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全部
易
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難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
761
題
・第 10／26 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・指數與根式
開始練習 →
某捷運站燈箱以正數
x
x
x
表示版面比例，並定義平衡指標
B
=
(
x
−
1
)
2
x
B=\frac{(x-1)^2}{x}
B
=
x
(
x
−
1
)
2
。若
x
1
/
2
+
x
−
1
/
2
=
7
2
x^{1/2}+x^{-1/2}=\frac{7}{2}
x
1/2
+
x
−
1/2
=
2
7
，則
B
B
B
的值為何？
‹
1
…
9
10
11
…
26
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
如圖，某公園配置圖上的兩個圓
C
1
:
x
2
+
y
2
−
2
x
−
4
y
−
4
=
0
C_1:x^2+y^2-2x-4y-4=0
C
1
:
x
2
+
y
2
−
2
x
−
4
y
−
4
=
0
與
C
2
:
x
2
+
y
2
−
6
x
−
4
y
+
4
=
0
C_2:x^2+y^2-6x-4y+4=0
C
2
:
x
2
+
y
2
−
6
x
−
4
y
+
4
=
0
交於
A
,
B
A,B
A
,
B
兩點。設計師要增畫一個通過
A
,
B
A,B
A
,
B
及入口位置
P
(
0
,
1
)
P(0,1)
P
(
0
,
1
)
的圓。此圓的半徑平方為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
設
a
>
0
a>0
a
>
0
、
a
≠
1
a\ne 1
a
=
1
，且
x
>
0
x>0
x
>
0
、
x
≠
1
x\ne 1
x
=
1
。若
log
a
−
2
x
3
=
k
log
a
3
x
−
4
\log_{a^{-2}}x^3=k\log_{a^3}x^{-4}
lo
g
a
−
2
x
3
=
k
lo
g
a
3
x
−
4
，則
k
k
k
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，河濱公園的步道形成斜方格，每個小格的大小與形狀相同，圖中的
x
⃗
\vec x
x
、
y
⃗
\vec y
y
分別表示沿兩個方向前進一格的向量。入口位於
O
O
O
，飲水機位於
A
A
A
，休息區位於
B
B
B
。從飲水機前往休息區的位移
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
等於下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・指數函數與指數方程
開始練習 →
某實數
a
a
a
已通過以下檢查：
a
−
1
a^{-1}
a
−
1
、
a
0
a^0
a
0
、
a
1
a^1
a
1
都有實數值，且這三個值不全相同。現在要再選一個指數
r
r
r
，要求
a
r
a^r
a
r
也有實數值，使通過全部檢查的底數恰好滿足
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\neq1
a
=
1
。下列哪一個
r
r
r
能達成目的？（本題規定：
a
m
n
a^{\frac{m}{n}}
a
n
m
指先開
n
n
n
次方根再取
m
m
m
次方，奇次方根取實數根，例如
(
−
8
)
1
3
=
−
2
(-8)^{\frac13}=-2
(
−
8
)
3
1
=
−
2
；偶次方根遇到負數則沒有實數值。）
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
某校園義賣攤位以
x
x
x
表示開賣後的時數，
y
y
y
表示累計售出的盒數，四筆經核對的資料如圖。學生原先只用前三筆資料，以牛頓插值法建立模型
p
(
x
)
=
x
2
+
2
p(x)=x^2+2
p
(
x
)
=
x
2
+
2
；加入第四筆資料後，提出新模型
q
(
x
)
=
x
2
+
2
+
1
6
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
.
q(x)=x^2+2+\frac{1}{6}x(x-1)(x-2).
q
(
x
)
=
x
2
+
2
+
6
1
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
.
