MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1350
題
・第 39／45 頁
清除全部篩選
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，桌上兩枚大小不同的圓形杯墊（圓
O
1
O_1
O
1
、圓
O
2
O_2
O
2
）外切於
P
P
P
。兩條公外切線分別切圓
O
1
O_1
O
1
於
A
A
A
、
E
E
E
，切圓
O
2
O_2
O
2
於
B
B
B
、
F
F
F
；過
P
P
P
的公內切線分別交
A
B
AB
A
B
、
E
F
EF
E
F
於
C
C
C
、
D
D
D
。已知
A
B
=
8
AB=8
A
B
=
8
公分，則
C
D
CD
C
D
的長度為何？
‹
1
…
38
39
40
…
45
›
國中教育會考
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，公園內兩座圓形植栽區的邊界交於
F
F
F
、
D
D
D
，且
P
P
P
、
F
F
F
、
D
D
D
依序共線。從
P
P
P
引出的兩條切線，分別在
T
T
T
、
U
U
U
與兩座植栽區的邊界相切。以公尺為長度單位，已知
P
T
=
x
+
3
PT=x+3
P
T
=
x
+
3
、
P
U
=
2
x
−
1
PU=2x-1
P
U
=
2
x
−
1
、
P
F
=
x
−
2
PF=x-2
P
F
=
x
−
2
，其中
x
>
2
x>2
x
>
2
。求
F
D
FD
F
D
的長度。
國中教育會考
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體型壓克力展示盒如圖，底面長為
12
12
12
公分、寬為
16
16
16
公分，高為
h
h
h
公分。一根長
25
25
25
公分的筆直支架恰好連接空間中的兩個相對頂點，則
h
h
h
為何？
國中教育會考
容斥原理・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
某園遊會發行編號從
120
120
120
到
860
860
860
的摸彩券。主辦單位要選出編號與
21
21
21
互質的摸彩券，共有多少張符合條件？
國中教育會考
圓的性質・相似形與比例線段
開始練習 →
如圖，校園中兩座圓形花圃的圓心分別為
O
1
O_1
O
1
、
O
2
O_2
O
2
，直線
l
l
l
、
m
m
m
均為兩花圃的公切線。直線
l
l
l
與直線
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
交於
P
P
P
，直線
m
m
m
與直線
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
交於
Q
Q
Q
。已知
O
1
O
2
=
12
O_1O_2=12
O
1
O
2
=
12
公尺、
P
O
1
=
8
PO_1=8
P
O
1
=
8
公尺、
P
O
2
=
4
PO_2=4
P
O
2
=
4
公尺、
Q
O
1
=
24
QO_1=24
Q
O
1
=
24
公尺、
Q
O
2
=
12
QO_2=12
Q
O
2
=
12
公尺。下列敘述何者正確？
國中教育會考
相似形與比例線段・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，某三角形廣場為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，周長為
48
48
48
公尺，面積為
80
80
80
平方公尺。
D
,
E
,
F
D,E,F
D
,
E
,
F
分別為
A
B
‾
,
B
C
‾
,
C
A
‾
\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}
A
B
,
B
C
,
C
A
的中點；再取
D
E
‾
,
E
F
‾
,
F
D
‾
\overline{DE},\overline{EF},\overline{FD}
D
E
,
E
F
,
F
D
的中點
G
,
H
,
I
G,H,I
G
,
H
,
I
。若沿
△
G
H
I
\triangle GHI
△
G
H
I
的三邊裝設燈帶，每公尺費用為
150
150
150
元，並在其內部鋪設地貼，每平方公尺費用為
100
100
100
元，總費用為多少元？
國中教育會考
速率與工作問題・平均數與加權平均
開始練習 →
小涵騎腳踏車從家到圖書館共
12
12
12
公里，去程前半段
6
6
6
公里速率為
12
12
12
公里/時，後半段
6
6
6
公里速率為
18
18
18
公里/時。她全程的平均速率是多少公里/時？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
夜市的圓形燈牌上，
O
O
O
為圓心，
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
都在圓周上。工程圖標出較小的圓心角
∠
A
O
B
=
110
∘
\angle AOB=110^\circ
∠
A
O
B
=
11
0
∘
，且
C
C
C
位在不含較小弧
A
B
AB
A
B
的另一段弧上。從
C
C
C
看向
A
A
A
、
B
B
B
兩盞燈的夾角
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
國中教育會考
質因數分解與標準分解式・因數個數與因數和
開始練習 →
某社區團購的訂單批號是五位數
N
=
5405
□
N=5405\square
N
=
5405
□
，其中
□
\square
□
代表一個數字。已知
N
N
N
的標準分解式含有質因數
7
7
7
與
13
13
13
。令
M
=
N
7
M=\frac{N}{7}
M
=
7
N
，則
M
M
M
的正因數中，是
39
39
39
的倍數者共有多少個？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
計算
17
29
−
(
5
31
+
8
29
)
−
(
9
29
−
12
31
)
+
1
6
\frac{17}{29}-\left(\frac{5}{31}+\frac{8}{29}\right)-\left(\frac{9}{29}-\frac{12}{31}\right)+\frac{1}{6}
29
17
−
(
31
5
+
29
8
)
−
