MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
646
題
・第 20／22 頁
清除全部篩選
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
解方程式
x
+
2
3
−
4
=
5
\frac{x+2}{3}-4=5
3
x
+
2
−
4
=
5
時，若每一步都要消去未知數外層的一項運算，下列哪一組操作順序正確，且每一步都保持等式成立？
‹
1
…
19
20
21
22
›
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某公園的圓形花圃以
O
O
O
為圓心，半徑為
5
5
5
公尺。花圃外的路燈位於
P
P
P
點，且
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公尺。步道
P
A
PA
P
A
與花圃相切於
A
A
A
點，則步道
P
A
PA
P
A
的長度為何？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，校園花圃的邊界為銳角三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。點
E
E
E
、
F
F
F
分別在
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
上，且
C
E
⊥
A
B
CE\perp AB
C
E
⊥
A
B
、
B
F
⊥
A
C
BF\perp AC
B
F
⊥
A
C
，兩線段交於
D
D
D
。 某份證明依序寫道：「由
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
、
∠
B
A
F
=
∠
C
A
E
\angle BAF=\angle CAE
∠
B
A
F
=
∠
C
A
E
、
∠
A
F
B
=
∠
A
E
C
=
90
∘
\angle AFB=\angle AEC=90^\circ
∠
A
F
B
=
∠
A
E
C
=
9
0
∘
，依 AAS（角角邊）得
△
A
B
F
≅
△
A
C
E
\triangle ABF\cong\triangle ACE
△
A
B
F
≅
△
A
C
E
，因此得到第二階段所需的對應股相等：＿＿①＿＿。再配合共同斜邊
A
D
AD
A
D
，依 RHS（斜邊直角邊）得
△
A
D
E
≅
△
A
D
F
\triangle ADE\cong\triangle ADF
△
A
D
E
≅
△
A
D
F
，因此兩三角形中不接觸點
A
A
A
的對應股相等：＿＿②＿＿。」 ①、②依序應填入哪一組？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
嘉義某圓形廣場的圓心為
O
O
O
，圓周上有
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
四個標記點。若弦
A
B
‾
=
C
D
‾
\overline{AB}=\overline{CD}
A
B
=
C
D
，且劣弧
A
B
^
\widehat{AB}
A
B
的度數為
68
∘
68^\circ
6
8
∘
，則劣弧
C
D
^
\widehat{CD}
C
D
的度數為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
將方程式
x
2
=
4
x
+
7
x^2=4x+7
x
2
=
4
x
+
7
整理成標準式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2+bx+c=0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，且取
a
=
1
a=1
a
=
1
，則
(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)
(
a
,
b
,
c
)
為何？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，一座圓形廣場的圓心為
O
O
O
，廣場內設置一直線燈帶
A
B
AB
A
B
，燈帶兩端
A
A
A
、
B
B
B
都在廣場邊緣（圓周）上。自
O
O
O
作
A
B
AB
A
B
的垂線，垂足為
P
P
P
。已知廣場半徑為
10
10
10
公尺，且
O
P
=
6
OP=6
O
P
=
6
公尺，則燈帶
A
B
AB
A
B
的長度為多少公尺？
國中教育會考
指數與根式・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
已知
x
=
4
13
+
5
x=\frac{4}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}
x
=
13
+
5
4
，
y
=
4
13
−
5
y=\frac{4}{\sqrt{13}-\sqrt{5}}
y
=
13
−
5
4
，則
x
2
+
y
2
x^2+y^2
x
2
+
y
2
的值為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，校慶活動路線圍成不規則四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其兩條對角線長分別為
A
C
‾
=
16
\overline{AC}=16
A
C
=
16
公尺、
B
D
‾
=
10
