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難
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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
761
題
・第 12／26 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
玉山氣象站某感測器的輸入溫度
x
x
x
與輸出訊號
y
y
y
呈直線關係。當
x
=
−
3
x=-3
x
=
−
3
時，
y
=
7
y=7
y
=
7
；當
x
=
5
x=5
x
=
5
時，
y
=
−
1
y=-1
y
=
−
1
。若以點
(
−
3
,
7
)
(-3,7)
(
−
3
,
7
)
寫成點斜式，下列何者正確？
‹
1
…
11
12
13
…
26
›
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖，兩曲線分別為
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
與
y
=
x
2
y=x^2
y
=
x
2
的部分圖形。方程式
2
∣
t
∣
−
1
=
(
∣
t
∣
−
1
)
2
2^{|t|-1}=(|t|-1)^2
2
∣
t
∣
−
1
=
(
∣
t
∣
−
1
)
2
共有幾個相異實根？
大學學科能力測驗（數學）
期望值
開始練習 →
一款捷運站內的環保杯回收小遊戲共有
6
6
6
個孔，其中
2
2
2
個標示為加
30
30
30
點，
1
1
1
個標示為扣
15
15
15
點，其餘
3
3
3
個標示為
0
0
0
點。玩家投球一次，球等機率落入任一孔。若阿倫投
4
4
4
次，且每次落點可能受前一次反彈影響，不保證獨立，但每次單獨看仍等機率落入
6
6
6
孔。阿倫總點數的期望值是多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
新竹市規劃一段直線步道，其端點在平面圖上為
A
(
−
4
,
3
)
A(-4,3)
A
(
−
4
,
3
)
、
B
(
2
,
3
)
B(2,3)
B
(
2
,
3
)
。一座路燈必須放在
A
B
AB
A
B
的垂直平分線上，且同時位於維修車道
y
=
2
x
−
1
y=2x-1
y
=
2
x
−
1
上。路燈坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
a
=
log
2
3
a=\log_2 3
a
=
lo
g
2
3
，則
log
12
18
\log_{12}18
lo
g
12
18
等於下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
已知實數
a
,
b
a,b
a
,
b
同時滿足
a
2
−
3
a
−
4
=
0
a^2-3a-4=0
a
2
−
3
a
−
4
=
0
與
b
2
−
(
a
+
1
)
b
−
6
=
0
b^2-(a+1)b-6=0
b
2
−
(
a
+
1
)
b
−
6
=
0
。下列哪一個選項列出了所有可能的
b
b
b
值？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
滿足不等式
∣
x
2
−
6
x
−
7
∣
<
9
\left|x^2-6x-7\right|<9
x
2
−
6
x
−
7
<
9
的整數
x
x
x
共有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
f(x)=3\sin 2x+\cos 2x
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
、
g
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
g(x)=\sin x+3\cos x
g
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
、
h
(
x
)
=
2
sin
x
+
2
cos
x
h(x)=2\sin x+2\cos x
h
(
x
)
=
2
sin
x
+
2
cos
x
。如圖，三幅圖分別呈現這三個函數，水平位置彼此對齊，水平與鉛直比例均相同；水平實線均為
x
x
x
軸，水平虛線標示最大值。各圖的
y
y
y
軸尚未畫出，其位置為鉛直虛線
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
其中之一；相鄰兩條鉛直虛線的水平距離均為
π
2
\frac{\pi}{2}
2
π
。下列哪個選項同時正確列出圖
I
\mathrm{I}
I
、
I
I
\mathrm{II}
II
、
I
I
I
\mathrm{III}
III
對應的函數，以及
y
y
y
軸所在的虛線？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・對數
開始練習 →
設
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\ne1
a
=
1
，並令
x
,
y
,
z
>
0
x,y,z>0
x
,
y
,
z
>
0
。令
log
a
x
=
A
\log_a x=A
lo
g
a
x
=
A
、
log
a
y
=
B
\log_a y=B
lo
g
a
y
=
B
、
log
a
z
=
C
\log_a z=C
lo
g
a
z
=
C
。將
x
=
a
A
x=a^A
x
=
a
A
、
y
=
a
B
y=a^B
y
=
a
B
、
z
=
a
C
z=a^C
z
=
a
C
代入
(
x
y
2
z
)
3
\left(\frac{xy^2}{z}\right)^3
(
z
x
y
2
)
3
後，下列哪一個等式恆成立？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
計算
(
81
625
)
3
4
÷
(
27
125
)
−
2
3
\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{3}{4}}\div\left(\frac{27}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}
(
625
81
)
4
3
÷
(
125
27
)
−
3
2
的值。
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
設
a
