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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1528
題
・第 21／51 頁
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
台南一處河岸光廊的燈光亮度會規律明暗變化，每
90
90
90
秒重複一次，亮度介於
20
%
20\%
20%
與
80
%
80\%
80%
之間。令
t
=
0
t=0
t
=
0
時亮度為
50
%
50\%
50%
，且此後燈光立即開始變暗。若以
L
(
t
)
L(t)
L
(
t
)
表示第
t
t
t
秒的亮度百分比，則下列哪一個模型符合敘述？
‹
1
…
20
21
22
…
51
›
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
台南某果園要在三棵柚子樹
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
之間圍出一塊三角形展示區。已知
A
B
=
18
AB=18
A
B
=
18
公尺、
A
C
=
12
AC=12
A
C
=
12
公尺，且夾角
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle BAC=60^\circ
∠
B
A
C
=
6
0
∘
。此展示區的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台南某校園園遊會，飲料攤把兩種套餐售價記成矩陣方程：套餐甲含
2
2
2
杯紅茶與
1
1
1
杯豆漿共
95
95
95
元，套餐乙含
1
1
1
杯紅茶與
3
3
3
杯豆漿共
130
130
130
元。若單杯紅茶為
x
x
x
元、豆漿為
y
y
y
元，則買
1
1
1
杯紅茶和
1
1
1
杯豆漿共多少元？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
畢業典禮志工拍照時，
5
5
5
位班代與
3
3
3
位音控組同學站成一排。若
3
3
3
位音控組同學彼此都不能相鄰，且
8
8
8
位同學皆可區分，問共有多少種站法？
國中教育會考
單位換算與時間計算・幾何：角度與面積
開始練習 →
學校操場新畫一塊長方形練習區，長
30
30
30
公尺、寬
12
12
12
公尺。若要把面積用平方公分表示，應是多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南某街區的平面座標以每單位代表
100
100
100
公尺。兩個共享單車站分別在
P
(
1
,
3
)
P(1,3)
P
(
1
,
3
)
與
Q
(
7
,
11
)
Q(7,11)
Q
(
7
,
11
)
，維修車預計先到兩站的中點
M
M
M
，再步行到咖啡店
R
(
7
,
4
)
R(7,4)
R
(
7
,
4
)
。請問
M
M
M
到
R
R
R
的直線距離為多少公尺？
國中教育會考
比例、速率與百分比
開始練習 →
台中一間早餐店的豆漿原價每杯
25
25
25
元，因活動先降價
20
%
20\%
20%
，活動結束後再以降價後的價格調漲
15
%
15\%
15%
。最後每杯豆漿的價格與原價相比，最接近下列哪一項？
AMC 10
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
高雄某夜市的巷弄可視為方格道路。小寧從入口
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到飲料攤
T
=
(
5
,
4
)
T=(5,4)
T
=
(
5
,
4
)
，每一步只能向東或向北走一格。因為施工，交叉口
P
=
(
2
,
1
)
P=(2,1)
P
=
(
2
,
1
)
與
Q
=
(
3
,
3
)
Q=(3,3)
Q
=
(
3
,
3
)
不能經過。小寧共有多少種最短走法？
AMC 12
二次函數與拋物線
開始練習 →
台南某飲料店推出芒果冰沙。原本每杯售價
50
50
50
元時，一天可賣
120
120
120
杯。店長估計售價每提高
1
1
1
元，一天會少賣
4
4
4
杯；每杯成本為
30
30
30
元。若提高的金額為非負整數，且不考慮其他成本，則一天利潤最大時，每杯售價應為多少元？
國中教育會考
速率與工作問題・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
阿寧整理回收紙箱。若每天整理
12
12
12
箱，會比預定天數多用
2
2
2
天；若每天整理
18
18
18
箱，會比預定天數少用
1
1
1
天。請問共有幾箱紙箱要整理？
AMC 8
平均數與加權平均・統計圖表與資料判讀
開始練習 →
台南某便當店上午賣出
18
18
18
個雞腿便當，平均價格為
95
95
95
元；下午賣出
12
12
12
個雞腿便當，平均價格為
105
105
105
元。這一天雞腿便當的平均售價是多少元？
AIME
立體幾何・整數解與不定方程
開始練習 →
台中一間糕餅店要用長方體鐵盒裝太陽餅，盒子的三邊長都是整數公分且互不相同。已知盒子的體積為
480
480
480
立方公分，表面積為
476
476
476
平方公分。若一條細緞帶要貼著盒子的外表面，從某一頂點連到與它相對的頂點，且路徑最短，設最短長度為
d
d
d
。求
d
2
d^2
d
2
。
國中教育會考
相似形與比例線段
開始練習 →
台中某校在操場旁設置縮小版看板。設計圖中，
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上、
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
。已知
A
D
=
6
AD=6
A
D
=
6
公分、
D
B
=
3
DB=3
D
B
=
3
公分、
A
E
=
8
AE=8
A
E
=
8
公分，求
E
C
EC
E
C
為多少公分？
AMC 10
對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南一所高中園遊會中，阿廷在兩個攤位各拿到一些點數，設兩攤點數分別為
x
x
x
與
y
y
y
。工作人員只記得
x
+
y
=
18
x+y=18
x
+
y
=
18
，且
x
2
+
y
2
=
194
x^2+y^2=194
x
2
+
y
2
=
194
。若兌換紀念貼紙需要的點數為
x
y
+
x
+
y
xy+x+y
x
y
+
x
+
y
，阿廷可以兌換幾點的紀念貼紙？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
高雄旗津渡輪碼頭設置水位感測器。某日下午
2
2
2
時測得水位達到最高
3.2