若要讓模型完整符合目前的四筆資料，下列判斷何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・不等式與絕對值
開始練習 →
阿哲在繪圖計算機上畫出二次函數
y
=
k
x
2
+
4
x
+
k
y=kx^2+4x+k
y
=
k
x
2
+
4
x
+
k
的圖形，發現對所有實數
x
x
x
，圖形都完全落在
x
x
x
軸的下方，如圖所示（示意圖）。請問實數
k
k
k
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園內一座三角形花圃的三邊長皆為連續正整數，周長為
36
36
36
公尺。這座花圃的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
某公園以三條直線步道
L
1
:
x
+
2
y
=
4
L_1:x+2y=4
L
1
:
x
+
2
y
=
4
、
L
2
:
2
x
−
y
=
3
L_2:2x-y=3
L
2
:
2
x
−
y
=
3
、
L
3
:
x
+
a
y
+
5
=
0
L_3:x+ay+5=0
L
3
:
x
+
a
y
+
5
=
0
規劃三角形花圃，其中
a
a
a
為實數。所有使這三條直線不能圍成三角形的
a
a
a
值之和為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
+
1
x+1
x
+
1
餘
4
4
4
，除以
x
−
2
x-2
x
−
2
餘
1
1
1
，除以
x
−
3
x-3
x
−
3
餘
8
8
8
。若
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(x+1)(x-2)(x-3)
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
的餘式為
p
x
2
+
q
x
+
s
px^2+qx+s
p
x
2
+
q
x
+
s
，則
q
q
q
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
某高中數學社為校慶闖關設計兩個實數密碼
p
p
p
、
q
q
q
，規則為
p
4
=
16
p^4=16
p
4
=
16
、
q
3
=
−
8
q^3=-8
q
3
=
−
8
。依此規則，
p
+
q
p+q
p
+
q
所有可能值組成的集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
以分離係數法計算
(
x
4
−
3
x
2
+
5
)
÷
(
x
2
−
x
+
2
)
(x^4-3x^2+5)\div(x^2-x+2)
(
x
4
−
3
x
2
+
5
)
÷
(
x
2
−
x
+
2
)
。每一步均以當時剩餘式的最高次項除以除式的最高次項，取得下一個商項，再減去該商項與除式的乘積。完成兩次相減後，剩餘式依二次項、一次項、常數項排列的係數列為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
台南某校數學闖關卡的通關條件為
−
sin
θ
+
3
cos
θ
=
1
-\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=1
−
sin
θ
+
3
cos
θ
=
1
，其中
0
≤
θ
<
2
π
0\leq\theta<2\pi
0
≤
θ
<
2
π
。下列何者同時正確地將左式寫成
R
sin
(
θ
+
ϕ
)
R\sin(\theta+\phi)
R
sin
(
θ
+
ϕ
)
，其中
R
>
0
R>0
R
>
0
、
0
≤
ϕ
<
2
π
0\leq\phi<2\pi
0
≤
ϕ
<
2
π
，並列出所有符合條件的
θ
\theta
θ
？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
新竹市府在簡化地圖上以座標表示兩個公車站
A
(
2
,
1
)
A\left(2,1\right)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B\left(8,5\right)
B
(
8
,
5
)
。規劃一條新接駁線要通過
A
B
AB
A
B
的中點，並且與連線
A
B
AB
A
B
垂直。下列哪一個是新接駁線的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
函數
y
=
a
x
y=a^x
y
=
a
x
中，
a
a
a
為
2
2
2
或
3
3
3
。將其圖形依序作水平平移、鉛直平移，再對
x
x
x
軸作鏡射，得到如圖的曲線。圖中的
A
A
A
、
B
B
B
分別是原圖形上錨點
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
、
(
1
,
a
)
(1,a)
(
1
,
a
)
的對應點。下列哪一選項正確列出
a
a
a
的值與鏡射前的兩次平移？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
園藝社檢測甲、乙、丙三份灌溉水樣，測得甲的氫離子濃度為丙的
20
20
20
倍，乙的氫離子濃度為丙的
0.5
0.5
0.5
倍。已知
p
H
=
−
log
[
H
+
]
\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+]
pH
=
−
lo
g
[
H
+
]
，其中
log
\log
lo
g
為常用對數，氫離子濃度的單位為莫耳／公升。若取
log
2
=
0.3
\log 2=0.3
lo
g
2
=
0.3
，則乙的 pH 值減去甲的 pH 值為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
x
x
x
為實數且
sin
x
+
cos
x
≥
0
\sin x+\cos x\ge 0
sin
x
+
cos
x
≥
0
。若
y
=
2
sin
x
cos
x
−
4
(
sin
x
+
cos
x
)
+
3
y=2\sin x\cos x-4(\sin x+\cos x)+3
y
=
2
sin
x
cos
x
−
4
(
sin
x
+
cos
x
)
+
3
，則
y
y
y
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何
開始練習 →
台南甜筒店做展示模型。師傅用一個斜刀面切開直立的圓錐形餅殼，刀面沒有通過尖端、不平行於底面，也不平行於任何一條母線；切線在同一側錐面上形成一圈封閉曲線。若只用學測範圍的截痕概念判斷，最合理的是？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
小芸用電腦繪圖軟體畫出函數
f
(
x
)
=
a
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
+
c
(
x
−
4
)
(
x
−
1
)
f(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-4)+c(x-4)(x-1)
f
(
x
)
=
a
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
+
c
(
x
−
4
)
(
x
−
1
)
的圖形，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
