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整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
761
題
・第 14／26 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
高雄港區的導航系統以直線族
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
L_k:(k-1)x+(k+2)y=k-3
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
表示不同參數
k
k
k
下的航線。所有使
L
k
L_k
L
k
不能直接寫成截距式
x
a
+
y
b
=
1
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
a
x
+
b
y
=
1
的
k
k
k
值所成集合為何？
‹
1
…
13
14
15
…
26
›
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中一個圓形花圃半徑
9
9
9
公尺，圓心為
O
O
O
。攤位電箱在花圃外點
P
P
P
，量得
O
P
=
15
OP=15
O
P
=
15
公尺。工作人員要從
P
P
P
拉兩條剛好切到花圃邊緣的直線燈條，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
。兩條燈條總長
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
台中夜市推出圓錐形紙杯裝芒果冰，紙杯內部可近似為底面半徑
5
5
5
cm、高
12
12
12
cm 的直圓錐。店員先在尖端附近倒入煉乳，液面平行杯口，從尖端量到液面的高度為
6
6
6
cm。此時煉乳體積為多少
c
m
3
\mathrm{cm^3}
c
m
3
？
大學學科能力測驗（數學）
圓冪定理・相似形與比例線段
開始練習 →
某公園的圓形水池外有觀測點
P
P
P
。由
P
P
P
引兩條割線，第一條依序交水池邊界於
A
,
B
A,B
A
,
B
，第二條依序交於
C
,
D
C,D
C
,
D
。已知
P
A
=
4
PA=4
P
A
=
4
公尺、
P
B
=
24
PB=24
P
B
=
24
公尺、
P
D
=
16
PD=16
P
D
=
16
公尺，且連線
A
D
=
14
AD=14
A
D
=
14
公尺，則
C
B
CB
C
B
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・平面向量
開始練習 →
某公園設置一座平行四邊形花圃，相鄰兩邊長分別為
5
5
5
公尺與
10
10
10
公尺，兩條對角線的長度比為
1
:
2
1:2
1
:
2
。較長的對角線長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
若
log
4
25
125
8
=
t
\log_{\frac{4}{25}}\frac{125}{8}=t
lo
g
25
4
8
125
=
t
，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台中一所校園的平面圖上，兩棟建築物的位置分別為
A
(
1
,
0
)
A(1,0)
A
(
1
,
0
)
、
B
(
5
,
3
)
B(5,3)
B
(
5
,
3
)
。校方將所有滿足
P
A
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{PA}:\overline{PB}=2:3
P
A
:
P
B
=
2
:
3
的位置
P
P
P
標成一條圓形邊界。下列何者正確描述此圓的圓心與半徑？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園平面圖中的圓形水池以
O
(
2
,
3
)
O(2,3)
O
(
2
,
3
)
為圓心，座標長度單位為公尺。點
P
(
a
,
3
)
P(a,3)
P
(
a
,
3
)
滿足
a
>
2
a>2
a
>
2
，直線步道
P
T
PT
P
T
與水池相切於
T
T
T
，且
T
T
T
位於通過
O
O
O
的水平線上方。已知直線
P
T
PT
P
T
的斜率為
−
5
12
-\frac{5}{12}
−
12
5
，而
O
P
OP
O
P
的長度比
P
T
PT
P
T
的長度多
3
3
3
公尺，則
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
夜市旋轉招牌以正東方向為始邊，順時針旋轉
1130
∘
1130^\circ
113
0
∘
。若用
k
∈
Z
k\in\mathbb Z
k
∈
Z
表示所有同界角，則其標準寫法及終邊所在象限，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次曲線標準式・坐標幾何
開始練習 →
校方規劃一座圓形花圃，其邊界方程式為
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
(a+1)x^2+(2a-b)xy+(5-a)y^2-6x+8y-20=0
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
，其中
a
a
a
、
b
b
b
為實數。若此方程式表示一個圓，則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某飲料店冷藏設備進行校正測試，將設定溫度
x
x
x
代入檢測式。當
∣
9
−
2
x
∣
>
5
|9-2x|>5
∣9
−
2
x
∣
>
5
時，系統判定須重新校正。會被判定須重新校正的
x
x
x
範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・二次函數與拋物線
開始練習 →
如圖為函數
y
=
x
2
+
3
x
