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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
862
題
・第 12／29 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・整數解與不定方程
開始練習 →
便利商店推出集點活動，小芸要把
10
10
10
點分配到
4
4
4
個不同的會員帳號中，每個帳號至少要有
1
1
1
點。若只看每個帳號得到的點數，則共有多少種分配方式？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
‹
1
…
11
12
13
…
29
›
宜蘭一張農田平面圖上，灌溉渠的一側是通過
A
(
−
2
,
1
)
A(-2,1)
A
(
−
2
,
1
)
與
B
(
4
,
4
)
B(4,4)
B
(
4
,
4
)
的直線。若農夫要從水閘
C
(
1
,
−
3
)
C(1,-3)
C
(
1
,
−
3
)
開一條與該側垂直的新渠道，則新渠道的直線方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
花蓮某民宿陽台的遮陽板受日照角度影響，某天上午的遮蔭寬度可用
w
(
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
w(\theta)=2\sin\theta\cos\theta
w
(
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
公尺表示，其中
0
≤
θ
≤
π
2
0\le \theta\le \frac{\pi}{2}
0
≤
θ
≤
2
π
。若遮蔭寬度為
1
1
1
公尺，則
θ
\theta
θ
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
等比數列與無窮級數
開始練習 →
小芸用記帳 App 記錄某項訂閱折扣相對原價的「每日修正金額」，省下記為正、補回記為負。第
1
1
1
天修正為省下
48
48
48
元，之後每天修正金額都是前一天的
−
1
2
-\frac{1}{2}
−
2
1
倍。若只看前
6
6
6
天，累計修正金額是多少元？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
飲料店記錄
5
5
5
個營業日中，下午最高氣溫
x
x
x
（攝氏度）與無糖綠茶售出杯數
y
y
y
：
x
:
27
,
29
,
30
,
32
,
34
x:27,29,30,32,34
x
:
27
,
29
,
30
,
32
,
34
，
y
:
58
,
63
,
66
,
72
,
79
y:58,63,66,72,79
y
:
58
,
63
,
66
,
72
,
79
。根據這組二維數據，下列敘述何者最適當？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台南某校園地圖以座標平面表示，穿堂、圖書館、飲水機的位置分別為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
、
C
(
5
,
9
)
C(5,9)
C
(
5
,
9
)
。若要估計三處形成的三角形區域面積，則面積為多少平方單位？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・整數解與不定方程
開始練習 →
阿姨有
14
14
14
張完全相同的夜市折價券，要分給
4
4
4
個孩子。老大至少拿
4
4
4
張，其餘
3
3
3
人每人至少拿
2
2
2
張。只看每人拿到的張數，問共有多少種分法？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
學校圖書館調查
8
8
8
位學生一週平均每日閱讀時間
x
x
x
（分鐘）與手機娛樂使用時間
y
y
y
（分鐘），用最小平方法得到預測
y
y
y
的迴歸直線
y
=
−
0.7
x
+
130
y=-0.7x+130
y
=
−
0.7
x
+
130
。設這組資料的相關係數為
r
r
r
，下列何者必定正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
某里辦公室規劃圓形無線網路涵蓋區，地圖座標單位為
10
10
10
公尺。涵蓋區邊界滿足方程式
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
。此圓形涵蓋區的半徑為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
花蓮港的浮標受規律波浪影響，浮標頂端相對基準面的高度介於
0.5
0.5
0.5
公尺與
1.7
1.7
1.7
公尺之間。開始計時時，浮標恰好位於中線高度且正在上升；它第一次到達最高點是在
t
=
2
t=2
t
=
2
秒，下一次到達最高點是在
t
=
10
t=10
t
=
10
秒。依正弦模型估計，
t
=
3
t=3
t
=
3
秒時浮標頂端的高度為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
一個高鐵便當盒上有
8
8
8
個連續展示格，要貼上
3
3
3
張相同的紅茶貼紙、
3
3
3
張相同的飯糰貼紙、
2
2
2