3.2
3.2
公尺，當日晚間
8
8
8
時水位降到最低
1.2
1.2
1.2
公尺，且這兩次極值為同一週期中相鄰的最高與最低。若水位可用正弦函數近似，令
t
t
t
為下午
2
2
2
時起算的經過時數，
H
(
t
)
H(t)
H
(
t
)
為水位高度，則下列哪一個模型最合適？
AMC 8
速率與工作問題・平均數與加權平均
開始練習 →
小凱騎自行車從社區到圖書館，路程為
12
12
12
公里，去程速率是每小時
12
12
12
公里；他沿原路以每小時
8
8
8
公里返回。小凱全程的平均速率是多少？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・整數解與不定方程
開始練習 →
便利商店推出集點活動，小芸要把
10
10
10
點分配到
4
4
4
個不同的會員帳號中，每個帳號至少要有
1
1
1
點。若只看每個帳號得到的點數，則共有多少種分配方式？
AMC 8
幾何：角度與面積・系統列舉與分類討論
開始練習 →
屏東一塊三角形稻田
A
B
C
ABC
A
B
C
的邊
B
C
BC
B
C
上依序有
D
,
E
D,E
D
,
E
兩點，且
B
D
=
6
BD=6
B
D
=
6
、
D
E
=
9
DE=9
D
E
=
9
、
E
C
=
3
EC=3
E
C
=
3
。若
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的面積是
84
84
84
平方公尺，求
△
A
D
E
\triangle ADE
△
A
D
E
的面積。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
宜蘭一張農田平面圖上，灌溉渠的一側是通過
A
(
−
2
,
1
)
A(-2,1)
A
(
−
2
,
1
)
與
B
(
4
,
4
)
B(4,4)
B
(
4
,
4
)
的直線。若農夫要從水閘
C
(
1
,
−
3
)
C(1,-3)
C
(
1
,
−
3
)
開一條與該側垂直的新渠道，則新渠道的直線方程式為何？
AMC 8
加法與乘法原理
開始練習 →
文具店印製客製化姓名貼，只能在小圓貼和長條貼兩種版型中選一種。小圓貼要選
1
1
1
個圖案與
1
1
1
種邊框色，圖案有
6
6
6
種、邊框色有
4
4
4
種；長條貼要選
1
1
1
個圖案與
1
1
1
種字體，圖案有
5
5
5
種、字體有
3
3
3
種。共有幾種不同設計？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
花蓮某民宿陽台的遮陽板受日照角度影響，某天上午的遮蔭寬度可用
w
(
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
w(\theta)=2\sin\theta\cos\theta
w
(
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
公尺表示，其中
0
≤
θ
≤
π
2
0\le \theta\le \frac{\pi}{2}
0
≤
θ
≤
2
π
。若遮蔭寬度為
1
1
1
公尺，則
θ
\theta
θ
為多少？
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
早餐店上午賣出兩種豆漿。無糖豆漿賣出
18
18
18
杯，平均每杯糖量為
0
0
0
克；微糖豆漿賣出
42
42
42
杯，平均每杯糖量為
12
12
12
克。把這
60
60
60
杯合在一起看，平均每杯糖量是多少克？
國中教育會考
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
物流社團要在一個長方體紙盒外表貼一條細膠帶，從左前下角貼到右後上角，膠帶必須完全貼在紙盒表面。紙盒長
6
6
6
公分、寬
8
8
8
公分、高
4
4
4
公分，最短需要多長的膠帶？
AMC 8
加法與乘法原理
開始練習 →
校外教學到台南，導師檢查
38
38
38
位學生的隨身物品：有
24
24
24
人帶水壺，有
17
17
17
人帶折疊傘，其中
9
9
9
人兩樣都帶。兩樣都沒帶的有幾人？
大學學科能力測驗（數學）
等比數列與無窮級數
開始練習 →
小芸用記帳 App 記錄某項訂閱折扣相對原價的「每日修正金額」，省下記為正、補回記為負。第
1
1
1
天修正為省下
48
48
48
元，之後每天修正金額都是前一天的
−
1
2
-\frac{1}{2}
−
2
1
倍。若只看前
6
6
6
天，累計修正金額是多少元？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
飲料店記錄
5
5
5
個營業日中，下午最高氣溫
x
x
x
（攝氏度）與無糖綠茶售出杯數
y
y
y
：
x
:
27
,
29
,
30
,
32
,
34
x:27,29,30,32,34
x
:
27
,
29
,
30
,
32
,
34
，
y
:
58
,
63
,
66
,
72
,
79
y:58,63,66,72,79
y
:
58
,
63
,
66
,
72
,
79
。根據這組二維數據，下列敘述何者最適當？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台南某校園地圖以座標平面表示，穿堂、圖書館、飲水機的位置分別為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
、
C
(
5
,
9
)
C(5,9)
C
(
5
,
9
)
。若要估計三處形成的三角形區域面積，則面積為多少平方單位？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・整數解與不定方程
開始練習 →
阿姨有
14
14
14
張完全相同的夜市折價券，要分給
4
4
4
個孩子。老大至少拿
4
4
4
張，其餘
3
3
3
人每人至少拿
2
2
2
張。只看每人拿到的張數，問共有多少種分法？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
學校圖書館調查
8
8
8
位學生一週平均每日閱讀時間
x
x
x
（分鐘）與手機娛樂使用時間
y
y
y
（分鐘），用最小平方法得到預測
y
y
y
的迴歸直線
y
=
−
0.7
x
+
130
y=-0.7x+130
y
=
−
0.7
x
+
130
。設這組資料的相關係數為
r
r
r
，下列何者必定正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
某里辦公室規劃圓形無線網路涵蓋區，地圖座標單位為
10
10
10
公尺。涵蓋區邊界滿足方程式
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
。此圓形涵蓋區的半徑為多少公尺？