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大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
730
題
・第 7／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
如圖，兩圓
C
1
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
2
y
−
7
=
0
C_1:x^2+y^2+2x-2y-7=0
C
1
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
2
y
−
7
=
0
與
C
2
:
x
2
+
y
2
−
6
x
+
2
y
−
3
=
0
C_2:x^2+y^2-6x+2y-3=0
C
2
:
x
2
+
y
2
−
6
x
+
2
y
−
3
=
0
相交於兩點。圓
C
C
C
通過這兩個交點，且圓心在直線
ℓ
:
x
−
y
=
2
\ell:x-y=2
ℓ
:
x
−
y
=
2
上。若圓
C
C
C
的半徑為
r
r
r
，則
r
2
r^2
r
2
為何？
‹
1
…
6
7
8
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運月台測試儀器的週期校正讀值可用函數
y
=
6
tan
(
a
x
−
9
)
+
11
y=6\tan(ax-9)+11
y
=
6
tan
(
a
x
−
9
)
+
11
描述，其中
x
x
x
的單位為秒。已知此函數的最小正週期為
7
π
2
\frac{7\pi}{2}
2
7
π
秒，且
a
<
0
a<0
a
<
0
，則
a
a
a
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・數字與位數問題
開始練習 →
某雲端備份系統可使用的檔案編號總數為正整數
x
x
x
。已知
70
<
log
2
x
<
70.5
70<\log_2 x<70.5
70
<
lo
g
2
x
<
70.5
，且
log
2
≈
0.3010
\log 2\approx0.3010
lo
g
2
≈
0.3010
，則
x
x
x
是幾位數？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
台中某共享機車公司推出短程租借方案。租借
t
t
t
小時的優惠費用可用
C
(
t
)
=
20
t
2
−
120
t
+
260
C(t)=20t^2-120t+260
C
(
t
)
=
20
t
2
−
120
t
+
260
表示，單位為元，且
0
≤
t
≤
5
0\le t\le 5
0
≤
t
≤
5
。小安想知道費用是否可能低於
100
100
100
元。下列判斷何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
兩條步道由觀景台
B
B
B
分別通往涼亭
A
A
A
與平台
C
C
C
。已知
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
公里、
A
C
=
14
AC=14
A
C
=
14
公里，且
∠
A
B
C
=
120
∘
\angle ABC=120^\circ
∠
A
B
C
=
12
0
∘
，則步道
B
C
BC
B
C
長多少公里？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
已知非零向量
a
⃗
\vec a
a
與
b
⃗
\vec b
b
不平行，並令
u
⃗
=
a
⃗
+
2
b
⃗
\vec u=\vec a+2\vec b
u
=
a
+
2
b
、
v
⃗
=
2
a
⃗
+
k
b
⃗
\vec v=2\vec a+k\vec b
v
=
2
a
+
k
b
，其中
k
k
k
為實數。若向量等式
p
u
⃗
+
q
v
⃗
=
3
a
⃗
+
6
b
⃗
p\vec u+q\vec v=3\vec a+6\vec b
p
u
+
q
v
=
3
a
+
6
b
至少有兩組相異的實數有序數對
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
滿足，則
k
k
k
為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
嘉義某咖啡攤把
6
6
6
張圓形口味貼紙貼在圓桌邊緣等距位置，貼紙顏色為
2
2
2
張紅色、
2
2
2
張藍色、
1
1
1
張黃色、
1
1
1
張綠色。同一種貼法若只是整個圓桌旋轉後相同，視為同一種；翻面看到的順序不同，視為不同種。共有幾種貼法？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
設
a
a
a
、
b
b
b
為固定實數，圓系為
C
k
:
x
2
+
y
2
+
(
a
k
+
b
)
x
+
(
3
k
−
2
)
y
+
b
k
−
3
=
0
C_k:x^2+y^2+(ak+b)x+(3k-2)y+bk-3=0
C
k
:
x
2
+
y
2
+
(
ak
+
b
)
x
+
(
3
k
−
2
)
y
+
bk
−
3
=
0
。如圖，當
k
=
2
k=2
k
=
2
與
k
=
4
k=4
k
=
4
時，兩圓的一個交點為
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
，則
a
+
b
a+b
a
+
b
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
滿足
(
1
4
)
x
−
1
<
1
8
2
≤
(
1
8
)
x
−
2
\left(\dfrac14\right)^{x-1}<\dfrac{1}{8\sqrt2}\leq\left(\dfrac18\right)^{x-2}
(
4
1
)
x
−
1
<
8
2
1
≤
(
8
1
)
x
−
2
的所有實數
x
x
x
所成的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
某河濱步道地圖以公里為座標單位，入口
A
=
(
−
4
,
1
)
A=(-4,1)
A
=
(
−
4
,
1
)
、補給站
P
=
(
2
,
5
)
P=(2,5)
P
=
(
2
,
5
)
，終點為
B
B
B
。已知
P
P
P
在線段
