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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
474
題
・第 4／16 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）・整數四則與運算順序
開始練習 →
班級園遊會結算時，小芸需要化簡計算表中的代數式
5
x
−
[
2
x
−
(
3
−
x
)
+
4
]
5x-[2x-(3-x)+4]
5
x
−
[
2
x
−
(
3
−
x
)
+
4
]
。去除括號並合併同類項後，結果為何？
‹
1
…
3
4
5
…
16
›
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座展場的旋轉燈每轉過角度
θ
\theta
θ
，感測器便記錄一次狀態；當且僅當
sin
θ
=
1
2
\sin\theta=\frac{1}{2}
sin
θ
=
2
1
時，記錄顯示為紅燈。若只查看
1000
∘
≤
θ
≤
1700
∘
1000^\circ\leq\theta\leq1700^\circ
100
0
∘
≤
θ
≤
170
0
∘
的資料，下列哪一項是紅燈出現角度的完整集合？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
某校園遊會使用兩個正方體收納箱，其稜長分別為
x
x
x
公寸與
y
y
y
公寸。已知
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
，且兩箱的體積和為
112
112
112
立方公寸，則兩箱底面面積的總和為多少平方公寸？
AMC 10
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
永康街一間甜點店準備抽獎盒，盒中有
5
5
5
張紅券、
4
4
4
張藍券、
3
3
3
張綠券，所有券除了顏色外都視為不同。小晴一次從盒中不放回抽出
4
4
4
張，抽完後只看抽到哪些券。求抽到的
4
4
4
張中至少有一張紅券，且恰好出現兩種顏色的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小美規劃從高雄搭車北上，手機電量預測的校正差為
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
H(x)=(x+2)(x-1)(x-3)^2
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
，其中
x
x
x
是出門後的時數，只討論
0
≤
x
≤
5
0\le x\le 5
0
≤
x
≤
5
。若
H
(
x
)
≤
0
H(x)\le 0
H
(
x
)
≤
0
表示預測電量不高於實際電量，則哪些時段符合？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某地區的座標地圖上，兩座 YouBike 站的位置分別為
P
(
a
,
9
)
P(a,9)
P
(
a
,
9
)
、
Q
(
8
,
5
)
Q(8,5)
Q
(
8
,
5
)
，其中線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中點位於直線
x
=
5
x=5
x
=
5
上。若自行車道
L
L
L
是線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中垂線，則
L
L
L
的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質
開始練習 →
圓形自行車道的圓周上依順時針方向設有
A
A
A
、
C
C
C
、
B
B
B
、
D
D
D
四個休息點。已知弧
A
C
B
^
\widehat{ACB}
A
C
B
的度數為
124
∘
124^\circ
12
4
∘
，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
的度數為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
一個圓形腳踏車輪框的圓心為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公分，
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
為輪框上的點。已知劣弧
A
B
^
\widehat{AB}
A
B
與劣弧
C
D
^
\widehat{CD}
C
D
等弧，
△
A
O
B
\triangle AOB
△
A
O
B
的周長為
39
39
39
公分，且弦
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
的長為
(
3
x
−
6
)
(3x-6)
(
3
x
−
6
)
公分，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
某圓形廣場的圓周上依序有四個座位點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，並連接對角線
A
C
AC
A
C
。已知
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
\angle DAB=(2x+20)^\circ
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
、
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
\angle BCA=(x+10)^\circ
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
、
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
\angle ACD=(x+30)^\circ
