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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
724
題
・第 16／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
某冷凍庫在校慶園遊會備料期間，溫度依序升高
5
1
6
5\frac{1}{6}
5
6
1
度、降低
2
3
4
2\frac{3}{4}
2
4
3
度、降低
4
5
12
4\frac{5}{12}
4
12
5
度，再升高
3
2
3
3\frac{2}{3}
3
3
2
度。最後溫度相較於開始時如何變化？
‹
1
…
15
16
17
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南某公車站用
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
−
1
f(x)=x^3-3x-1
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
−
1
修正等車時間模型。已知
1
<
x
<
2
1<x<2
1
<
x
<
2
之間只有一個零點，且數值表為
f
(
1.5
)
=
−
2.125
f(1.5)=-2.125
f
(
1.5
)
=
−
2.125
、
f
(
1.8
)
=
−
0.568
f(1.8)=-0.568
f
(
1.8
)
=
−
0.568
、
f
(
1.9
)
=
0.159
f(1.9)=0.159
f
(
1.9
)
=
0.159
、
f
(
2
)
=
1
f(2)=1
f
(
2
)
=
1
。利用勘根判斷，這個零點落在哪一個區間？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
校園導覽系統以東向為
x
x
x
軸、北向為
y
y
y
軸，單位為一格。某標記點原座標為
P
=
(
2
,
1
)
P=(2,1)
P
=
(
2
,
1
)
。系統先做逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
的線性變換
R
=
(
0
−
1
1
0
)
R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
R
=
(
0
1
−
1
0
)
，再做東西向放大為
2
2
2
倍、南北向不變的線性變換
S
=
(
2
0
0
1
)
S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
S
=
(
2
0
0
1
)
。完成兩步後，點
P
P
P
的新座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某夜市攤位用矩陣
A
=
(
2
1
1
1
)
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
A
=
(
2
1
1
1
)
把「上週賣出的鹹酥雞份數
x
x
x
、甜不辣份數
y
y
y
」轉成兩個統計量
(
2
x
+
y
x
+
y
)
\begin{pmatrix}2x+y\\x+y\end{pmatrix}
(
2
x
+
y
x
+
y
)
。若統計表顯示結果為
(
130
80
)
\begin{pmatrix}130\\80\end{pmatrix}
(
130
80
)
，則上週鹹酥雞與甜不辣分別賣出幾份？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
某校午餐回收站統計第
n
n
n
天回收的餐盒數為
a
n
a_n
a
n
。第
1
1
1
天回收
8
8
8
個；之後每天滿足
a
n
+
1
=
2
a
n
−
n
a_{n+1}=2a_n-n
a
n
+
1
=
2
a
n
−
n
。依此規則，第
5
5
5
天回收多少個餐盒？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・不等式與絕對值
開始練習 →
某外送平台以配送距離
x
x
x
公里及等候時間
y
y
y
分鐘計算調度指標
P
=
2
x
−
3
y
+
4
P=2x-3y+4
P
=
2
x
−
3
y
+
4
。某時段內
x
∈
[
8
,
12
]
x\in[8,12]
x
∈
[
8
,
12
]
、
y
∈
[
3
,
5
]
y\in[3,5]
y
∈
[
3
,
5
]
，且兩者可各自在區間內獨立變動，則
P
P
P
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
嘉義一所高中社團用四次多項式
f
(
x
)
=
x
4
−
3
x
3
+
p
x
2
+
q
x
−
6
f(x)=x^4-3x^3+px^2+qx-6
f
(
x
)
=
x
4
−
3
x
3
+
p
x
2
+
q
x
−
6
模擬闖關積分。已知
x
−
1
x-1
x
−
1
與
x
+
2
x+2
x
+
2
都是
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的因式。則
p
+
q
p+q
p
+
q
為何？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列・餘數循環與週期規律
開始練習 →
夜市攤位的電子叫號牌只顯示
0
0
0
到
4
4
4
的燈號。第
1
1
1
次與第
2
2
2
次燈號分別為
1
1
1
、
2
2
2
；從第
3
3
3
次起，每次燈號都是前兩次燈號相加後除以
5
5
5
的餘數。第
2026
2026
2026