(
29
9
−
31
12
)
+
6
1
的值。
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
如圖，台中一場市集準備用
1308
1308
1308
塊相同的正方形拼接地墊，鋪成兩個大小完全相同的正方形表演區。若兩個表演區的邊長都要盡可能大，完成後共會剩下多少塊地墊？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
花蓮某冷藏庫上午的溫度為
−
2
1
4
∘
C
-2\frac{1}{4}\,{}^\circ\mathrm{C}
−
2
4
1
∘
C
，中午比上午升高
5
6
∘
C
\frac{5}{6}\,{}^\circ\mathrm{C}
6
5
∘
C
。中午的溫度為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・整數四則與運算順序
開始練習 →
當
x
=
−
2
x=-2
x
=
−
2
時，
−
(
x
−
1
)
2
+
2
x
2
−
3
x
(
x
+
1
)
2
\dfrac{-(x-1)^2+2x^2-3x}{(x+1)^2}
(
x
+
1
)
2
−
(
x
−
1
)
2
+
2
x
2
−
3
x
的值為何？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
校慶園遊會的甲、乙兩攤原本各備有一些瓶裝茶。甲先送給乙
10
10
10
瓶，此時甲的瓶數是乙的
2
2
2
倍多
6
6
6
瓶。接著甲售出
12
12
12
瓶、乙售出
8
8
8
瓶，兩攤合計剩下
M
M
M
瓶，其中
M
>
60
M>60
M
>
60
。若設乙收到甲送來的茶後、尚未售出時有
x
x
x
瓶，則以
M
M
M
表示的
x
x
x
與甲最初的瓶數，依序為何？
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某里民活動中心的無線網路涵蓋範圍為以
O
O
O
為圓心的圓。測試點
A
A
A
在圓周上，且位於
O
O
O
的正東方
5
5
5
公尺、正北方
12
12
12
公尺處。另一測試點
P
P
P
位於
O
O
O
的正東方
k
k
k
公尺、正北方
12
12
12
公尺處，其中
k
≥
0
k\geq 0
k
≥
0
。則
P
P
P
位於涵蓋圓外的充要條件為何？
國中教育會考
高斯取整函數・容斥原理
開始練習 →
台灣燈會會場的寄物櫃編號從
48
48
48
到
240
240
240
，首尾編號皆包含在內。工作人員要檢查編號為
4
4
4
的倍數、但不是
6
6
6
的倍數的寄物櫃，共需檢查多少個？
國中教育會考
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
如圖，以公園入口
O
O
O
為原點，東西方向為
x
x
x
軸，南北方向為
y
y
y
軸。甲從
O
O
O
向西走
4
4
4
公里，再向北走
6
6
6
公里；乙從
O
O
O
向東走
3
3
3
公里，再向南走
2
2
2
公里。若甲由所在位置直線前往乙所在位置，則此位移向量的坐標為何？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
將
(
(
x
+
2
)
2
−
5
)
2
−
16
\bigl((x+2)^2-5\bigr)^2-16
(
(
x
+
2
)
2
−
5
)
2
−
16
反覆用平方差公式分解成一次因式的乘積，下列何者正確？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
社區圓形廣場的邊緣設有四個感應燈
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，依序在同一個圓上。維修單上記錄
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
18
)
∘
\angle DAB=(2x+18)^\circ
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
18
)
∘
、
∠
B
C
D
=
(
3
x
−
3
)
∘
\angle BCD=(3x-3)^\circ
∠
B
C
D
=
(
3
x
−
3
)
∘
。若兩角是四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的一組對角，則
∠
B
C
D
\angle BCD
∠
B
C
D
是多少？
國中教育會考
平面上的比例・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，河濱公園的一座梯形觀景平台
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
D
‾
∥
B
C
‾
\overline{AD}\parallel\overline{BC}
A
D
∥
B
C
，且較長底
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
比較短底
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
長
12
12
12
公尺。若
E
F
‾
\overline{EF}
E
F
為梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的中線，且長
23
23
23
公尺，則
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
的長度為何？
國中教育會考
坐標幾何・平面向量
開始練習 →
如圖，河濱自行車道的平面座標中，休息站
A
(
−
2
,
0
)
A(-2,0)
A
(
−
2
,
0
)
、
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
與補水站
C
C
C
構成三角形。已知
C
C
C
位於直線
x
=
1
x=1
x
=
1
上且在
x
x
x
軸上方，
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，則
C
C
C
的座標為何？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
某飲料店後台必須精確計算成本校正係數
R
=
0.0054
+
1
13
1
7
−
0.12
.