y=x^2+3x
y
=
x
2
+
3
x
的圖形。阿哲在手機繪圖 App 中，把某函數
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
的圖形向左平移
2
2
2
單位、再向上平移
1
1
1
單位後，恰好得到如圖的圖形。則
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
設
a
≠
0
a\ne 0
a
=
0
，
n
n
n
為正整數。將指數的範圍擴充到整數時，要求同底數相除仍符合指數相減的運算規律。某份論證先寫出第一步
a
−
n
=
a
n
−
2
n
=
a
n
a
2
n
=
1
a
n
a^{-n}=a^{n-2n}=\frac{a^n}{a^{2n}}=\frac{1}{a^n}
a
−
n
=
a
n
−
2
n
=
a
2
n
a
n
=
a
n
1
，再寫出第二步
a
0
=
a
−
n
−
(
−
n
)
=
a
−
n
a
−
n
=
1
a^0=a^{-n-(-n)}=\frac{a^{-n}}{a^{-n}}=1
a
0
=
a
−
n
−
(
−
n
)
=
a
−
n
a
−
n
=
1
。若尚未把零次方與負整數次方的公式當成已知，下列對這份論證的判斷何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
桃園某捷運站出口的拱形裝飾可用
y
=
−
x
2
+
6
x
+
1
y=-x^2+6x+1
y
=
−
x
2
+
6
x
+
1
近似表示，地面可視為
y
=
0
y=0
y
=
0
。若只考慮裝飾與地面交會的位置，則此拱形裝飾與地面共有幾個交點？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某停車場內兩條平行車道標線分別為
L
1
:
6
x
−
8
y
+
15
=
0
L_1:6x-8y+15=0
L
1
:
6
x
−
8
y
+
15
=
0
與
L
2
:
3
x
−
4
y
−
12
=
0
L_2:3x-4y-12=0
L
2
:
3
x
−
4
y
−
12
=
0
，座標平面以公尺為單位。兩條標線的最短距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
等差數列與規律延伸
開始練習 →
某捷運站出口旁設置腳踏車停放格，第一段畫
12
12
12
格，第二段畫
17
17
17
格，第三段畫
22
22
22
格，之後依此規律增加。若從第一段到第九段全部畫完，共有幾個停放格？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某社區的三處防災據點在座標平面上的位置分別為
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
6
,
0
)
B(6,0)
B
(
6
,
0
)
、
C
(
0
,
8
)
C(0,8)
C
(
0
,
8
)
，座標單位為百公尺。現要設置一座廣播站，使其到三處據點的直線距離相等。以下哪一組尺規作圖依據與廣播站座標皆正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
如圖，兩曲線分別為
f
(
x
)
=
log
a
x
f(x)=\log_a x
f
(
x
)
=
lo
g
a
x
與
g
(
x
)
=
log
b
x
g(x)=\log_b x
g
(
x
)
=
lo
g
b
x
，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
且
a
,
b
≠
1
a,b\ne1
a
,
b
=
1
。直線
y
=
1
y=1
y
=
1
與兩曲線的交點分別為
U
U
U
、
V
V
V
，其橫座標依序為
1
2
\frac{1}{2}
2
1
、
3
3
3
，兩曲線與
x
x
x
軸交於同一點
P
P
P
。若另一函數
h
(
x
)
=
log
b
a
x
h(x)=\log_{\frac{b}{a}}x
h
(
x
)
=
lo
g
a
b
x
的圖形上有一點
Q
Q
Q
，且
Q
Q
Q
的縱座標為
1
1
1
，則
Q
Q
Q
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
設
0
<
t
<
1
0<t<1
0
<
t
<
1
，且
P
=
log
1
9
t
2
P=\log_{\frac{1}{9}}t^2
P
=
lo
g
9
1
t
2
、
Q
=
log
1
25
t
3
Q=\log_{\frac{1}{25}}t^3
Q
=
lo
g
25
1
t
3
、
R
=
log
1
4
t
R=\log_{\frac{1}{4}}t
R
=
lo
g
4
1
t
。下列大小關係何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・指數與根式
開始練習 →
若
(
1
8
)
2
x
−
1
=
4
x
+
2
2
x
−
3
\left(\frac{1}{8}\right)^{2x-1}=\frac{4^{x+2}}{2^{x-3}}
(
8
1
)
2
x
−
1
=
2
x
−
3
4
x
+
2
，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
P
(
x
)
=
(
x
−
2
)
7
+
(
x
−
2
)
6
P(x)=(x-2)^7+(x-2)^6
P
(
x
)
=
(
x
−
2
)
7
+
(
x
−
2
)
6
，則
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
的
x
4
x^4
x
4
項係數為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
以
x
2
−
3
x
−
1
x^{2}-3x-1
x
2
−
3
x
−
1
除
f
(
x
)
=
x
3
−
2
x
2
+
4
x
+
5
f(x)=x^{3}-2x^{2}+4x+5
f
(
x
)
=