張相同的芒果貼紙。若最左格與最右格的主題必須不同，問共有多少種貼法？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
嘉義某高中校慶園遊會使用送餐機器人運送餐點。平面座標以公尺為單位，機器人沿直線從點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
行駛到點
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
，無線基地台位於點
S
(
3
,
3
)
S(3,3)
S
(
3
,
3
)
。已知機器人接收到的訊號只由它與基地台的距離決定，距離越短信號越強。若機器人在訊號最強處
P
P
P
暫停，則
A
P
AP
A
P
的長度是
A
B
AB
A
B
長度的多少倍？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・容斥原理
開始練習 →
文創市集有
5
5
5
種不同圖案的杯墊各
2
2
2
個，共
10
10
10
個杯墊。店員要從中選
4
4
4
個裝成一包販售，只看包內圖案組合，不看排列順序。若每種圖案最多只能選到
2
2
2
個，則共有多少種不同組合？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀・函數概念與圖形變換
開始練習 →
便當店記錄外送平台折扣率
x
x
x
（百分點）與午餐訂單數
y
y
y
。在
x
x
x
介於
0
0
0
到
20
20
20
的資料中，最小平方法得到迴歸直線
y
=
2.4
x
+
36
y=2.4x+36
y
=
2.4
x
+
36
，且相關係數
r
=
0.86
r=0.86
r
=
0.86
。若店長想評估
x
=
15
x=15
x
=
15
時的訂單數，下列敘述何者最適當？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
社團成果展要將
7
7
7
張不同照片貼在一排展示板上，其中甲照片與乙照片不能相鄰。若每個位置只能貼一張照片，則共有多少種不同貼法？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
阿哲用手機量到淡水河邊某路燈影子的方向角為
75
∘
75^\circ
7
5
∘
。他想用已知的
30
∘
30^\circ
3
0
∘
與
45
∘
45^\circ
4
5
∘
角來估算
cos
75
∘
\cos 75^\circ
cos
7
5
∘
。下列哪一個值正確？
AMC 10
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
嘉義某夜市的攤位平面圖以入口為原點，向東為
x
x
x
軸正向，向北為
y
y
y
軸正向。三個攤位位置依序為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
5
,
1
)
B(5,1)
B
(
5
,
1
)
、
C
(
5
,
4
)
C(5,4)
C
(
5
,
4
)
。主辦單位把整張攤位圖先對直線
x
=
3
x=3
x
=
3
鏡射，再以原點為中心逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，得到
A
′
A'
A
′
、
B
′
B'
B
′
、
C
′
C'
C
′
。下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某公車 APP 對一段路線的到站時間預估為
m
+
7
m+7
m
+
7
分鐘，後來用實測資料得到模型
3
m
−
5
3m-5
3
m
−
5
分鐘。若兩者相差不超過
2
2
2
分鐘就視為準確，則交通指標
m
m
m
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
澎湖某校利用風向感測器測試小型風力發電機。海風速率為每秒
13
13
13
公尺，風向與正東方向逆時針夾角為
θ
\theta
θ
，其中
θ
\theta
θ
位於第二象限且
sin
θ
=
5
13
\sin\theta=\frac{5}{13}
sin
θ
=
13
5
。感測器的正向量測軸與正東方向夾角為
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
，則海風沿此正向量測軸的有向分量
13
cos
(
θ
−
π
3
)
13\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)
13
cos
(
θ
−
3
π
)
為多少公尺每秒？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在平面座標上，嘉義火車站前廣場有一個圓形花圃，其邊界方程式為
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
x^2+y^2-8x+6y-11=0
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
。小晴站在點
P
(
2
,
1
)
P(2,1)
P
(
2
,
1
)
，想沿著一條直線走向花圃中心
C
C
C
。通過
P
P
P
與
C
C
C
的直線方程式為何？
AMC 10
二次函數與拋物線
開始練習 →
阿庭在台中勤美市集賣手作果醬。若每罐定價為
x
x
x
元，預估當天可賣出
160
−
2
x
160-2x
160
−
2
x
罐。每罐材料成本為
30
30
30
元，且市集規定定價必須是整數並滿足
45
≤