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
，求
∠
B
C
A
\angle BCA
∠
B
C
A
的度數。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的三頂點為
A
=
(
0
,
0
)
A=(0,0)
A
=
(
0
,
0
)
、
B
=
(
15
,
0
)
B=(15,0)
B
=
(
15
,
0
)
、
C
=
(
63
5
,
16
5
)
C=\left(\dfrac{63}{5},\dfrac{16}{5}\right)
C
=
(
5
63
,
5
16
)
。下列何者為其內切圓的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・三角函數與和差角
開始練習 →
某遊樂設施的平衡指標可表示為
f
(
x
)
=
−
sin
2
x
+
1
2
sin
x
f(x)=-\sin^2x+\frac{1}{2}\sin x
f
(
x
)
=
−
sin
2
x
+
2
1
sin
x
，其中
x
x
x
為實數。則
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最大值為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・分數與小數運算
開始練習 →
花蓮某社區辦接駁服務，行車
m
m
m
分鐘後，距離估計為
d
(
m
)
=
m
4
+
1
d(m)=\frac{m}{4}+1
d
(
m
)
=
4
m
+
1
公里；距離
x
x
x
公里的補貼金額為
c
(
x
)
=
30
+
6
x
c(x)=30+6x
c
(
x
)
=
30
+
6
x
元。若表單輸入行車時間
m
m
m
，系統應用哪個函數表示補貼，且
m
=
12
m=12
m
=
12
時補貼多少元？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某班數學小考後，老師發現有
70
%
70\%
70%
的同學有訂正錯題，有訂正者中
80
%
80\%
80%
下次小考及格，未訂正者中
50
%
50\%
50%
下次小考及格。若隨機選一位同學，已知他下次小考及格，求他有訂正錯題的機率。
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
圓形蓄水池邊緣有
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
三個測量點。已知
A
C
=
14
AC=14
A
C
=
14
公尺、
B
C
=
48
BC=48
B
C
=
48
公尺，且
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，則此蓄水池的面積為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
已知實數
p
,
q
p,q
p
,
q
使多項式恆等式
(
x
+
p
)
(
2
x
−
3
)
+
q
(
x
−
1
)
≡
2
x
2
+
5
x
−
9
(x+p)(2x-3)+q(x-1)\equiv 2x^2+5x-9
(
x
+
p
)
(
2
x
−
3
)
+
q
(
x
−
1
)
≡
2
x
2
+
5
x
−
9
對所有實數
x
x
x
成立，則
p
+
q
p+q
p
+
q
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
一位同學用平板繪圖設計校慶海報，拋物線圖案的高度可用
y
=
a
(
x
−
3
)
2
+
5
y=a(x-3)^2+5
y
=
a
(
x
−
3
)
2
+
5
表示。已知圖案通過點
(
1
,
1
)
(1,1)
(
1
,
1
)
。若另一條水平裝飾線為
y
=
2
y=2
y
=
2
，則此裝飾線與拋物線有幾個交點？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平面向量
開始練習 →
某高架道路的兩條車道中心線互相平行。在工程座標中，第一條中心線為
L
1
:
(
x
,
y
)
=
(
1
,
−
2
)
+
t
(
2
,
3
)
L_1:(x,y)=(1,-2)+t(2,3)
L
1
:
(
x
,
y
)
=
(
1
,
−
2
)
+
t
(
2
,
3
)
，其中
t
∈
R
t\in\mathbb{R}
t
∈
R
；第二條中心線為
L
2
:
6
x
−
4
y
+
k
=
0
L_2:6x-4y+k=0
L
2
:
6
x
−
4
y
+
k
=
0
。已知兩中心線的距離為
3
13
2
\frac{3\sqrt{13}}{2}
2
3
13
公尺，且
L
2
L_2
L
2
與
y
y
y
軸交於正半軸，則
k
k
k
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
方程式
2
x
2
−
7
∣
x
∣
+
3
=
0
2x^2-7|x|+3=0
2
x
2
−
7∣
x
∣
+
3
=
0
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・幾何：角度與面積
開始練習 →
一家文具店製作正方形紙卡，邊長為
(
4
a
2
−
3
b
3
)
(4a^2-3b^3)
(
4
a
2
−
3
b
3
)
公分，且
4
a
2
>
3
b
3
>
0
4a^2>3b^3>0
4
a
2
>
3
b
3
>
0
。其面積展開後為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某校園三角形花圃的三個頂點座標分別為
A
(
4
,
5
)
A(4,5)
A
(
4
,
5
)
、
B
(
7
,
−
1
)
B(7,-1)
B
(
7
,
−
1
)
、
C
(
3
,
3
)
C(3,3)
C
(
3
,
3
)
。若此三角形的垂心為
H
(
p
,
q
)
H(p,q)
H
(
p
,
q
)
，則
2
p
−
3
q
