，最後依序剩下
5
5
5
張、
8
8
8
張、
11
11
11
張，則
N
N
N
最大可能為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
某河濱步道地圖以公里為座標單位，入口
A
=
(
−
4
,
1
)
A=(-4,1)
A
=
(
−
4
,
1
)
、補給站
P
=
(
2
,
5
)
P=(2,5)
P
=
(
2
,
5
)
，終點為
B
B
B
。已知
P
P
P
在線段
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
A
P
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{AP}:\overline{PB}=2:3
A
P
:
P
B
=
2
:
3
，則
(
B
,
A
B
‾
)
(B,\overline{AB})
(
B
,
A
B
)
為何？
國中教育會考
不等式與絕對值・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
社團要租借
1
1
1
組露營燈，這組的固定租金為
80
80
80
元，另外每小時收
25
25
25
元。若社團預算最多
230
230
230
元，且至少要租
4
4
4
小時，則最多可以租幾小時？
國中教育會考
指數與根式・分數與小數運算
開始練習 →
台北捷運站內某電子看板的測試值由算式
M
=
−
2
4
+
(
−
2
)
3
×
(
−
1
)
2025
(
−
1
)
2024
+
1
+
3
÷
(
−
1
2
)
2
M=\frac{-2^4+(-2)^3\times(-1)^{2025}}{(-1)^{2024}+1}+3\div\left(-\frac{1}{2}\right)^2
M
=
(
−
1
)
2024
+
1
−
2
4
+
(
−
2
)
3
×
(
−
1
)
2025
+
3
÷
(
−
2
1
)
2
定義，則
M
M
M
的值為何？
國中教育會考
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
夜市攤商製作兩款正方形杯墊，甲、乙的邊長（公分）分別為
x
=
13
−
3
x=\sqrt{13}-3
x
=
13
−
3
與
y
=
4
−
13
y=4-\sqrt{13}
y
=
4
−
13
。下列敘述何者正確？
國中教育會考
指數與根式・分數與小數運算
開始練習 →
某高中化學社的一包校正粉末原有
6.2
×
10
−
4
6.2\times 10^{-4}
6.2
×
1
0
−
4
公克，實驗時取用
7.5
×
10
−
5
7.5\times 10^{-5}
7.5
×
1
0
−
5
公克，之後又補入
8
×
10
−
6
8\times 10^{-6}
8
×
1
0
−
6
公克。此時粉末的質量以科學記號表示為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某三角形花圃的頂點為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，已知
A
B
=
10
AB=10
A
B
=
10
公尺、
A
C
=
14
AC=14
A
C
=
14
公尺、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
公尺。點
D
D
D
為線段
B
C
BC
B
C
的中點；點
M
M
M
位於線段
B
C
BC
B
C
上，且線段
A
M
AM
A
M
平分
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
，其長度為
105
\sqrt{105}
105
公尺。線段
A
D
AD
A
D
的長度為何？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
台灣某電信公司的省流量活動規定：當月影音資料用量大於
9.95
×
10
7
9.95\times 10^7
9.95
×
1
0
7
位元組，且小於
1.02
×
10
8
1.02\times 10^8
1.02
×
1
0
8
位元組，才能獲得獎勵。五位學生的用量分別為：甲為
9.8
×
10
7
9.8\times 10^7
9.8
×
1
0
7
、乙為
9.99
×
10
7
9.99\times 10^7
9.99
×
1
0
7
、丙為
1.01
×
10
8
1.01\times 10^8
1.01
×
1
0
8
、丁為
1.03
×
10
8
1.03\times 10^8
1.03
×
1
0
8
、戊為
8.9
×
10
8
8.9\times 10^8
8.9
×
1
0
8
位元組。符合條件的恰為哪兩位？
國小數學
立體幾何
開始練習 →
飲料攤有甲、乙兩個長方體盛水盒。甲盒內底長
8
8
8
公分、寬
5
5
5
公分，原有水深
2
2
2
公分；乙盒內底長
6
6
6
公分、寬
5
5
5
公分，原有水深
4
4
4
公分。將乙盒中的水全部倒入甲盒，且沒有水灑出，甲盒此時的水深為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・二次函數與拋物線
開始練習 →
設實數
x
x
x
滿足
x
≥
2
x\geq 2
x
≥
2
，則
9
x
−
3
x
+
2
+
6
9^x-3^{x+2}+6
9
x
−
3
x
+
2
+
6
的最小值為何？
國中教育會考
數線與絕對值・系統列舉與分類討論
開始練習 →
如圖，夜市直線型步道以入口
O
O
O
為座標原點，服務台
P
P
P
的座標為
2
2
2
。攤位
A
A
A
與