a
a
、
b
b
b
為實數。某對應關係的全部紀錄為
1
↦
a
1\mapsto a
1
↦
a
、
2
↦
3
2\mapsto3
2
↦
3
、
2
↦
b
2\mapsto b
2
↦
b
、
3
↦
a
2
3\mapsto a^2
3
↦
a
2
，完全相同的紀錄視為同一個對應。 正向以
{
1
,
2
,
3
}
\{1,2,3\}
{
1
,
2
,
3
}
為輸入集合；反向則將每筆紀錄的箭號反轉，並以原紀錄中實際出現的所有輸出值為輸入集合。若正向與反向都必須符合函數的定義，下列哪一組
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
符合要求？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
如圖，圓
C
:
x
2
+
y
2
−
4
x
+
6
y
+
F
=
0
C:x^2+y^2-4x+6y+F=0
C
:
x
2
+
y
2
−
4
x
+
6
y
+
F
=
0
通過點
P
(
3
,
2
)
P(3,2)
P
(
3
,
2
)
。依一般式的切點代入法，將各項代入後、不合併同類項的切線方程式記為
3
x
+
2
y
+
u
(
3
+
x
)
+
v
(
2
+
y
)
+
w
=
0
3x+2y+u(3+x)+v(2+y)+w=0
3
x
+
2
y
+
u
(
3
+
x
)
+
v
(
2
+
y
)
+
w
=
0
，其中
u
(
3
+
x
)
u(3+x)
u
(
3
+
x
)
、
v
(
2
+
y
)
v(2+y)
v
(
2
+
y
)
分別由原式的一次項
−
4
x
-4x
−
4
x
、
6
y
6y
6
y
改寫而得，
w
w
w
為保留的常數項。則
(
u
,
v
,
w
)
(u,v,w)
(
u
,
v
,
w
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
一塊三角形遮雨棚的三邊長依序記為
a
a
a
、
b
b
b
、
c
c
c
，已知
a
=
7
a=7
a
=
7
公尺、
b
=
8
b=8
b
=
8
公尺，面積
K
=
12
5
K=12\sqrt{5}
K
=
12
5
平方公尺，外接圓半徑
R
=
21
5
10
R=\frac{21\sqrt{5}}{10}
R
=
10
21
5
公尺。邊長
c
c
c
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北某展場的燈光控制程式使用函數
y
=
2
tan
(
3
x
−
π
4
)
−
1
y=2\tan\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-1
y
=
2
tan
(
3
x
−
4
π
)
−
1
描述控制訊號。下列何者正確？其中
k
∈
Z
k\in\mathbb Z
k
∈
Z
。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
當
f
(
x
)
=
5
sin
(
x
+
30
∘
)
−
12
cos
(
x
+
30
∘
)
f(x)=5\sin(x+30^\circ)-12\cos(x+30^\circ)
f
(
x
)
=
5
sin
(
x
+
3
0
∘
)
−
12
cos
(
x
+
3
0
∘
)
取得最小值時，
sin
x
\sin x
sin
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
台北某科學社以
R
(
t
)
=
(
t
−
1
)
2
/
3
+
(
6
−
2
t
)
2
R(t)=(t-1)^{2/3}+(6-2t)^{\sqrt{2}}
R
(
t
)
=
(
t
−
1
)
2/3
+
(
6
−
2
t
)
2
記錄實驗數值，其中
t
≥
0
t\geq 0
t
≥
0
。依高中課本的約定，指數不是整數時，指數式的底數必須是正實數。
R
(
t
)
R(t)
R
(
t
)
的定義域為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓
(
x
−
h
)
2
+
(
y
+
1
)
2
=
25
(x-h)^2+(y+1)^2=25
(
x
−
h
)
2
+
(
y
+
1
)
2
=
25
通過點
P
(
1
,
3
)
P(1,3)
P
(
1
,
3
)
，且
h
>
1
h>1
h
>
1
。將圓方程式寫成
(
x
−
h
)
(
x
−
h
)
+
(
y
+
1
)
(
y
+
1
)
=
25
(x-h)(x-h)+(y+1)(y+1)=25
(
x
−
h
)
(
x
−
h
)
+
(
y
+
1
)
(
y
+
1
)
=
25
，再以標準式的切點代入法求圓在
P
P
P
點的切線：在每一組乘積中，把其中一個因式換成切點
P
P
P
的座標，另一個因式保留。下列哪一個選項的
h
h
h
值與所得切線方程式皆正確？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
如圖，在某市地圖的坐標平面上（單位：公里），捷運站位於
P
(
−
3
,
4
)
P(-3,4)
P
(
−
3
,
4
)
，公園位於
Q
(
3
,
8
)
Q(3,8)
Q
(
3
,
8
)
。若將通過
P
P
P
、
Q
Q
Q
兩點的直線寫成截距式
x
a
+
y
b
=
1
\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
a
x
+
b
y
=
1
，則下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園內兩座灑水器的灑水範圍分別為以
O
1
O_1
O
1
、
O
2
O_2
O
2
為圓心的圓形區域，半徑依序為
5
5
5
公尺、
13
\sqrt{13}
13
公尺，且
O
1
O
2
=
6
O_1O_2=6
O
1
O
2
=
6
公尺。兩圓的圓周交於
A
A
A
、
B
B
B
兩點，公共弦
A
B
AB
A
B
的長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
log
2
=
a
\log 2=a
lo
g
2
=
a
、
log
3
=
b
\log 3=b
lo
g
3
=
b
，則
log
15
\log 15
lo
g
15
可用
a
a
a
、
b
b
b
表示為下列哪一個？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南某公車站用
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