2p-3q
2
p
−
3
q
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
關於實數方程式
∣
2
x
+
1
∣
=
a
−
4
|2x+1|=a-4
∣2
x
+
1∣
=
a
−
4
的解，下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
嘉義沿海的巡查無人機以東方為正
x
x
x
軸、北方為正
y
y
y
軸。無人機起點座標為
(
2
,
−
1
)
(2,-1)
(
2
,
−
1
)
，接著沿與正
x
x
x
軸逆時針夾角
150
∘
150^\circ
15
0
∘
的方向直飛
12
12
12
公里。若忽略風力影響，飛行後的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・坐標幾何
開始練習 →
台南某段道路施工時，以路口為原點建立座標平面，臨時分流車道的中心線可近似為拋物線
y
=
x
2
−
6
x
+
k
y=x^2-6x+k
y
=
x
2
−
6
x
+
k
，單位皆為公尺。若安全規定要求此車道中心線與直線警戒線
y
=
2
x
+
1
y=2x+1
y
=
2
x
+
1
沒有交點，則
k
k
k
的可能範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某校園的無線網路訊號邊界是一個圓，恰通過三個監測點
A
(
3
,
7
)
A(3,7)
A
(
3
,
7
)
、
B
(
6
,
6
)
B(6,6)
B
(
6
,
6
)
、
C
(
−
5
,
3
)
C(-5,3)
C
(
−
5
,
3
)
，座標單位為公尺。設訊號圓心為
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q
(
x
,
y
)
，以
Q
A
=
Q
B
QA=QB
Q
A
=
QB
、
Q
A
=
Q
C
QA=QC
Q
A
=
QC
求得圓心後，訊號邊界與道路
y
=
0
y=0
y
=
0
有兩個交點。較東側交點的
x
x
x
座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・幾何：角度與面積
開始練習 →
某自行車道規劃區的三個定位點為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
、
S
(
5
,
t
)
S(5,t)
S
(
5
,
t
)
，座標單位為公尺，且
t
>
3
t>3
t
>
3
。已知三角形
A
B
S
ABS
A
B
S
的面積為
15
15
15
平方公尺。以
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
為底，先由
A
A
A
、
B
B
B
兩點反推底邊直線的一般式，再以點線距離表示高。下列依序列出「底邊直線、高、
t
t
t
值」，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
若關於
x
x
x
的方程式
∣
(
a
−
1
)
x
+
2
∣
=
∣
2
x
−
a
∣
|(a-1)x+2|=|2x-a|
∣
(
a
−
1
)
x
+
2∣
=
∣2
x
−
a
∣
恰有一個實數解，則實數
a
a
a
的可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・面積切割與補形
開始練習 →
公園灑水器的灑水範圍是一個半徑
10
10
10
公尺、圓心角
90
∘
90^\circ
9
0
∘
的扇形。工作人員在扇形兩個弧端點之間拉一條直繩，弧與直繩所圍成區域的面積是多少平方公尺？取圓周率為
3.14
3.14
3.14
。
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機把第
n
n
n
張發票的兌換碼定義為
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
n
7
+
i
10
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
n
10
+
j
7
⌋
C(n)=\sum_{i=0}^{9}\left\lfloor \frac{n}{7}+\frac{i}{10}\right\rfloor+\sum_{j=0}^{6}\left\lfloor \frac{n}{10}+\frac{j}{7}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
7
n
+
10
i
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
10
n
+
7
j
⌋
。在
1
≤
n
≤
999
1\le n\le 999
1
≤
n
≤
999
的整數
n
n
n
中，有多少個使得
C
(
n
)
−
2
n
C(n)-2n
C
(
n
)
−
2
n
是
9
9
9
的倍數？
AMC 12
遞迴與路徑計數
開始練習 →
在台南一條用方格地磚鋪成的小巷中，小芸從路口
S
S
S
走到甜點店
T
T
T
。把
S
S
S
設為座標
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
，
T
T
T
設為
(
6
,
5
)
(6,5)
(
6
,
5
)
。她每一步只能往東或往北走一格，且不能經過施工中的兩個路口
(
2
,
2
)
(2,2)
(
2
,
2
)
與
(
4
,
3
)
(4,3)
(
4
,
3
)
。請問她共有多少種最短走法？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
台灣某茶葉工廠原有
6.4
×
10
5
6.4\times10^5
6.4
×
1
0
5
公克的茶葉，又收到
2.5
×
10
2
2.5\times10^2
2.5
×
1
0
2
箱茶葉，每箱重
1.8
×
10
3
1.8\times10^3
1.8
×
1
0
3
公克。工廠現有的茶葉總重為多少公克？請以科學記號表示。