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
A
P
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{AP}:\overline{PB}=2:3
A
P
:
P
B
=
2
:
3
，則
(
B
,
A
B
‾
)
(B,\overline{AB})
(
B
,
A
B
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某三角形花圃的頂點為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，已知
A
B
=
10
AB=10
A
B
=
10
公尺、
A
C
=
14
AC=14
A
C
=
14
公尺、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
公尺。點
D
D
D
為線段
B
C
BC
B
C
的中點；點
M
M
M
位於線段
B
C
BC
B
C
上，且線段
A
M
AM
A
M
平分
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
，其長度為
105
\sqrt{105}
105
公尺。線段
A
D
AD
A
D
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・二次函數與拋物線
開始練習 →
設實數
x
x
x
滿足
x
≥
2
x\geq 2
x
≥
2
，則
9
x
−
3
x
+
2
+
6
9^x-3^{x+2}+6
9
x
−
3
x
+
2
+
6
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，三條曲線分別為
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=a^x
f
(
x
)
=
a
x
、
g
(
x
)
=
b
x
g(x)=b^x
g
(
x
)
=
b
x
、
h
(
x
)
=
c
x
h(x)=c^x
h
(
x
)
=
c
x
的圖形，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
皆為正數且不等於
1
1
1
。三條曲線皆通過
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
，且
f
f
f
通過
(
1
,
3
)
(1,3)
(
1
,
3
)
、
g
g
g
通過
(
1
,
2
)
(1,2)
(
1
,
2
)
、
h
h
h
通過
(
−
1
,
2
)
(-1,2)
(
−
1
,
2
)
。將
f
f
f
的圖形對稱於
y
y
y
軸，得到函數
k
k
k
的圖形。對任意
t
<
0
t<0
t
<
0
，下列大小關係何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
嘉義某高中校慶園遊會使用送餐機器人運送餐點。平面座標以公尺為單位，機器人沿直線從點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
行駛到點
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
，無線基地台位於點
S
(
3
,
3
)
S(3,3)
S
(
3
,
3
)
。已知機器人接收到的訊號只由它與基地台的距離決定，距離越短信號越強。若機器人在訊號最強處
P
P
P
暫停，則
A
P
AP
A
P
的長度是
A
B
AB
A
B
長度的多少倍？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義文化公園有一座圓形水池，圓心為
O
O
O
。水池邊緣上有三個標記點
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，其中小弧
A
B
AB
A
B
的圓心角
∠
A
O
B
\angle AOB
∠
A
O
B
為
128
∘
128^\circ
12
8
∘
，且
C
C
C
位於大弧
A
B
AB
A
B
上。若攝影師站在
C
C
C
對準
A
,
B
A,B
A
,
B
拍攝，夾角
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀・函數概念與圖形變換
開始練習 →
阿辰記錄台南某飲料店
12
12
12
個時段的排隊人數
x
x
x
與平均等候時間
y
y
y
分鐘，資料中
x
x
x
介於
4
4
4
到
28
28
28
。最小平方法得到迴歸直線
y
=
0.72
x
+
1.8
y=0.72x+1.8
y
=
0.72
x
+
1.8
，相關係數
r
=
0.84
r=0.84
r
=
0.84
。下列敘述何者最適當？
大學學科能力測驗（數學）
多項式函數與圖形
開始練習 →
設
a
a
a
為實數，
P
a
(
k
)
=
(
a
2
−
1
)
k
2
+
(
a
−
1
)
k
+
a
+
1
P_a(k)=(a^2-1)k^2+(a-1)k+a+1
P
a
(
k
)
=
(
a
2
−
1
)
k
2
+
(
a
−
1
)
k
+
a
+
1
，並以
k
k
k
為主變數。下列關於
P
1
(
k
)
P_1(k)
P
1
(
k
)
、
P
−
1
(
k
)
P_{-1}(k)
P
−
1
(
k
)
及零多項式的敘述，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
苗栗某圓形水池半徑為
13
13
13
m，水池內有一條直線步道
A
B
AB
A
B
，圓心
O
O
O
到步道
A
B
AB
A
B
的垂直距離為
5
5
5
m。步道在圓內的長度
A
B
AB
A
B
為多少 m？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
台北某外送員的實際送達時間為中午
12
12
12
時後
t
t
t
分鐘，其中
t
t
t
為
0
0
0
至
30
30
30
的整數。平台定義偏差指標
S
=
∣
∣
t
−
12
∣
−
5
∣
S=\bigl||t-12|-5\bigr|
S
=
∣
t
−
12∣
−
5
。若
S
≤
8
S\le 8
S
≤
8
，符合條件的
t
t
t
共有多少個？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
嘉義市集用手機叫號，實際排隊號碼
x
x
x
會轉成顯示碼
f
(
