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國小數學
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難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 37／53 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
社區烘焙教室進行酵母培養實驗，假設固定體積樣本中的酵母數量依指數模型成長。從開始培養起算，第
20
20
20
分鐘測得
240
240
240
個，第
80
80
80
分鐘測得
15360
15360
15360
個。若以
N
(
t
)
=
b
⋅
r
t
/
30
N(t)=b\cdot r^{t/30}
N
(
t
)
=
b
⋅
r
t
/30
表示第
t
t
t
分鐘的酵母數量，其中
b
>
0
b>0
b
>
0
、
r
>
0
r>0
r
>
0
，則
(
b
,
r
)
(b,r)
(
b
,
r
)
為下列何者？
‹
1
…
36
37
38
…
53
›
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄市某停車場把尖峰時段的車流差值寫成
g
(
x
)
=
−
(
x
+
3
)
(
x
−
1
)
(
x
−
4
)
g(x)=-(x+3)(x-1)(x-4)
g
(
x
)
=
−
(
x
+
3
)
(
x
−
1
)
(
x
−
4
)
。當
g
(
x
)
>
0
g(x)>0
g
(
x
)
>
0
時，需要開啟第二入口。下列哪個
x
x
x
的範圍正確？
國中教育會考
比例、速率與百分比・單位換算與時間計算
開始練習 →
如圖，一座長
40
m
40\ \mathrm{m}
40
m
、寬
20
m
20\ \mathrm{m}
20
m
、平均水深
1.25
m
1.25\ \mathrm{m}
1.25
m
的游泳池，目前含氯量為
0.40
p
p
m
0.40\ \mathrm{ppm}
0.40
ppm
，管理人員欲將其提高至
0.70
p
p
m
0.70\ \mathrm{ppm}
0.70
ppm
。現有藥液的有效氯質量百分率為
10
%
10\%
10%
，且投放過程中有
20
%
20\%
20%
的有效氯會損失。若水中
1
p
p
m
=
1
m
g
/
L
1\ \mathrm{ppm}=1\ \mathrm{mg/L}
1
ppm
=
1
mg/L
，且忽略投放藥液造成的水量變化，至少需投放多少公斤的藥液？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，一面正三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
旗幟的三邊布邊總長為
36
36
36
公分。若不計布邊寬度，這面旗幟的單面面積為何？
國小數學
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
若
5
−
2
x
3
+
4
=
11
\frac{5-2x}{3}+4=11
3
5
−
2
x
+
4
=
11
，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
河濱公園施工圖以公尺為單位，既有護欄所在直線為
3
x
−
4
y
=
12
3x-4y=12
3
x
−
4
y
=
12
，預定增設的平行警示線為
−
6
x
+
8
y
=
k
-6x+8y=k
−
6
x
+
8
y
=
k
。已知兩線相距
5
5
5
公尺，且座標原點位於兩線之間，則
k
k
k
為何？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，
J
J
J
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的內心，
E
E
E
為
△
J
B
C
\triangle JBC
△
J
B
C
的內心。若
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle BAC=60^\circ
∠
B
A
C
=
6
0
∘
，則
∠
B
E
C
\angle BEC
∠
B
E
C
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
台鐵某班次分析系統以
x
x
x
表示列車實際到站時間與預定時間相差的分鐘數，並篩選符合
x
≤
−
10
x\le -10
x
≤
−
10
或
x
>
15
x>15
x
>
15
的紀錄。所有被篩選出的
x
x
x
所成集合應表示為下列哪一個區間？
國中教育會考
幾何：角度與面積・圓的性質
開始練習 →
如圖，
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，
∠
A
=
x
∘
\angle A=x^\circ
∠
A
=
x
∘
、
∠
B
=
2
x
∘
\angle B=2x^\circ
∠
B
=
2
x
∘
，且
0
<
x
<
60
0<x<60
0
<
x
<
60
（圖形僅示意）。若此三角形的外心位於三角形外部，則
x
x
x
的所有可能值所成的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・對數函數與對數方程
開始練習 →
如圖，曲線
C
C
C
的方程式為
y
=
log
2
(
x
+
2
)
+
1
y=\log_2(x+2)+1
y
=
lo
g
2
(
x
+
2
)
+
1
。將
C
C
C
對
y
y
y
軸鏡射得到曲線
C
1
C_1
C
1
，再將
C
1
C_1
C
1
對
x
x
x
軸鏡射得到曲線
C
2
C_2
C
2
。下列何者為
C
2
C_2
C
2
的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，校園配置示意圖中的
P
,
A
,
C
P,A,C
P
,
A
,
C
三點不共線，另有兩點
B
,
D
B,D
B
,
D
滿足
P
D
