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CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
110
題
・第 4／4 頁
清除全部篩選
AMC 12
條件機率與貝氏・條件機率與貝氏定理
開始練習 →
夜市攤位設計了一個抽球遊戲。甲袋原有
4
4
4
顆紅球、
2
2
2
顆藍球，乙袋原有
2
2
2
顆紅球、
3
3
3
顆藍球。所有球的大小與觸感相同，每顆球都有編號可辨認原屬哪一袋。 工作人員先從甲袋隨機抽出
2
2
2
顆球放入乙袋，充分混合後，再從乙袋逐顆隨機抽球，抽出的球不放回，直到首次抽到紅球便停止。每次抽取時，袋內各球被抽中的機率相同。 已知遊戲恰在第
3
3
3
次抽取時停止，則最後抽出的紅球原屬甲袋的條件機率為
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，其中
m
,
n
m,n
m
,
n
為互質正整數。求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
‹
1
…
3
4
›
AMC 10
整數解與不定方程・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台南某早市的阿姨把豆花裝成大碗與小碗販售。大碗每碗
30
30
30
元，小碗每碗
18
18
18
元。某班同學剛好花了
246
246
246
元，且兩種豆花都至少買
1
1
1
碗。若大碗數為
x
x
x
、小碗數為
y
y
y
，共有幾組正整數解
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
？
AMC 8
加法與乘法原理・系統列舉與分類討論
開始練習 →
淡水校外教學有
5
5
5
款水果、
4
4
4
款動物、
3
3
3
款交通工具紀念貼紙，款式彼此不同。小隊要從中挑
5
5
5
張貼成一排，要求水果貼紙恰好
2
2
2
張且不相鄰，並且交通工具貼紙至少
1
1
1
張。共有幾種貼法？
AMC 8
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
便當店的集點袋中有雞腿貼紙
4
4
4
張、排骨貼紙
3
3
3
張、魚排貼紙
2
2
2
張。阿謙依序抽出
2
2
2
張貼紙，抽出後不放回。若恰有
1
1
1
張魚排，或第
1
1
1
張是雞腿，就送飲料。送飲料的機率為何？
AMC 8
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中一間茶館在天花板上裝兩個掛鉤
A
A
A
與
B
B
B
，兩鉤在同一水平線上且相距
18
18
18
公分。燈籠點
P
P
P
在兩鉤下方，繩子
A
P
AP
A
P
長
12
12
12
公分，且與天花板成
60
∘
60^\circ
6
0
∘
；點
P
P
P
的鉛直投影落在
A
A
A
與
B
B
B
之間。另一條繩子
B
P
BP
B
P
長多少公分？
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機用一個一對一函數
f
f
f
做校正。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
4
,
2
]
[-4,2]
[
−
4
,
2
]
，值域為
[
1
,
7
]
[1,7]
[
1
,
7
]
，且
f
(
−
3
)
=
5
f(-3)=5
f
(
−
3
)
=
5
。老闆把螢幕上的圖形改成新函數
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
g(x)=2f(1-3x)-5
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
，並令
G
=
g
−
1
G=g^{-1}
G
=
g
−
1
。再定義
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
H(x)=G(2f(x)-5)
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
。若
S
S
S
是所有使
H
(
x
)
H(x)
H
(
x
)
為整數的整數
x
x
x
所成的集合，求
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
)
)
+
6
G
(
5
)
\sum_{x\in S}(x+H(x))+6G(5)
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
))
+
6
G
(
5
)
。
AMC 8
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
夜市彈珠攤改用紅、藍兩顆公平骰決定優惠。紅骰點數為
r
r
r
、藍骰點數為
b
b
b
，把它讀成兩位數
10
r
+
b
10r+b
10
r
+
b
，例如紅骰
3
3
3
、藍骰
5
5
5
代表
35
35
35
。若
10
r
+
b
10r+b
10
r
+
b
是
4
4
4
的倍數，或
r
+
b
≥
10
r+b\ge10
r
+
b
≥
10
，就可中獎。中獎機率為何？
AMC 8
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一位木工做了一個實心圓柱形鳳梨酥模具，半徑
5
5
5
公分、高
12
12
12
公分。她從上方整個圓面往下挖出一個正圓錐形凹洞，錐尖剛好在下底面的圓心。挖完後的物體總表面積是多少平方公分？
AMC 8
基礎機率・加法與乘法原理
開始練習 →
台南文創市集有
4
4
4
款紅貼紙、
3
3
3
款藍貼紙、
2
2
2
款綠貼紙，款式彼此不同。小芸從
9
9
9
款中抽出
4
4
4
款不同貼紙，依序貼在相簿的
1
1
1
到
4
4
4
號格，每種貼法等可能。求三種顏色都出現，且
1
1