x
≤
70
45 \le x \le 70
45
≤
x
≤
70
。若當天利潤為
P
P
P
元，則
P
P
P
的最大值是多少？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南某校園的三個打卡點
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
形成三角形。已知
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公尺、
A
C
=
9
AC=9
A
C
=
9
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。若學生從
B
B
B
直接走到
C
C
C
，距離
B
C
BC
B
C
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・等比數列與無窮級數
開始練習 →
台南一間豆花店試做冷藏保存測試，某種配料的新鮮度指標每天會變成前一天的
4
5
\frac{4}{5}
5
4
。開始時指標為
12500
12500
12500
，規定指標必須低於
6400
6400
6400
才可停止測試。若第
n
n
n
天測量值為
12500
(
4
5
)
n
12500\left(\frac{4}{5}\right)^n
12500
(
5
4
)
n
，則最早在第幾天可停止測試？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・坐標幾何
開始練習 →
一座捷運站出口的無障礙斜坡，以空間座標記錄三個角點：入口左側
A
(
0
,
0
,
0
)
A(0,0,0)
A
(
0
,
0
,
0
)
、入口右側
B
(
4
,
0
,
0
)
B(4,0,0)
B
(
4
,
0
,
0
)
、平台右前角
C
(
4
,
3
,
2
)
C(4,3,2)
C
(
4
,
3
,
2
)
。若斜坡面可視為三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，其面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
空間中的直線與平面・空間向量
開始練習 →
台南某校在屋頂架設太陽能板，以公尺為單位建立空間坐標系。太陽能板所在平面通過三個固定點
P
(
1
,
0
,
2
)
P(1,0,2)
P
(
1
,
0
,
2
)
、
Q
(
3
,
1
,
2
)
Q(3,1,2)
Q
(
3
,
1
,
2
)
、
R
(
2
,
0
,
4
)
R(2,0,4)
R
(
2
,
0
,
4
)
。維修無人機停在點
S
(
4
,
3
,
5
)
S(4,3,5)
S
(
4
,
3
,
5
)
，若要從無人機沿最短路徑垂直放下纜線至太陽能板平面，則纜線長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
高雄輕軌周邊規劃一段直線步道，設計圖上兩端點為
P
(
2
,
5
)
P(2,5)
P
(
2
,
5
)
、
Q
(
10
,
1
)
Q(10,1)
Q
(
10
,
1
)
。若服務站
R
R
R
要設在
P
Q
PQ
P
Q
的中點，且通往服務站的短路徑需與
P
Q
PQ
P
Q
垂直，則通過
R
R
R
且垂直於
P
Q
PQ
P
Q
的直線方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某捷運站的藝術燈牆每分鐘亮度以
L
(
t
)
=
6
+
2
cos
(
π
6
t
)
L(t)=6+2\cos \left(\frac{\pi}{6}t\right)
L
(
t
)
=
6
+
2
cos
(
6
π
t
)
模擬，其中
t
t
t
以分鐘為單位。志工記錄
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
內亮度等於
7
7
7
的時刻。共有幾個？
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南某夜市的平面地圖上，每單位代表
1
1
1
公尺。兩個攤位位於
A
(
0
,
−
2
)
A(0,-2)
A
(
0
,
−
2
)
與
B
(
6
,
−
2
)
B(6,-2)
B
(
6
,
−
2
)
。圓形動線
C
C
C
通過
A
,
B
A,B
A
,
B
，且與水平消防通道
y
=
7
y=7
y
=
7
相切；圓心
O
O
O
位於
A
,
B
A,B
A
,
B
的上方。過
A
A
A
與
B
B
B
分別作
C
C
C
的切線，兩切線交於
T
T
T
。若
O
T
2
=
m
n
OT^2=\frac{m}{n}
O
T
2
=
n
m
，其中
m
,
n
m,n
m
,
n
為互質正整數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
嘉義某高中有
7
7
7
名學生志工在圓桌旁討論市集分工，其中每人皆可辨識。若整桌同方向旋轉後的座次視為相同，且阿哲與小晴必須相鄰，品妤與冠廷不得相鄰，則共有多少種不同座次？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
某校數學社有
6
6
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位同學圍坐一張圓桌討論園遊會攤位，其中小安與小柏必須坐相鄰。若只考慮相對座位，不分圓桌旋轉後的位置，則共有多少種坐法？