→
=
2
P
A
→
+
P
C
→
\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}
P
D
=
2
P
A
+
P
C
及
P
B
→
=
t
P
A
→
+
1
−
t
2
P
C
→
+
t
+
1
3
P
D
→
\overrightarrow{PB}=t\overrightarrow{PA}+\frac{1-t}{2}\overrightarrow{PC}+\frac{t+1}{3}\overrightarrow{PD}
P
B
=
t
P
A
+
2
1
−
t
P
C
+
3
t
+
1
P
D
。若
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
三點共線，則實數
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換
開始練習 →
花蓮某文創市集以東向為
x
x
x
軸、北向為
y
y
y
軸，攤位的原始座標以直行矩陣
p
=
(
x
y
)
\mathbf p=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
p
=
(
x
y
)
表示。導覽螢幕先用矩陣
A
=
(
1
1
0
1
)
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
A
=
(
1
0
1
1
)
修正拍攝角度，再用矩陣
B
=
(
0
−
1
1
0
)
B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
B
=
(
0
1
−
1
0
)
將畫面逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
。若處理後某攤位的顯示座標為
q
=
(
−
3
5
)
\mathbf q=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}
q
=
(
−
3
5
)
，則該攤位的原始座標
p
\mathbf p
p
為何？
國中教育會考
整數四則與運算順序・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
校慶園遊券清點時，工作人員將園遊券總數
N
N
N
設為被除數、
18
18
18
設為除數，整數除法所得的商為
27
27
27
、餘數為
11
11
11
。若將原運算的被除數與除數互換，新的商與餘數依序為何？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・坐標幾何
開始練習 →
一條筆直公路的西側檢查點位於里程座標
2
2
2
公里處，東側檢查點位於里程座標
14
14
14
公里處。休息站的里程座標為
x
x
x
，且
2
<
x
<
14
2<x<14
2
<
x
<
14
。騎士從休息站出發，先到西側檢查點，再原路返回休息站，最後騎到東側檢查點。若全程共騎了
16
16
16
公里，則
x
x
x
為何？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
如圖，圓形自行車道在
A
A
A
點接上一條切線道路，
T
T
T
、
A
A
A
、
S
S
S
共線，
A
C
AC
A
C
為圓的直徑，
B
B
B
為圓上另一點。小弧
A
B
AB
A
B
的度數記為
m
m
m
，大弧
A
B
AB
A
B
的度數記為
M
M
M
，其中
M
=
360
∘
−
m
M=360^\circ-m
M
=
36
0
∘
−
m
。若不直接引用弦切角定理，要證明外側鈍角
∠
S
A
B
=
M
2
\angle SAB=\frac{M}{2}
∠
S
A
B
=
2
M
，下列哪一組依序填入兩個空格，可使推導正確？
∠
S
A
B
=
(
1
)
,
∠
B
A
C
=
(
2
)
.
\angle SAB=\boxed{(1)},\qquad \angle BAC=\boxed{(2)}.
∠
S
A
B
=
(
1
)
,
∠
B
A
C
=
(
2
)
.
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・不等式與絕對值
開始練習 →
將方程式
(
x
−
1
)
2
−
3
∣
x
−
1
∣
−
4
=
0
(x-1)^2-3|x-1|-4=0
(
x
−
1
)
2
−
3∣
x
−
1∣
−
4
=
0
以
A
=
∣
x
−
1
∣
−
2
A=|x-1|-2
A
=
∣
x
−
1∣
−
2
代換。下列哪一組正確列出代換後的方程式，以及由
A
A
A
的定義得到的取值限制？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
夜市入口的四根燈柱依序標記為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，四點形成凸四邊形且位於同一圓周上。已知
A
B
=
5
AB=5
A
B
=
5
公尺、
B
C
=
6
BC=6
B
C
=
6
公尺、
C
D
=
4
CD=4
C
D
=
4
公尺、
D
A
=
5
DA=5
D
A
=
5
公尺，則對角線
A
C
AC
A
C
長多少公尺？
國中教育會考
整數四則與運算順序・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
化簡
16
x
−
7
x
−
x
+
5
−
3
x
−
2
16x-7x-x+5-3x-2
16
x
−
7
x
−
x
+
5
−
3
x
−
2
，結果為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
設
a
⃗
\vec a
a
、
b
⃗
\vec b
b
、
c
⃗
\vec c
c
為平面向量。已知
a
⃗
\vec a
a
與
b
⃗
\vec b
b
所張成的平行四邊形面積為
5
5
5
，
a
⃗
\vec a
a
與
c
⃗
\vec c
c
所張成的平行四邊形面積為
3
3
3
。則
a
⃗
\vec a
a
與
2
b
⃗
+
c
⃗
