MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 8／53 頁
清除全部篩選
國中教育會考
比例、速率與百分比
開始練習 →
一行
11
11
11
人比較兩家桌遊店的入場費。甲店每人原價相同，優惠為每兩人一組，其中一人原價、另一人半價，未成組者付原價。乙店每人原價為甲店的
1.2
1.2
1.2
倍，同一批入場的前
5
5
5
人付乙店原價，第
6
6
6
人起每人付乙店原價的四折。兩店均無其他費用。若全體到甲店的總費用為
T
A
T_A
T
A
，全體到乙店的總費用為
T
B
T_B
T
B
，而甲店每人原價為
p
p
p
元，則
T
B
−
T
A
p
\frac{T_B-T_A}{p}
p
T
B
−
T
A
的值為何？
‹
1
…
7
8
9
…
53
›
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸恰有兩個交點，其橫座標分別為
2
2
2
、
8
8
8
。設
g
(
x
)
=
f
(
2
x
)
g(x)=f(2x)
g
(
x
)
=
f
(
2
x
)
，再令
h
(
x
)
=
g
(
k
x
)
h(x)=g(kx)
h
(
x
)
=
g
(
k
x
)
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
。若
y
=
h
(
x
)
y=h(x)
y
=
h
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸兩交點的距離為
1
1
1
，則
k
k
k
的值為何？
國小數學
巧設未知數與一次方程應用・分數與小數運算
開始練習 →
班級準備園遊會材料，第一次採購花掉原有經費的
2
5
\frac{2}{5}
5
2
再加
60
60
60
元；第二次採購花掉第一次採購後剩餘經費的
3
4
\frac{3}{4}
4
3
再減
30
30
30
元。兩次採購後尚餘
180
180
180
元。若設原有經費為
x
x
x
元，下列哪個方程式正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座展場的旋轉燈每轉過角度
θ
\theta
θ
，感測器便記錄一次狀態；當且僅當
sin
θ
=
1
2
\sin\theta=\frac{1}{2}
sin
θ
=
2
1
時，記錄顯示為紅燈。若只查看
1000
∘
≤
θ
≤
1700
∘
1000^\circ\leq\theta\leq1700^\circ
100
0
∘
≤
θ
≤
170
0
∘
的資料，下列哪一項是紅燈出現角度的完整集合？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
使用十字交乘法分解
2
x
2
−
7
x
−
15
2x^2-7x-15
2
x
2
−
7
x
−
15
，下列何者的常數項乘積與檢查項皆符合原式？
國中教育會考
圓的性質・不等式與絕對值
開始練習 →
台灣某沿海地區有兩座觀測站，相距
10
10
10
公里。兩站分別以本站為圓心設定圓形警戒範圍，半徑分別為
7
7
7
公里與
x
x
x
公里，其中
x
>
0
x>0
x
>
0
。若兩個警戒範圍的邊界恰有兩個交點，則
x
x
x
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
某校園遊會使用兩個正方體收納箱，其稜長分別為
x
x
x
公寸與
y
y
y
公寸。已知
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
，且兩箱的體積和為
112
112
112
立方公寸，則兩箱底面面積的總和為多少平方公寸？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
某共享單車平台在同一筆帳務中記錄兩項調整，金額分別為
(
3
x
−
11
)
(3x-11)
(
3
x
−
11
)
元與
(
x
+
1
)
(x+1)
(
x
+
1
)
元，且兩項調整合計為
0
0
0
元。下列哪一個關係式一定成立？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某工廠以皮帶連接兩個圓形轉輪，圓心分別為
O
1
O_1
O
1
、
O
2
O_2
O
2
，半徑分別為
8
8
8
公分、
3
3
3
公分，且
O
1
O
2
=
13
O_1O_2=13
O
1
O
2
=
13
公分。皮帶的直線部分
A
B
AB
A
B
為兩轉輪的外公切線段，則
A
B
AB
A
B
的長度為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
將
108
−
48
+
6
6
\dfrac{\sqrt{108}-\sqrt{48}+6}{6}
6
108
−
48
+
6
化簡後，下列何者正確？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・圓的性質
開始練習 →
如圖，校園步道圍成
△
B
E
C
\triangle BEC
△
B
E
C
，
F
F
F
為
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
的中點，且
B
C
=
20
BC=20
B
C
=
20
公尺、
E
F
=
10
EF=10
E
F
=
10
公尺。點
P
P
P
位於線段
B
E
‾
\overline{BE}
B
E
上，且
E
P
=
5
EP=5
E
P
=
5
公尺、
E
C
=
12
EC=12
E
C
=
12
公尺。求
△
P
E
C
\triangle PEC
△
P
E
C
的外接圓半徑為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
t
t
t
為整數，直線
L
t
:
x
+
y
=
−