x
)
=
3
x
−
2
f(x)=3x-2
f
(
x
)
=
3
x
−
2
。志工看到顯示碼
40
40
40
，要還原實際排隊號碼；下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
自行車道平面圖以東向為
x
x
x
軸正向、北向為
y
y
y
軸正向，甲、乙兩段筆直車道所在直線的斜率分別為
1
1
1
與
−
3
-\sqrt{3}
−
3
。兩車道相交所形成的銳夾角為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・坐標幾何
開始練習 →
如圖，
A
(
p
,
t
)
A(p,t)
A
(
p
,
t
)
、
B
(
q
,
4
t
)
B(q,4t)
B
(
q
,
4
t
)
為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
圖形上的兩點，其中
t
>
0
t>0
t
>
0
。若線段
A
B
AB
A
B
的長度為
85
\sqrt{85}
85
，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，曲線為
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
。設
t
t
t
為實數，將此曲線上每一點的橫坐標加上
1
−
t
1-t
1
−
t
、縱坐標加上
t
2
−
4
t^2-4
t
2
−
4
，得到曲線
y
=
g
t
(
x
)
y=g_t(x)
y
=
g
t
(
x
)
。若方程式
g
t
(
x
)
=
2
x
g_t(x)=2^x
g
t
(
x
)
=
2
x
恰有一個實根，則
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義某夜市攤位統計冰沙銷售量，發現一週內每天晚上的銷售量近似週期變化，約每
7
7
7
天重複一次。週三賣出最多
190
190
190
杯，一週中銷售量最少的一天為
110
110
110
杯。令
t
t
t
表示從週一開始後經過的天數，且週一為
t
=
0
t=0
t
=
0
（所以週三為
t
=
2
t=2
t
=
2
），每日銷售量為
S
(
t
)
S(t)
S
(
t
)
杯。下列模型何者最合理？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・平面向量
開始練習 →
台南一場廟會的兩條遊行道路形成一個轉角
θ
\theta
θ
，其中
π
2
<
θ
<
π
\frac{\pi}{2}<\theta<\pi
2
π
<
θ
<
π
且
cos
θ
=
−
7
25
\cos\theta=-\frac{7}{25}
cos
θ
=
−
25
7
。工作人員從轉角頂點沿內角平分線拉出一條長
15
15
15
公尺的布幕拉索。若第一條道路指向正東，第二條道路由正東逆時針轉過
θ
\theta
θ
，則拉索末端向北的位移比向東的位移多多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
如圖為圓與
y
y
y
軸相切的示意圖。設方程式
x
2
+
y
2
+
(
k
−
4
)
x
+
(
k
−
2
)
y
+
a
−
3
k
=
0
x^2+y^2+(k-4)x+(k-2)y+a-3k=0
x
2
+
y
2
+
(
k
−
4
)
x
+
(
k
−
2
)
y
+
a
−
3
k
=
0
，其中
a
a
a
為固定實數，
k
k
k
為實數參數。若恰有兩個不同的
k
k
k
值，使此方程式代表半徑大於零的圓，且該圓與
y
y
y
軸相切，則
a
a
a
的取值範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓錐曲線（截痕概念）
開始練習 →
台南一間科學咖啡館用雙圓錐模型做燈影裝置。店員說：甲切面只穿過上半個圓錐，且不平行底面也不平行母線；乙切面與某一條母線平行；丙切面同時穿過上下兩半圓錐。若只依截痕概念與基本焦點性質判斷，下列哪一張說明卡正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某圓形自行車練習場的邊界圓心為
C
(
12
,
5
)
C(12,5)
C
(
12
,
5
)
，半徑為
20
20
20
。場內有一固定感應點
A
A
A
，每條通過
A
A
A
的弦，其中點
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M
(
x
,
y
)
的軌跡方程式為
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
64
(x-4)^2+(y-5)^2=64
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
64
。在所有通過
A
A
A
的弦中，長度最短的弦所在直線方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・坐標幾何
開始練習 →
如圖，圓
C
C
C
的方程式為
x
2
+
y
2
=
4
x^2+y^2=4
x
2
+
y
2
=
4
，且
U
=
(
0
,
2
)
U=(0,2)
U
=
(
0
,
2
)
、
V
=
(
0
,
−
2
)
V=(0,-2)
V
=
(
0
,
−
2
)
。將圓上的點依下列方式保留，未符合條件的點全部移除。哪一種方式所得的軌跡可以作為單一函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形？各軌跡的定義域取為其所有點的橫座標所成的集合。
大學學科能力測驗（數學）
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
高雄夜市攤位設計三角形貼紙，頂點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
4
,
1
)
B(4,1)
B
(
4
,
1
)
、
C
(
1
,
3
)
C(1,3)
C
(
1
,
3
)
依
A
→
B
→
C
A\to B\to C
A
→
B
→
C
的方向為逆時針。設計軟體先以原點為中心將整個圖形逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，再對
y
y
y
軸鏡射。完成後，頂點
C
C
C
的座標與
A
→
B
→
C
A\to B\to C
A
→
B
→
C
的定向為何？