次燈號是多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某公園配置圖以公尺為座標單位，一座圓形廣場的直徑兩端點為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
9
)
B(8,9)
B
(
8
,
9
)
。此圓形廣場邊界所在圓的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）・不等式與絕對值
開始練習 →
已知實數
x
x
x
、
y
y
y
、
t
t
t
滿足
(
x
−
2
t
)
2
+
3
(
2
x
+
t
−
5
)
2
+
(
y
+
1
)
2
=
0
(x-2t)^2+3(2x+t-5)^2+(y+1)^2=0
(
x
−
2
t
)
2
+
3
(
2
x
+
t
−
5
)
2
+
(
y
+
1
)
2
=
0
，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
在臺中市一張以某路口為原點的座標地圖上，自行車道中心線的延伸直線為
ℓ
t
:
y
=
(
t
−
2
)
x
+
(
t
+
1
)
\ell_t:y=(t-2)x+(t+1)
ℓ
t
:
y
=
(
t
−
2
)
x
+
(
t
+
1
)
。若此延伸直線在第二、第三、第四象限都有點，且在第一象限內沒有任何點，則
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某公園入口的位置為
Q
(
t
,
2
)
Q(t,2)
Q
(
t
,
2
)
，鄰近道路的中心線方程式為
4
x
−
3
y
−
4
=
0
4x-3y-4=0
4
x
−
3
y
−
4
=
0
，座標單位為公里。已知入口到道路中心線的垂直距離為
2
2
2
公里，且
t
>
2
t>2
t
>
2
，則
t
t
t
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
共享單車調度地圖上的一個定位點原在
P
=
(
4
,
−
2
)
P=(4,-2)
P
=
(
4
,
−
2
)
。此點先水平移動
p
p
p
個單位，再鉛直移動
q
q
q
個單位後，到達
Q
=
(
−
3
,
6
)
Q=(-3,6)
Q
=
(
−
3
,
6
)
。則
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・幾何：角度與面積
開始練習 →
學校製作一張長方形校慶海報，中央印刷區的寬為
x
x
x
公分、高為
y
y
y
公分，且印刷區面積固定為
600
600
600
平方公分。印刷區左右各留白
3
3
3
公分，上下各留白
2
2
2
公分。整張海報的面積最小值為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀・函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義某夜市攤位記錄
20
20
20
天的廣告貼文觸及人數
x
x
x
百人與當晚來客數
y
y
y
人，資料中
x
x
x
介於
5
5
5
到
30
30
30
，迴歸直線為
y
=
18
x
+
120
y=18x+120
y
=
18
x
+
120
，相關係數
r
=
0.58
r=0.58
r
=
0.58
。下列哪一個使用方式最合理？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
校慶園遊會平面圖以服務台為原點，巡查員的位置
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
可在
x
∈
[
−
2
,
4
]
x\in[-2,4]
x
∈
[
−
2
,
4
]
且
y
∈
[
−
3
,
1
]
y\in[-3,1]
y
∈
[
−
3
,
1
]
的長方形區域內任意移動。令巡查員與服務台距離的平方為
s
=
x
2
+
y
2
s=x^2+y^2
s
=
x
2
+
y
2
，則
s
s
s
的可能範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・幾何：角度與面積
開始練習 →
某社區規畫一座凹五邊形活動廣場，其邊界頂點依逆時針方向依序為
P
(
2
,
1
)
P(2,1)
P
(
2
,
1
)
、
Q
(
10
,
2
)
Q(10,2)
Q
(
10
,
2
)
、
R
(
9
,
7
)
R(9,7)
R
(
9
,
7
)
、
S
(
6
,
4
)
S(6,4)
S
(
6
,
4
)
、
T
(
3
,
8
)
T(3,8)
T
(
3
,
8
)
，座標單位為公尺。依綁鞋帶公式計算廣場的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
整數解與不定方程
開始練習 →
文具店有甲、乙兩款紀念貼紙，甲款每包
23
23
23
張，乙款每包
7
7
7
張。店內共有
205
205
205
張貼紙，且兩款都至少有一包。所有可能的包數配置中，總包數的最大值與最小值相差多少包？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某市以坐標平面規劃 YouBike 補給車路線，兩站位置為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
。補給車要從倉庫
C
(
1
,
6
)
C(1,6)
C
(
1
,
6
)
出發，走一條與連線
A
B
AB
A
B
垂直的直線道路。此道路的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
嘉義公園要畫一個花圃邊界，園藝師插兩支木樁
F
1
F_1
F
1
、
F
2
F_2
F
2
，相距
6
6
6
公尺。粉筆上連著兩條拉直細繩，分別接到兩支木樁，助手控制兩條繩子的長度總和一直是