t
L_t:x+y=-t
L
t
:
x
+
y
=
−
t
與圓
C
t
:
x
2
+
y
2
−
4
t
y
+
3
t
2
−
2
t
−
2
=
0
C_t:x^2+y^2-4ty+3t^2-2t-2=0
C
t
:
x
2
+
y
2
−
4
t
y
+
3
t
2
−
2
t
−
2
=
0
，如圖為
t
=
1
t=1
t
=
1
時的示意圖。將
y
=
−
x
−
t
y=-x-t
y
=
−
x
−
t
代入圓方程式，展開並合併同類項後，恆可寫成
2
x
2
+
a
t
x
+
8
t
2
−
2
t
−
2
=
0
2x^2+atx+8t^2-2t-2=0
2
x
2
+
a
t
x
+
8
t
2
−
2
t
−
2
=
0
，其中
a
a
a
為常數。令
S
S
S
為使直線與圓有兩個相異交點的所有整數
t
t
t
所成的集合。下列哪一組
a
a
a
與
S
S
S
完全正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小美規劃從高雄搭車北上，手機電量預測的校正差為
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
H(x)=(x+2)(x-1)(x-3)^2
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
，其中
x
x
x
是出門後的時數，只討論
0
≤
x
≤
5
0\le x\le 5
0
≤
x
≤
5
。若
H
(
x
)
≤
0
H(x)\le 0
H
(
x
)
≤
0
表示預測電量不高於實際電量，則哪些時段符合？
國中教育會考
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
如圖，台南市區某共享單車的平面導航以
x
x
x
軸正向表示正東方。騎士從
P
(
−
2
,
1
)
P(-2,1)
P
(
−
2
,
1
)
沿直線騎往
Q
(
1
,
1
+
3
3
)
Q(1,1+3\sqrt{3})
Q
(
1
,
1
+
3
3
)
。若路線
P
Q
PQ
P
Q
與正東方向的夾角為
θ
\theta
θ
，且
0
∘
<
θ
<
90
∘
0^\circ<\theta<90^\circ
0
∘
<
θ
<
9
0
∘
，則
θ
\theta
θ
為何？
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
小晴與小傑準備沿河濱步道朝同一方向行走。小晴出發時位於小傑前方
60
60
60
公尺，並以每分鐘
60
60
60
公尺的速率前進；小傑在原地等了
2
2
2
分鐘後，才以每分鐘
90
90
90
公尺的速率出發。若兩人出發後均保持原速且不停留，從小傑出發起算，經過幾分鐘會追上小晴？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某地區的座標地圖上，兩座 YouBike 站的位置分別為
P
(
a
,
9
)
P(a,9)
P
(
a
,
9
)
、
Q
(
8
,
5
)
Q(8,5)
Q
(
8
,
5
)
，其中線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中點位於直線
x
=
5
x=5
x
=
5
上。若自行車道
L
L
L
是線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中垂線，則
L
L
L
的方程式為何？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，圓形廣場邊緣的
B
T
BT
B
T
為圓在
B
B
B
點的切線，
A
B
AB
A
B
為弦。弦
A
B
AB
A
B
與切線
B
T
BT
B
T
所夾的鈍角
∠
A
B
T
\angle ABT
∠
A
B
T
為
128
∘
128^\circ
12
8
∘
，則較短弧
A
B
AB
A
B
的度數為多少？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
圓形自行車道的圓周上依順時針方向設有
A
A
A
、
C
C
C
、
B
B
B
、
D
D
D
四個休息點。已知弧
A
C
B
^
\widehat{ACB}
A
C
B
的度數為
124
∘
124^\circ
12
4
∘
，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
的度數為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・分數與小數運算
開始練習 →
若
0.3
x
−
0.2
0.4
−
0.2
x
−
0.1
0.3
0.5
=
0.6
\dfrac{\dfrac{0.3x-0.2}{0.4}-\dfrac{0.2x-0.1}{0.3}}{0.5}=0.6
0.5
0.4
0.3
x
−
0.2
−
0.3
0.2
x
−
0.1
=
0.6
，則
x
x
x
的值為何？
國小數學
分數與小數運算
開始練習 →
阿倫與小雯分別騎乘兩條等長的自行車道。阿倫已騎完全程的
7
12
\frac{7}{12}
12
7
，小雯已騎完全程的
5
8
\frac{5}{8}
8
5
。以尚未騎完的路程占全程的比例計算，「阿倫的剩餘比例減去小雯的剩餘比例」為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
已知
a
=
−
3
a=-3
a
=
−
3
，且
a
x
−
4
=
7
x
+
a
ax-4=7x+a
a
x
−
4
=
7
x
+
a
。將左邊的
a
x
ax
a
x
移到右邊、右邊的
a
a
a
移到左邊，其餘各項留在原側，再代入
a
=
−
3
a=-3
a
=
−
3
。下列哪個等式正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