x
3
−
2
x
2
+
4
x
+
5
，所得的餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
方程式
log
2
(
x
+
2
)
−
log
4
(
x
−
1
)
=
2
\log_2(x+2)-\log_4(x-1)=2
lo
g
2
(
x
+
2
)
−
lo
g
4
(
x
−
1
)
=
2
的實數解集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・圓的性質
開始練習 →
如圖，公園內兩座圓形花圃的圓心分別為
O
O
O
、
Q
Q
Q
，點
P
P
P
位於兩花圃外。
P
A
PA
P
A
與圓心為
O
O
O
的花圃相切於
A
A
A
，
P
B
PB
P
B
與圓心為
Q
Q
Q
的花圃相切於
B
B
B
，且
O
P
=
2
Q
P
OP=2QP
O
P
=
2
QP
。若要求
△
O
A
P
\triangle OAP
△
O
A
P
與
△
Q
B
P
\triangle QBP
△
QB
P
依照
O
↔
Q
O\leftrightarrow Q
O
↔
Q
、
A
↔
B
A\leftrightarrow B
A
↔
B
、
P
↔
P
P\leftrightarrow P
P
↔
P
的頂點對應相似，下列哪一項附加條件足以保證此結論？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
設
a
>
0
a>0
a
>
0
，函數
f
(
x
)
=
2
sin
[
a
(
x
+
π
6
)
]
+
1
f(x)=2\sin\left[a\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]+1
f
(
x
)
=
2
sin
[
a
(
x
+
6
π
)
]
+
1
的最小正週期是函數
g
(
x
)
=
5
sin
(
3
x
−
π
4
)
−
2
g(x)=5\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-2
g
(
x
)
=
5
sin
(
3
x
−
4
π
)
−
2
的最小正週期的
2
2
2
倍，則
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某休閒農場在半徑為
5
5
5
公尺的圓形水池上設置 T 形木橋，由橫橋
A
B
AB
A
B
與直橋
M
P
MP
M
P
組成，其中
A
A
A
、
B
B
B
、
P
P
P
均在池岸圓周上，
M
M
M
為兩橋交會點。整座木橋以直線
M
P
MP
M
P
為對稱軸，圓心
O
O
O
位於橋段
M
P
MP
M
P
的內部，且
∠
A
O
B
=
120
∘
\angle AOB=120^\circ
∠
A
O
B
=
12
0
∘
。不計橋寬，木橋總長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
某夜市行動餐車沿直線路線移動，位置為
P
(
t
)
=
(
t
,
1
2
t
)
P(t)=(t,\frac{1}{2}t)
P
(
t
)
=
(
t
,
2
1
t
)
，其中
0
≤
t
≤
4
0\le t\le 4
0
≤
t
≤
4
。當位置
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
滿足
(
x
+
y
−
1
)
(
2
x
−
y
−
4
)
>
0
(x+y-1)(2x-y-4)>0
(
x
+
y
−
1
)
(
2
x
−
y
−
4
)
>
0
時，餐車位於可營業區域。餐車位於可營業區域時，參數
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
同時滿足
(
1
2
)
x
−
1
<
4
x
+
1
≤
32
\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}<4^{x+1}\le 32
(
2
1
)
x
−
1
<
4
x
+
1
≤
32
的所有實數
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角函數與和差角
開始練習 →
如圖，公園的圓形廣場可視為坐標平面上以
O
O
O
為圓心、半徑
3
3
3
的圓
C
C
C
，一條筆直的自行車道可視為通過
O
O
O
的直線
L
L
L
。在圓
C
C
C
上取兩點
P
P
P
、
Q
Q
Q
放置路燈，要求
O
P
→
\overrightarrow{OP}
O
P
與
L
L
L
夾銳角
20
∘
20^\circ
2
0
∘
，
O
Q
→
\overrightarrow{OQ}
O
Q
與
L
L
L
夾銳角
40
∘
40^\circ
4
0
∘
（圖中只畫出其中一種擺法）。在所有符合條件的擺法中，內積
O
P
→
⋅
O
Q
→
\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}
O
P
⋅
O
Q
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
設
0
<
a
<
1
0<a<1
0
<
a
<
1
、
0
<
u
<
v
0<u<v
0
<
u
<
v
。如圖，
A
=
(
u
,
log
a
u
)
A=(u,\log_a u)
A
=
(
u
,
lo
g
a
u
)
、
B
=
(
v
,
log
a
v
)
B=(v,\log_a v)
B
=
(
v
,
lo
g
a
v
)
，
M
M
M
為線段
A
B
AB
A
B
的中點，
P
P
P
為函數
g
(
t
)
=
log
a
t
g(t)=\log_a t
g
(
t
)
=
lo
g
a
t
圖形上與
M
M
M
橫坐標相同的點。令
r
=
log
a
u
r=\log_a u
r
=
lo
g
a
u
、
s
=
log
a
v
s=\log_a v
s
=
lo
g
a
v
。若利用指數函數的算術幾何平均不等式證明此對數函數的凹向，下列哪一項推論正確？