\overline{BD}=10
B
D
=
10
公尺。
E
,
F
,
G
,
H
E,F,G,H
E
,
F
,
G
,
H
依序為
A
B
‾
,
B
C
‾
,
C
D
‾
,
D
A
‾
\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DA}
A
B
,
B
C
,
C
D
,
D
A
的中點，則四邊形
E
F
G
H
EFGH
E
F
G
H
的周長為何？
國中教育會考
圓的性質・幾何：角度與面積
開始練習 →
校園內三座飲水臺的位置分別為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，三點形成的三角形滿足
∠
A
:
∠
B
:
∠
C
=
3
:
4
:
5
\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5
∠
A
:
∠
B
:
∠
C
=
3
:
4
:
5
。校方欲在與三座飲水臺等距的位置設置標示牌，以
O
O
O
表示該位置。如圖，五幅候選示意圖呈現不同的三角形形態與
O
O
O
的位置，圖中長度及角度不作精確量測。哪一幅同時符合三角形形態及
O
O
O
的位置？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，校園平面圖中的兩段直線圍牆分別沿射線
B
A
BA
B
A
、
B
C
BC
B
C
延伸。點
P
P
P
位於
∠
A
B
C
\angle ABC
∠
A
B
C
的角平分線上，
D
D
D
、
E
E
E
分別為
P
P
P
到兩射線的垂足。若證明中只使用
∠
P
B
D
=
∠
P
B
E
\angle PBD=\angle PBE
∠
P
B
D
=
∠
P
B
E
、
∠
P
D
B
=
∠
P
E
B
=
90
∘
\angle PDB=\angle PEB=90^\circ
∠
P
D
B
=
∠
P
E
B
=
9
0
∘
及
P
B
=
P
B
PB=PB
P
B
=
P
B
這三項資料，應直接依據哪一個全等判定，得到
△
P
B
D
≅
△
P
B
E
\triangle PBD\cong\triangle PBE
△
P
B
D
≅
△
P
B
E
，進而推出
P
D
=
P
E
PD=PE
P
D
=
P
E
？
國中教育會考
數線與絕對值・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，時間軸上方記錄媽媽的年齡，下方記錄女兒的年齡；
−
5
-5
−
5
表示五年前，
0
0
0
表示現在。五年前，女兒的年齡為
x
x
x
歲，媽媽的年齡是當時女兒的
4
4
4
倍。圖中的
P
P
P
、
Q
Q
Q
依序應填入哪一組年齡？
國中教育會考
數論基礎（整除、質因數、餘數）・系統列舉與分類討論
開始練習 →
夜市依攤位編號設置集點站。選取兩個不同的質數
p
<
q
p<q
p
<
q
，且
p
p
p
與
q
q
q
之間至少有一個質數。定義
p
⋆
q
p\star q
p
⋆
q
為嚴格介於
p
p
p
與
q
q
q
之間的所有質數中最大者。當
p
,
q
p,q
p
,
q
可任意選取時，
p
⋆
q
p\star q
p
⋆
q
的最小可能值為何？
國中教育會考
幾何：角度與面積・幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，學校布置公布欄時，以正方形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
作為裁紙參考圖，點
F
F
F
在邊
A
D
AD
A
D
上，
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
公分、
A
F
=
4
AF=4
A
F
=
4
公分。另一張三角形色紙
P
Q
R
PQR
P
QR
滿足
△
P
Q
R
≅
△
A
F
C
\triangle PQR\cong\triangle AFC
△
P
QR
≅
△
A
F
C
，頂點依序對應。三角形色紙
P
Q
R
PQR
P
QR
的面積為多少平方公分？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・系統列舉與分類討論
開始練習 →
班上準備了
A
A
A
張貼紙，其中
A
A
A
為正整數。已知
8
8
8
、
12
12
12
、
18
18
18
、
24
24
24
中恰有三個數是
A
A
A
的因數，則
A
A
A
的最小值為何？
國中教育會考
幾何推理與證明・相似形與比例線段
開始練習 →
校園木工社製作三角支架，其側面如圖。
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，點
D
D
D
位於
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
C
D
‾
⊥
A
B
‾
\overline{CD}\perp\overline{AB}
C
D
⊥
A
B
。欲證明
B
C
2
=
B
D
⋅
B
A
BC^2=BD\cdot BA
B
C
2
=
B
D
⋅
B
A
，下列哪一組推理正確？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
校慶園遊會布置時，一塊長方形價目牌的面積為
x
2
−
6
x
−
x
y
+
3
y
+
9
x^2-6x-xy+3y+9
x
2
−
6
x
−
x
y
+
3
y
+
9
平方單位。下列哪一個乘積與此面積恆等？
國中教育會考