P
P
P
的距離為
6
6
6
公尺，將
A
A
A
的可能位置由左至右標為
A
1
A_1
A
1
、
A
2
A_2
A
2
。指示牌
B
B
B
與
A
A
A
的距離為
3
3
3
公尺。下列何者完整記錄所有可能位置及其對應關係？
國中教育會考
相似形與比例線段・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園中的步道邊界為四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，且
A
C
‾
=
12
\overline{AC}=12
A
C
=
12
公尺、
B
D
‾
=
16
\overline{BD}=16
B
D
=
16
公尺，兩條對角線互相垂直。
E
,
F
,
G
,
H
E,F,G,H
E
,
F
,
G
,
H
依序為
A
B
‾
,
B
C
‾
,
C
D
‾
,
D
A
‾
\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DA}
A
B
,
B
C
,
C
D
,
D
A
的中點，則
E
G
‾
\overline{EG}
E
G
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，三條曲線分別為
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=a^x
f
(
x
)
=
a
x
、
g
(
x
)
=
b
x
g(x)=b^x
g
(
x
)
=
b
x
、
h
(
x
)
=
c
x
h(x)=c^x
h
(
x
)
=
c
x
的圖形，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
皆為正數且不等於
1
1
1
。三條曲線皆通過
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
，且
f
f
f
通過
(
1
,
3
)
(1,3)
(
1
,
3
)
、
g
g
g
通過
(
1
,
2
)
(1,2)
(
1
,
2
)
、
h
h
h
通過
(
−
1
,
2
)
(-1,2)
(
−
1
,
2
)
。將
f
f
f
的圖形對稱於
y
y
y
軸，得到函數
k
k
k
的圖形。對任意
t
<
0
t<0
t
<
0
，下列大小關係何者正確？
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
甲、乙兩列火車在平行的直線軌道上相向等速行駛，乙車長
120
120
120
公尺。以兩車車頭相遇的瞬間開始計時，第
4
4
4
秒時甲車車頭恰好與乙車車尾交錯，第
9
9
9
秒時兩車車尾恰好交錯、完全分開。甲車長多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
嘉義某高中校慶園遊會使用送餐機器人運送餐點。平面座標以公尺為單位，機器人沿直線從點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
行駛到點
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
，無線基地台位於點
S
(
3
,
3
)
S(3,3)
S
(
3
,
3
)
。已知機器人接收到的訊號只由它與基地台的距離決定，距離越短信號越強。若機器人在訊號最強處
P
P
P
暫停，則
A
P
AP
A
P
的長度是
A
B
AB
A
B
長度的多少倍？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，學校穿堂兩根柱子的位置為
A
A
A
、
B
B
B
，
M
M
M
是
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
的中點，導引線
L
L
L
通過
M
M
M
且垂直於
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
，指示牌位置
P
P
P
在
L
L
L
上且異於
M
M
M
。某生欲證明
P
A
=
P
B
PA=PB
P
A
=
P
B
，寫下：「因為
P
A
=
P
B
PA=PB
P
A
=
P
B
、
P
M
=
P
M
PM=PM
P
M
=
P
M
，且
∠
A
M
P
=
∠
B
M
P
=
90
∘
\angle AMP=\angle BMP=90^\circ
∠
A
M
P
=
∠
B
M
P
=
9
0
∘
，所以依
R
H
S
\mathrm{RHS}
RHS
得
△
P
A
M
≅
△
P
B
M
\triangle PAM\cong\triangle PBM
△
P
A
M
≅
△
P
B
M
，故
P
A
=
P
B
PA=PB
P
A
=
P
B
。」若不得直接引用中垂線上的點到線段兩端等距的性質，下列哪一項修改能使這份證明成立？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義文化公園有一座圓形水池，圓心為
O
O
O
。水池邊緣上有三個標記點
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，其中小弧
A
B
AB
A
B
的圓心角
∠
A
O
B
\angle AOB
∠
A
O
B
為
128
∘
128^\circ
12
8
∘
，且
C
C
C
位於大弧
A
B
AB
A
B
上。若攝影師站在
C
C
C
對準
A
,
B
A,B
A
,
B
拍攝，夾角
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？