設
0
∘
≤
x
<
360
∘
0^\circ\le x<360^\circ
0
∘
≤
x
<
36
0
∘
，不等式
2
sin
x
cos
x
+
2
sin
2
x
≥
1
+
2
2
2\sin x\cos x+2\sin^2x\ge 1+\frac{\sqrt{2}}{2}
2
sin
x
cos
x
+
2
sin
2
x
≥
1
+
2
2
的解集為何？
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
新竹某高中「數理探究社」期末聚餐訂了一張圓桌，桌邊共有
8
8
8
個座位（如圖），社員
5
5
5
位學長與
3
3
3
位學弟每人各坐一個座位。這裡只考慮各人的相對位置，也就是整桌一起旋轉後看起來相同的坐法視為同一種。若要求任兩位學弟都不相鄰，則共有多少種不同的坐法？
國中教育會考
單位換算與時間計算・分數與小數運算
開始練習 →
飲料工廠將
2.4
m
3
2.4\ \text{m}^3
2.4
m
3
的冬瓜茶全部裝入容量為
600
cc
600\ \text{cc}
600
cc
的瓶子。若每瓶都恰好裝滿，共可裝成多少瓶？
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，某圓形廣場在座標地圖上的圓心為
C
(
2
,
1
)
C(2,1)
C
(
2
,
1
)
，半徑為
2
2
2
。市府規劃通過站點
P
(
0
,
4
)
P(0,4)
P
(
0
,
4
)
的筆直自行車路線，其所在直線為
ℓ
k
:
y
=
k
x
+
4
\ell_k:y=kx+4
ℓ
k
:
y
=
k
x
+
4
，其中
k
k
k
為實數。若路線須與廣場圓周有兩個交點，則
k
k
k
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
的圖形。將此圖形依序作下列變換：向右平移
2
2
2
；沿水平方向伸長為原來的
3
3
3
倍（以
y
y
y
軸為基準）；向上平移
1
1
1
；最後將各點的縱座標乘以
−
2
-2
−
2
。所得圖形的函數式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知三個函數為
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
f(x)=3\sin 2x+\cos 2x
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
、
g
(
x
)
=
3
sin
x
+
cos
x
g(x)=3\sin x+\cos x
g
(
x
)
=
3
sin
x
+
cos
x
、
h
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
h(x)=\sin x+\cos x
h
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
。如圖，三幅圖使用相同的水平與鉛直比例，分別呈現這三個函數，虛線標示各圖的最大值。圖
I
\mathrm{I}
I
、
I
I
\mathrm{II}
II
、
I
I
I
\mathrm{III}
III
依序對應哪一組函數？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
一個圓形腳踏車輪框的圓心為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公分，
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
為輪框上的點。已知劣弧
A
B
^
\widehat{AB}
A
B
與劣弧
C
D
^
\widehat{CD}
C
D
等弧，
△
A
O
B
\triangle AOB
△
A
O
B
的周長為
39
39
39
公分，且弦
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
的長為
(
3
x
−
6
)
(3x-6)
(
3
x
−
6
)
公分，則
x
x
x
的值為何？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台南某國中園藝社把校園角落整理成兩個正方形花圃。若兩個花圃的邊長分別為
x
x
x
公尺與
y
y
y
公尺，已知兩邊長的和是
17
17
17
公尺，且用同樣兩邊長圍成的長方形面積是
60
60
60
平方公尺。請問兩個正方形花圃面積總和是多少平方公尺？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
某圓形廣場的圓周上依序有四個座位點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，並連接對角線
A
C
AC
A
C
。已知
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
\angle DAB=(2x+20)^\circ
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
、
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
\angle BCA=(x+10)^\circ
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
、
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
\angle ACD=(x+30)^\circ
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
，求
∠
B
C
A
\angle BCA
∠
B
C
A
的度數。