1
號格不是綠色的機率。
AMC 8
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間餅店把禮盒做成長方體，長、寬、高分別為
12
12
12
、
7
7
7
、
5
5
5
公分。小螞蟻從禮盒外表面的一個頂點爬到與它相對的頂點，只能沿著外表面走。牠最短要爬多少公分？
AMC 8
系統列舉與分類討論・基礎機率
開始練習 →
小芮用數字
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
1,2,3,4,5,6,7
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
中互不相同的
4
4
4
個數字排成置物櫃密碼。若密碼的首位小於末位，且
4
4
4
個數字的和是
3
3
3
的倍數，這樣的密碼共有幾個？
AMC 8
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
文具店把抽屜編號為
1
1
1
到
30
30
30
。小澄要選
3
3
3
個不同抽屜，號碼由小到大為
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
。若
a
+
b
+
c
=
36
a+b+c=36
a
+
b
+
c
=
36
，且最大號與最小號相差不超過
15
15
15
，共有幾種選法？
AMC 8
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
校園園遊會的摸彩箱中有捷運貼紙
5
5
5
張、公車貼紙
4
4
4
張、腳踏車貼紙
3
3
3
張。小祐一次抽出
3
3
3
張，不放回且不看順序。若抽到的貼紙中至少有
1
1
1
張捷運且至少有
1
1
1
張公車，就可換徽章。換到徽章的機率為何？
AMC 8
畢氏定理與特殊直角三角形・立體幾何
開始練習 →
一塊客家花布造型的長方體肥皂長、寬、高分別為
9
9
9
、
10
10
10
、
12
12
12
公分。從同一個角出發，沿三條互相垂直的稜分別量出
6
6
6
、
8
8
8
、
9
9
9
公分並做記號，再用一個平面通過這三個記號，把角切掉。剩下肥皂的體積是多少立方公分？
AMC 8
面積切割與補形・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，屏東夜市攤位用一張長方形帆布
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，
A
B
=
20
AB=20
A
B
=
20
、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
。點
E
E
E
在
A
B
AB
A
B
上且
A
E
=
5
AE=5
A
E
=
5
，點
F
F
F
在
B
C
BC
B
C
上且
B
F
=
4
BF=4
B
F
=
4
，點
G
G
G
在
C
D
CD
C
D
上且
C
G
=
7
CG=7
C
G
=
7
，點
H
H
H
在
D
A
DA
D
A
上且
D
H
=
3
DH=3
D
H
=
3
。連接
E
,
F
,
G
,
H
E,F,G,H
E
,
F
,
G
,
H
，求四邊形
E
F
G
H
EFGH
E
F
G
H
的面積。
AMC 8
畢氏定理與特殊直角三角形・立體幾何
開始練習 →
市場攤販把一塊長方體豆腐切開，長、寬、高分別為
10
10
10
、
24
24
24
、
7
7
7
公分。約定前下方邊
A
B
AB
A
B
是長為
10
10
10
公分的那條長邊；從前往後的寬為
24
24
24
公分，從下往上的高為
7
7
7
公分。刀面通過前下方整條邊
A
B
AB
A
B
，也通過後上方與它平行的整條邊
G
H
GH
G
H
，其中
A
A
A
與
H
H
H
在同一側，
B
B
B
與
G
G
G
在同一側，因此切出的截面是長方形
A
B
G
H
ABGH
A
B
G
H
。這個截面的面積是多少平方公分？
CEMC 滑鐵盧數學競賽
等比數列與無窮級數・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台中夜市的投籃機把第
n
n
n
輪的分數變動定為
90
(
2
n
+
1
)
(
−
1
2
)
n
−
1
90(2n+1)(-\frac{1}{2})^{n-1}
90
(
2
n
+
1
)
(
−
2
1
)
n
−
1
分，正值是加分、負值是扣分。若從第
1
1
1
輪開始一直玩下去，所有分數變動的總和是多少分？
CEMC 滑鐵盧數學競賽
面積切割與補形・等比數列與無窮級數
開始練習 →
高雄美術館的方形地磚邊長為
14
14
14
。在目前正方形的每一邊上，都從同一個順時針端點量到該邊的
1
3
\frac{1}{3}
3
1
處做記號，依序連結四個記號得到下一個內正方形；再對新的正方形重複同樣動作。第
1
,
3
,
5
,
…
1,3,5,\ldots
1
,
3
,
5
,
…
次產生的環狀區域塗藍，第
2
,
4
,
6
,
…
2,4,6,\ldots
2
,
4
,
6
,
…
次產生的環狀區域塗白。若無限重複，藍色總面積是多少？
CEMC 滑鐵盧數學競賽
遞迴數列・餘數循環與週期規律
開始練習 →
新竹一間手搖飲店用數列決定每日限量杯套顏色：
b
0
=
0
b_0=0
b
0
=
0
、
b
1
=
1
b_1=1
b
1
=
1
，且
b
n
+
2
=
b
n
+
1
+
2
b
n
b_{n+2}=b_{n+1}+2b_n
b
n
+
2
=
b
n
+
1
+
2
b
n
。第
n
n
n
天使用的顏色只看
b
n
b_n
b
n
除以
7
7
7
的餘數。第
2026
2026
2026
天對應的餘數是多少？
CEMC 滑鐵盧數學競賽
遞迴與路徑計數・計數與機率
開始練習 →
基隆廟口夜市有
12
12
12
個攤位圍成一圈，每個攤位掛紅燈或白燈。為了不讓紅光太刺眼，任意相鄰兩個攤位不可同時掛紅燈，且第
12
12
12
個攤位與第
1
1
1
個攤位也算相鄰。共有多少種掛法？