R=\frac{0.0054+\frac{1}{13}}{\frac{1}{7}-0.12}.
R
=
7
1
−
0.12
0.0054
+
13
1
.
下列哪一種前處理方式能保證不使用近似值，並繼續以分數運算完成計算？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
一座圓形自行車場的圓周上依序設有
A
A
A
、
C
C
C
、
D
D
D
、
B
B
B
四個休息站，兩條直線步道形成弦
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
與弦
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
，且
A
B
‾
∥
C
D
‾
\overline{AB}\parallel\overline{CD}
A
B
∥
C
D
。已知相鄰休息站間的弧
C
D
⌢
=
124
∘
\overset{\frown}{CD}=124^\circ
C
D
⌢
=
12
4
∘
、
B
A
⌢
=
56
∘
\overset{\frown}{BA}=56^\circ
B
A
⌢
=
5
6
∘
，則弧
A
C
⌢
\overset{\frown}{AC}
A
C
⌢
的度數為何？
國中教育會考
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
夜市某攤位週六的營業額比週日少
20
%
20\%
20%
，週五的營業額則比週六營業額的
3
4
\frac{3}{4}
4
3
多
600
600
600
元。若以「週六的營業額比週日少
20
%
20\%
20%
」這項比較關係的基準量設為
x
x
x
元，下列未知數的設定與週五營業額的表示，何者正確？
國中教育會考
坐標幾何
開始練習 →
如圖，某河濱自行車道的直線路段通過
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
兩點，一所學校位於
P
(
1
,
7
)
P(1,7)
P
(
1
,
7
)
。座標平面上每一單位代表
100
100
100
公尺，則學校到自行車道所在直線的最短距離為多少公尺？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・面積切割與補形
開始練習 →
校慶攤位要用泡棉片拼成如圖的正方形招牌，外框邊長為
3
a
+
2
b
3a+2b
3
a
+
2
b
，其中
a
,
b
>
0
a,b>0
a
,
b
>
0
。倉庫現有泡棉片的總面積為
8
a
2
+
10
a
b
+
3
b
2
8a^2+10ab+3b^2
8
a
2
+
10
ab
+
3
b
2
，且各片的邊長皆依圖中的
a
,
b
a,b
a
,
b
分割。若補充包內的泡棉片可恰好補滿招牌，補充包的總面積應為何？
國中教育會考
二次函數與拋物線・指數與根式
開始練習 →
設
a
<
0
a<0
a
<
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
、
c
>
0
c>0
c
>
0
，並令
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\Delta=b^2-4ac
Δ
=
b
2
−
4
a
c
。方程式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2+bx+c=0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
配方後為
(
x
+
b
2
a
)
2
=
Δ
4
a
2
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}
(
x
+
2
a
b
)
2
=
4
a
2
Δ
。令
P
=
Δ
4
a
2
P=\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}
P
=
4
a
2
Δ
，並以
Q
Q
Q
表示滿足
Q
+
b
2
a
=
P
Q+\frac{b}{2a}=P
Q
+
2
a
b
=
P
的解。下列哪一個有序數對等於
(
P
,
Q
)
(P,Q)
(
P
,
Q
)
？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・速率與工作問題
開始練習 →
某科學營的虛擬實境體驗區原有
x
x
x
位學生及
y
y
y
台設備，每台設備同時只能供
1
1
1
人使用。第一次開放
90
90
90
分鐘，所有設備全程運作，學生輪流使用且每人的累計使用時間均為
30
30
30
分鐘。第二次增加
4
4
4
位學生及
2
2
2
台設備，開放時間改為
120
120
120
分鐘；所有設備仍全程運作，且每人的累計使用時間均為
45
45
45
分鐘。忽略交換所需時間，則第一次共有多少位學生？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
計算
10
4
÷
5
6
⋅
2
\frac{\sqrt{10}}{4}\div\frac{\sqrt{5}}{6}\cdot\sqrt{2}
4
10
÷
6
5
⋅
2
，其結果為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
台灣一間手搖飲店整理原料成本的簡化模型時，其中有
2
x
2
+
12
x
2x^2+12x
2
x
2
+
12
x
。若要在原式補上一個常數，使結果可以寫成
2
(
x
+
a
)
2
2(x+a)^2
2
(
x
+
a
)
2
的形式，應補上多少？