−
1
f(x)=x^3-3x-1
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
−
1
修正等車時間模型。已知
1
<
x
<
2
1<x<2
1
<
x
<
2
之間只有一個零點，且數值表為
f
(
1.5
)
=
−
2.125
f(1.5)=-2.125
f
(
1.5
)
=
−
2.125
、
f
(
1.8
)
=
−
0.568
f(1.8)=-0.568
f
(
1.8
)
=
−
0.568
、
f
(
1.9
)
=
0.159
f(1.9)=0.159
f
(
1.9
)
=
0.159
、
f
(
2
)
=
1
f(2)=1
f
(
2
)
=
1
。利用勘根判斷，這個零點落在哪一個區間？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
校園導覽系統以東向為
x
x
x
軸、北向為
y
y
y
軸，單位為一格。某標記點原座標為
P
=
(
2
,
1
)
P=(2,1)
P
=
(
2
,
1
)
。系統先做逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
的線性變換
R
=
(
0
−
1
1
0
)
R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
R
=
(
0
1
−
1
0
)
，再做東西向放大為
2
2
2
倍、南北向不變的線性變換
S
=
(
2
0
0
1
)
S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
S
=
(
2
0
0
1
)
。完成兩步後，點
P
P
P
的新座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・幾何：角度與面積
開始練習 →
三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
內有一個半徑為
2
2
2
公尺的內切圓，分別與
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
A
CA
C
A
相切於
D
D
D
、
E
E
E
、
F
F
F
。已知
A
D
=
A
F
=
4
AD=AF=4
A
D
=
A
F
=
4
公尺、
B
D
=
B
E
=
5
BD=BE=5
B
D
=
B
E
=
5
公尺，且
C
E
=
C
F
=
x
CE=CF=x
C
E
=
C
F
=
x
公尺，則
x
x
x
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某夜市攤位用矩陣
A
=
(
2
1
1
1
)
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
A
=
(
2
1
1
1
)
把「上週賣出的鹹酥雞份數
x
x
x
、甜不辣份數
y
y
y
」轉成兩個統計量
(
2
x
+
y
x
+
y
)
\begin{pmatrix}2x+y\\x+y\end{pmatrix}
(
2
x
+
y
x
+
y
)
。若統計表顯示結果為
(
130
80
)
\begin{pmatrix}130\\80\end{pmatrix}
(
130
80
)
，則上週鹹酥雞與甜不辣分別賣出幾份？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角函數建模
開始練習 →
花蓮一處自行車道旁的坡面與水平面夾角為銳角
α
\alpha
α
，且坡面每水平前進
12
12
12
公尺便上升
5
5
5
公尺。入口地面的投射燈相對坡面再向上仰一銳角
β
\beta
β
，其中
sin
β
=
3
5
\sin\beta=\frac{3}{5}
sin
β
=
5
3
。若一面鉛直布幕位於投射燈正前方水平距離
33
10
\frac{33}{10}
10
33
公尺處，忽略燈具本身高度，光束照在布幕上的高度為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖為函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形，其中標記點為
A
(
−
2
,
3
)
A(-2,3)
A
(
−
2
,
3
)
。將原圖形變換成
y
=
−
2
f
(
−
2
x
+
4
)
+
1
y=-2f(-2x+4)+1
y
=
−
2
f
(
−
2
x
+
4
)
+
1
的圖形後，點
A
A
A
所對應的點
A
′
A'
A
′
坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
某校午餐回收站統計第
n
n
n
天回收的餐盒數為
a
n
a_n
a
n
。第
1
1
1
天回收
8
8
8
個；之後每天滿足
a
n
+
1
=
2
a
n
−
n
a_{n+1}=2a_n-n
a
n
+
1
=
2
a
n
−
n
。依此規則，第
5
5
5
天回收多少個餐盒？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
設實數
x
x
x
滿足
−
1
≤
x
≤
2
-1\le x\le2
−
1
≤
x
≤
2
，且
y
=
(
1
2
)
x
2
y=\left(\frac12\right)^{x^2}
y
=
(
2
1
)
x
2
。下列何者恰為
y
y
y
的所有可能值所滿足的範圍？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・不等式與絕對值
開始練習 →
某外送平台以配送距離
x
x
x
公里及等候時間
y
y
y
分鐘計算調度指標
P
=
2
x
−
3
y
+
4
P=2x-3y+4
P
=
2
x
−
3
y
+
4
。某時段內
x
∈
[
8
,
12
]
x\in[8,12]
x
∈
[
8
,
12
]
、
y
∈
[
3
,
5
]
y\in[3,5]
y
∈
[
3
,
5
]
，且兩者可各自在區間內獨立變動，則
P
P
P
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式函數與圖形・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知函數
f
f
f
對所有實數
x
x
x
均滿足
f
(
x
+
1
)
=
2
x
2
−
3
x
+
4
f(x+1)=2x^2-3x+4
f
(
x
+
1
)
=
2
x
2
−
3
x
+
4
，則
f
(
x
2
)
f(x^2)
f
(
x
2
)
等於下列哪一個式子？