14
14
14
公尺，再讓粉筆繞行畫線。下列哪個說明最符合這條邊界？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
台南一間飲料店用多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
表示某週促銷後的庫存修正量。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。若
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(x-2)(x+1)
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
的餘式為
R
(
x
)
R(x)
R
(
x
)
，則
R
(
3
)
R(3)
R
(
3
)
等於多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
高雄港區的導航系統以直線族
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
L_k:(k-1)x+(k+2)y=k-3
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
表示不同參數
k
k
k
下的航線。所有使
L
k
L_k
L
k
不能直接寫成截距式
x
a
+
y
b
=
1
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
a
x
+
b
y
=
1
的
k
k
k
值所成集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中一個圓形花圃半徑
9
9
9
公尺，圓心為
O
O
O
。攤位電箱在花圃外點
P
P
P
，量得
O
P
=
15
OP=15
O
P
=
15
公尺。工作人員要從
P
P
P
拉兩條剛好切到花圃邊緣的直線燈條，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
。兩條燈條總長
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
台中夜市推出圓錐形紙杯裝芒果冰，紙杯內部可近似為底面半徑
5
5
5
cm、高
12
12
12
cm 的直圓錐。店員先在尖端附近倒入煉乳，液面平行杯口，從尖端量到液面的高度為
6
6
6
cm。此時煉乳體積為多少
c
m
3
\mathrm{cm^3}
c
m
3
？
大學學科能力測驗（數學）
圓冪定理・相似形與比例線段
開始練習 →
某公園的圓形水池外有觀測點
P
P
P
。由
P
P
P
引兩條割線，第一條依序交水池邊界於
A
,
B
A,B
A
,
B
，第二條依序交於
C
,
D
C,D
C
,
D
。已知
P
A
=
4
PA=4
P
A
=
4
公尺、
P
B
=
24
PB=24
P
B
=
24
公尺、
P
D
=
16
PD=16
P
D
=
16
公尺，且連線
A
D
=
14
AD=14
A
D
=
14
公尺，則
C
B
CB
C
B
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台中一所校園的平面圖上，兩棟建築物的位置分別為
A
(
1
,
0
)
A(1,0)
A
(
1
,
0
)
、
B
(
5
,
3
)
B(5,3)
B
(
5
,
3
)
。校方將所有滿足
P
A
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{PA}:\overline{PB}=2:3
P
A
:
P
B
=
2
:
3
的位置
P
P
P
標成一條圓形邊界。下列何者正確描述此圓的圓心與半徑？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質
開始練習 →
某公園有兩座圓形花圃，半徑分別為
9
9
9
公尺與
15
15
15
公尺。兩座花圃邊緣各取一段較短弧
A
B
AB
A
B
、
C
D
CD
C
D
，它們所對應的圓心角皆為
120
∘
120^{\circ}
12
0
∘
。判斷下列敘述：甲、兩段弧的度數相同；乙、兩段弧的弧長相同；丙、弧
C
D
CD
C
D
的弧長是弧
A
B
AB
A
B
的
5
3
\frac{5}{3}
3
5
倍；丁、弧
C
D
CD
C
D
的度數是弧
A
B
AB
A
B
的
5
3
\frac{5}{3}
3
5
倍。正確的敘述有哪些？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
夜市旋轉招牌以正東方向為始邊，順時針旋轉
1130
∘
1130^\circ
113
0
∘
。若用
k
∈
Z
k\in\mathbb Z
k
∈
Z
表示所有同界角，則其標準寫法及終邊所在象限，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次曲線標準式・坐標幾何
開始練習 →
校方規劃一座圓形花圃，其邊界方程式為
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
(a+1)x^2+(2a-b)xy+(5-a)y^2-6x+8y-20=0
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
，其中
a
a
a
、
b
b
b
為實數。若此方程式表示一個圓，則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某飲料店冷藏設備進行校正測試，將設定溫度
x
x
x
代入檢測式。當
∣
9
−
2
x
∣
>
5
|9-2x|>5
∣9
−
2
x
∣
>
5
時，系統判定須重新校正。會被判定須重新校正的
x
x
x
範圍為何？