2\vec b+\vec c
2
b
+
c
所張成的平行四邊形面積的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・立體幾何
開始練習 →
台北河濱自行車道旁架設一條細鋼索，其中心線可寫成
L
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
1
,
2
)
+
t
(
2
,
2
,
1
)
L:(x,y,z)=(0,1,2)+t(2,2,1)
L
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
1
,
2
)
+
t
(
2
,
2
,
1
)
，單位為公尺。維修人員站在點
Q
(
3
,
2
,
5
)
Q(3,2,5)
Q
(
3
,
2
,
5
)
放置測距儀，想知道測距儀到鋼索的最短距離。下列何者正確？
國小數學
立體幾何
開始練習 →
社區活動中心訂製了
3
3
3
個完全相同、六面封閉且厚度均勻的空心壓克力展示箱。每個展示箱的外部長、寬、高分別為
20
20
20
公分、
16
16
16
公分、
12
12
12
公分，厚度均為
2
2
2
公分。製作這
3
3
3
個展示箱共需要多少立方公分的壓克力？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
社區中庭工程圖上，兩個正方形區域的邊長分別標為
4
x
4x
4
x
公尺與
x
2
−
y
2
+
4
x^2-y^2+4
x
2
−
y
2
+
4
公尺。前者面積減去後者面積所得代數式的完全因式分解為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・幾何：角度與面積
開始練習 →
某座多邊形廣場的每一邊都與同一個內切圓相切。已知內切圓半徑為
3
3
3
公尺，平均邊長為
4
4
4
公尺，廣場面積為
72
72
72
平方公尺，則此廣場共有多少條邊？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
某高中福利社記錄
12
12
12
天的午後平均氣溫
x
x
x
（度）與冰紅茶銷量
y
y
y
（杯），用最小平方法得到回歸線
y
^
=
−
180
+
12
x
\hat y=-180+12x
y
^
=
−
180
+
12
x
，相關係數
r
=
0.91
r=0.91
r
=
0.91
，且資料中的氣溫介於
24
24
24
到
32
32
32
度。下列敘述何者正確？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・速率與工作問題
開始練習 →
如圖，河濱自行車道的兩個入口
A
A
A
、
B
B
B
位於同一條東西向直線上，
B
B
B
在
A
A
A
的正東方
0.8
0.8
0.8
公里處。甲從
A
A
A
出發，以每分鐘
80
80
80
公尺的速度向正北直線前進；乙同時從
B
B
B
出發，以每分鐘
60
60
60
公尺的速度向正西直線前進。經過
5
5
5
分鐘後，甲、乙分別位於
P
P
P
、
Q
Q
Q
。此時兩人的直線距離為多少公尺？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，桌上兩枚大小不同的圓形杯墊（圓
O
1
O_1
O
1
、圓
O
2
O_2
O
2
）外切於
P
P
P
。兩條公外切線分別切圓
O
1
O_1
O
1
於
A
A
A
、
E
E
E
，切圓
O
2
O_2
O
2
於
B
B
B
、
F
F
F
；過
P
P
P
的公內切線分別交
A
B
AB
A
B
、
E
F
EF
E
F
於
C
C
C
、
D
D
D
。已知
A
B
=
8
AB=8
A
B
=
8
公分，則
C
D
CD
C
D
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
與
y
=
x
+
2
y=x+2
y
=
x
+
2
的圖形僅交於
P
(
a
,
b
)
P(a,b)
P
(
a
,
b
)
、
Q
(
c
,
d
)
Q(c,d)
Q
(
c
,
d
)
兩點，其中
a
<
c
a<c
a
<
c
。方程式
2
x
−
1
=
x
+
1
2^{x-1}=x+1
2
x
−
1
=
x
+
1
的實數解集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
如圖，夜市攤位的擺動燈飾相對中線的鉛直位置為
h
(
t
)
=
2
sin
(
k
t
+
θ
)
h(t)=2\sin(kt+\theta)
h
(
t
)
=
2
sin
(
k
t
+
θ
)
，其函數圖形通過
P
(
0
,
1
)
P(0,1)
P
(
0
,
1
)
、
M
(
1
,
−
1
)
M(1,-1)
M
(
1
,
−
1
)
。已知
0
<
θ
<
π
2
0<\theta<\frac{\pi}{2}
0
<
θ
<
2
π
且
0
<
k
<
3
π
2
0<k<\frac{3\pi}{2}
0
<
k
<
2
3
π
，則
k
k
k
為何？
國中教育會考
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，公園內兩座圓形植栽區的邊界交於
F
F
F
、
D
D
D
，且
P
P
P
、
F
F
F
、
D
D
D
依序共線。從
P
P
P
引出的兩條切線，分別在
T
T
T
、
U
U
U
與兩座植栽區的邊界相切。以公尺為長度單位，已知
P
T
=
x
+
3
PT=x+3
P
T
=
x
+
3
、
P
U
=
2
x
−
1
PU=2x-1
P
U
=
2
x
−
1
、
P
F
=
x
−
2
PF=x-2
P
F
=
x
−
2
，其中
x
>
2
x>2
x
>
2
。求
F
D
FD
F
D
的長度。
國中教育會考
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體型壓克力展示盒如圖，底面長為
12
12
12
公分、寬為
16
16
16
公分，高為
h
h
h
公分。一根長
25
25
25
公分的筆直支架恰好連接空間中的兩個相對頂點，則
h
h
h
為何？