為實數。如圖，她發現圖形上橫坐標為
2
\sqrt{2}
2
、
π
\pi
π
、
9
9
9
的三個點高度相同；另外，圖形與
y
y
y
軸交於點
(
0
,
24
)
(0,24)
(
0
,
24
)
。則
c
c
c
之值為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小涵用平板上的繪圖 App 畫出直線
y
=
−
2
x
+
4
y=-2x+4
y
=
−
2
x
+
4
如圖，再把這條直線向上平移
5
5
5
單位。同學說：「這條新直線，其實也可以只由原直線左右平移得到。」請問原直線應如何左右平移，才能得到這條新直線？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某台南公車站以
x
=
12
x=12
x
=
12
表示中午十二時，閘門校正量為
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
。若
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
的圖形以點
(
12
,
5
)
(12,5)
(
12
,
5
)
為對稱中心（即圖形繞該點旋轉
180
∘
180^\circ
18
0
∘
後與自己重合，對稱中心本身不一定落在圖形上），下列哪一個模型可能符合此條件？各函數皆取其自然定義域。
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
已知
a
=
(
1
3
)
5
a=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{\sqrt5}
a
=
(
3
1
)
5
，判斷下列三個敘述： 甲：
log
3
a
=
−
5
2
\log_3 a=-\frac{\sqrt5}{2}
lo
g
3
a
=
−
2
5
。 乙：
log
a
3
=
−
1
5
\log_a\sqrt3=-\frac1{\sqrt5}
lo
g
a
3
=
−
5
1
。 丙：
log
1
3
a
=
5
2
\log_{\frac13}\sqrt a=\frac{\sqrt5}{2}
lo
g
3
1
a
=
2
5
。 正確的敘述有哪些？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
一塊三角形帆布
A
B
C
ABC
A
B
C
中，
P
P
P
位於線段
B
C
BC
B
C
上，且
A
P
AP
A
P
平分
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
。已知
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle BAC=60^\circ
∠
B
A
C
=
6
0
∘
、
A
B
+
A
C
=
14
AB+AC=14
A
B
+
A
C
=
14
公尺、
A
P
=
24
3
7
AP=\frac{24\sqrt3}{7}
A
P
=
7
24
3
公尺，則這塊帆布的面積為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
不等式
log
3
(
2
x
−
1
)
<
log
3
(
8
−
x
)
\log_3(2x-1)<\log_3(8-x)
lo
g
3
(
2
x
−
1
)
<
lo
g
3
(
8
−
x
)
的實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
設正實數
u
,
v
u,v
u
,
v
滿足
log
2
u
=
v
\log_2 u=v
lo
g
2
u
=
v
與
log
3
v
=
2
\log_3 v=2
lo
g
3
v
=
2
，則
u
u
u
等於下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
公園噴水池的一道水柱，其路徑如圖。水柱的高度
y
y
y
（公尺）與離噴嘴的水平距離
x
x
x
（公尺）滿足
y
=
−
3
x
2
+
9
x
+
2
y=-3x^2+9x+2
y
=
−
3
x
2
+
9
x
+
2
，其中
P
P
P
為水柱路徑的最高點。則
P
P
P
的坐標
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換
開始練習 →
飲料店記錄兩種套餐的成本。若珍珠奶茶套餐與紅茶套餐的原料成本可用矩陣方程式
A
X
=
B
AX=B
A
X
=
B
表示，其中
A
=
(
3
2
6
4
)
A=\begin{pmatrix}3&2\\6&4\end{pmatrix}
A
=
(
3
6
2
4
)
，
X
=
(
x
y
)
X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
X
=
(
x
y
)
，
B
=
(
55
110
)
B=\begin{pmatrix}55\\110\end{pmatrix}
B
=
(
55
110
)
。店員想用反矩陣求
X
X
X
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
若
30
−
t
−
t
2
t
2
+
2
t
−
8
\dfrac{\sqrt{30-t-t^2}}{\sqrt{t^2+2t-8}}
t
2
+
2
t
−
8
30
−
t
−
t
2
在實數範圍內有意義，則實數
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南廟會工作人員以兩條纜繩拖動大型燈車。以正東方向為
0
∘
0^\circ
0
∘
，逆時針方向角為正：第一條纜繩施力大小為
6
6
6
千牛頓，方向角為
150
∘
150^\circ
15
0
∘
；第二條纜繩施力大小為
8
8
8
千牛頓，方向角為
−
10
∘
-10^\circ
−
1
0
∘
。為使燈車暫時保持靜止，第三條纜繩須施加與前兩力合力大小相同、方向相反的力。第三條纜繩的施力大小應為多少千牛頓？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運站內的燈光測試程式使用六個標準三角函數之一
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，並輸出
g
(
x
)
=
f
(
x
+
π
2
)
g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
g
(
x
)
=
f
(
x
+
2
π
)
。測試人員記錄到
g
g
g
的定義域為
x
≠
π
2
+
k
π
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi
x
=
2
π
+
k
π
，其中
k
∈
Z
k\in\mathbb{Z}
k
∈
Z
；值域為
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
(-\infty,-1]\cup[1,\infty)
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
，基本週期為
2
π
2\pi
2
π
，且
g
g
g
為偶函數。則原函數
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為何？