相似形與比例線段・平面上的比例
開始練習 →
如圖，校園內一塊三角形花圃為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，
M
M
M
、
N
N
N
分別為
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的中點，且
B
C
‾
=
18
\overline{BC}=18
B
C
=
18
公尺。下列哪一個敘述與理由完整正確？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
5
−
3
5^{-3}
5
−
3
的值為何？
國中教育會考
不等式與絕對值・數線與絕對值
開始練習 →
如圖，在一條東西向自行車道上，以向東為正方向，補給站
A
A
A
位於補給站
B
B
B
的東側。若兩站的位置數值滿足
∣
A
−
B
∣
=
1846
|A-B|=1846
∣
A
−
B
∣
=
1846
，並在
A
A
A
東側
1
1
1
公尺處設置水站，其位置數值為
A
+
1
A+1
A
+
1
，則
B
B
B
到水站的距離為多少公尺？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
校慶佈置需要一段長度為
72
\sqrt{72}
72
公尺的燈帶。若將此長度寫成
a
b
a\sqrt{b}
a
b
公尺，其中
a
a
a
、
b
b
b
為正整數，且
b
b
b
不含大於
1
1
1
的完全平方因數，則
a
+
b
a+b
a
+
b
為何？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
某台灣超商的電子秤顯示一包香料的質量為
0.000583
0.000583
0.000583
公斤。將此數寫成
a
×
10
n
a\times 10^n
a
×
1
0
n
的標準科學記號，其中
1
≤
a
<
10
1\le a<10
1
≤
a
<
10
，何者正確？
國中教育會考
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
台中公車站牌的簡易地圖以座標表示。便利商店的位置為
P
(
3
,
1
)
P(3,1)
P
(
3
,
1
)
。若整張地圖先繞原點逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，再向右平移
2
2
2
格、向下平移
1
1
1
格，則便利商店的新座標為何？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
小芸在整理數學筆記。下列關於「因式分解」的敘述，何者正確？
國中教育會考
坐標幾何・平面上的比例
開始練習 →
某校園的平面座標圖如圖，腳踏車道為線段
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
，其中
A
=
(
2
,
2
)
A=(2,2)
A
=
(
2
,
2
)
、
B
=
(
10
,
6
)
B=(10,6)
B
=
(
10
,
6
)
。補水站
P
P
P
位於
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
P
A
‾
:
P
B
‾
=
1
:
3
\overline{PA}:\overline{PB}=1:3
P
A
:
P
B
=
1
:
3
，則
P
P
P
的座標為何？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
園遊會中，一份餐點的價格為
x
x
x
元。下列哪一個數學寫法是一元一次方程式？
國中教育會考
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
設正數
A
=
26
−
14
A=\sqrt{26}-\sqrt{14}
A
=
26
−
14
、
B
=
25
−
13
B=\sqrt{25}-\sqrt{13}
B
=
25
−
13
、
C
=
24
−
12
C=\sqrt{24}-\sqrt{12}
C
=
24
−
12
，則下列大小關係何者正確？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
超商倉庫將
245
245
245
瓶飲料按每箱
A
A
A
瓶裝箱，最後餘下
5
5
5
瓶；另將
327
327
327
包餅乾按每箱
A
A
A
包裝箱，最後餘下
7
7
7
包，其中
A
A
A
為正整數。
A
A
A
的最大可能值為何？
國中教育會考
容斥原理
開始練習 →
某班共有
40
40
40
人，閱讀測驗及格者占全班的
1
2
\frac{1}{2}
2
1
，聽力測驗及格者占全班的
2
5
\frac{2}{5}
5
2
，兩項都及格者占全班的
1
5
\frac{1}{5}
5
1
。兩項都不及格的學生共有多少人？
國中教育會考
基礎機率・計數與機率
開始練習 →
校慶摸彩箱中有
5
5
5
張藍色券和
3
3
3
張紅色券。阿哲連抽
2
2
2
張，抽出後不放回；若兩張顏色不同就可換小禮物。阿哲可換小禮物的機率是多少？
國中教育會考
二次函數與拋物線
開始練習 →
台南某飲料攤試賣新口味，若每杯降價
x
x
x
元，估計當天多賣出的利潤增加量可用
P
=
−
2
(
x
−
6
)
2
+
72
P=-2(x-6)^2+72
P
=
−
2
(
x
−
6
)
2
+
72
表示，其中
0
≤
x
≤
12
0 \leq x \leq 12
0
≤
x
≤
12
。若想讓利潤增加量最大，應降價幾元？