MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
730
題
・第 6／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
河濱公園兩條筆直自行車道的中心線分別為
L
1
:
3
x
+
4
y
−
12
=
0
L_1:3x+4y-12=0
L
1
:
3
x
+
4
y
−
12
=
0
與
L
2
:
5
y
−
10
=
0
L_2:5y-10=0
L
2
:
5
y
−
10
=
0
，其兩條角平分線為
M
1
:
3
x
−
y
−
2
=
0
M_1:3x-y-2=0
M
1
:
3
x
−
y
−
2
=
0
與
M
2
:
3
x
+
9
y
−
22
=
0
M_2:3x+9y-22=0
M
2
:
3
x
+
9
y
−
22
=
0
。取直線
x
=
0
x=0
x
=
0
與
L
2
L_2
L
2
的交點
P
P
P
作為測試點，下列判定何者正確？
‹
1
…
5
6
7
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・平均數與加權平均
開始練習 →
設
t
>
0
t>0
t
>
0
，三個正數
t
t
t
、
2
t
2t
2
t
、
4
t
2
\frac{4}{t^2}
t
2
4
的算術平均數為
M
M
M
，幾何平均數為
G
G
G
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・指數函數與指數方程
開始練習 →
某商場電子看板的亮度每調高一級，就變為前一級的
5
4
\frac{5}{4}
4
5
倍（亮度可連續調整，級數不必是整數）。亮度由
100
100
100
單位調高至
250
250
250
單位，共調高
x
x
x
級。下列何者可正確表示
x
x
x
？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
手搖飲社團進貨兩種原料，茶底每包
x
x
x
元、果露每瓶
y
y
y
元。第一張訂單
3
3
3
包茶底與
2
2
2
瓶果露共
91
91
91
元，第二張訂單
2
2
2
包茶底與
5
5
5
瓶果露共
145
145
145
元。若下一張訂單要
4
4
4
包茶底與
3
3
3
瓶果露，應付多少元？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
設
a
⃗
\vec a
a
為非零向量，考慮下列四個等式： ①
0
⋅
(
∣
a
⃗
∣
a
⃗
)
=
0
⃗
0\cdot(|\vec a|\vec a)=\vec 0
0
⋅
(
∣
a
∣
a
)
=
0
②
∣
0
⋅
a
⃗
∣
=
0
⃗
|0\cdot\vec a|=\vec 0
∣0
⋅
a
∣
=
0
③
∣
0
⋅
a
⃗
∣
a
⃗
=
0
|0\cdot\vec a|\vec a=0
∣0
⋅
a
∣
a
=
0
④
∣
(
∣
a
⃗
∣
−
∣
a
⃗
∣
)
a
⃗
∣
=
0
|(|\vec a|-|\vec a|)\vec a|=0
∣
(
∣
a
∣
−
∣
a
∣
)
a
∣
=
0
正確等式的編號組合為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某捷運站出口做問卷，受訪者中有
45
%
45\%
45%
搭公車轉乘，有
30
%
30\%
30%
使用共享單車，且兩者都做的人占
12
%
12\%
12%
。若隨機選一位受訪者，已知他使用共享單車，求他也搭公車轉乘的機率。若答案為最簡分數
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某捷運站出口設為座標原點，每一座標單位代表十公尺。兩條道路邊線分別為
L
1
:
3
x
+
4
y
=
0
L_1:3x+4y=0
L
1
:
3
x
+
4
y
=
0
與
L
2
:
5
x
−
12
y
=
0
L_2:5x-12y=0
L
2
:
5
x
−
12
y
=
0
。候車亭位於
Q
(
1
,
1
)
Q(1,1)
Q
(
1
,
1
)
，施工導引線須沿著兩道路所形成、包含
Q
Q
Q
的夾角之角平分線所在直線。該導引線的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
攝影社同學操作相機雲台，轉動角以逆時針方向為正。雲台依序轉過
α
\alpha
α
與
β
\beta
β
，已知
tan
α
=
2
3
\tan\alpha=\frac{2}{3}
tan
α
=
3
2
，且總轉角滿足
tan
(
α
+
β
)
=
−
2
\tan(\alpha+\beta)=-2
tan
(
α
+
β
)
=
−
2
，則
tan
β
\tan\beta
tan
β
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式
開始練習 →
設正實數
t
t
t
滿足
t
2
+
1
t
2
=
7
t^2+\frac{1}{t^2}=7
t
2
+
t
2
1
=
7
，則
t
4
+
1
t
4
−
t
3
−
1
t
3
t^4+\frac{1}{t^4}-t^3-\frac{1}{t^3}
t
4
+
t
4
1
−
t
3
−
t
3
1
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・指數與根式
開始練習 →
某捷運站自動加值機以非零實數
t
t
t
作為內部校正參數，檢測值定義為
∣
(
−
2
)
−
2
t
−
3
∣
\left|\frac{(-2)^{-2}}{t^{-3}}\right|
t
−
3
(
−
2
)
−
2
。若檢測值等於
2
2
2
，則
∣
t
∣
|t|
∣
t
∣
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
設
t
t
t
為實數。已知至少有一個實數
x
x
x
同時滿足
x
2
=
3
x^2=3
x
2
=
3
與
x
>
t
x>t
x
>
t
，且每一個同時滿足這兩項條件的
x
x
x
，都使
log
x
3
=
2
\log_x 3=2
lo
g
x
3
=
2
成立。下列何者為
t
t
t
的所有可能值？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中某 YouBike 站旁的電子看板每秒亮度變化可近似為
I
(
t
)
=
40
+
12
cos
(
π
4
t
)
I(t)=40+12\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)
I
(
t
)
=
40
+
12
cos
(
4
π
t
)
，其中
t
t
t
單位為秒。從
t
=
0
t=0
t
=
0
開始到
t
=
20
t=20
t
=
20
為止，亮度指標等於
46
46
46
的時刻共有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
公園旋轉燈的光點
P
P
P
在單位圓上移動。如圖，當控制參數為
θ
\theta
θ
時，光點的旋轉角為
φ
=
2
θ
−
π
6
\varphi=2\theta-\dfrac{\pi}{6}
φ
=
2
θ
−
6
π
，並定義
T
(
θ
)
T(\theta)
T
(
θ
)
為光點縱坐標除以橫坐標。在
0
≤
θ
<
2
π
0\leq\theta<2\pi
0
≤
θ
<
2
π
中，下列哪一組恰為所有使
T
(
θ
)
T(\theta)
T
(
θ
)
不存在的
θ
\theta
θ
？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
校園氣象站以實數
x
x
x
表示感測器的校正誤差，系統可接受的誤差集合為
I
=
[
−
2
,
1
)
∪
(
3
,
5
]
I=[-2,1)\cup(3,5]
I
=
[
−
2
,
1
)
∪
(
3
,
5
]
。下列何者恰好表示
x
∉
I
x\notin I
x
∈
/
I
？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
m
=
log
5
2
m=\log_5 2
m
=
lo
g
5
2
，則
log
10
4
\log_{10}4
lo
g
10
4
等於下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・二次函數與拋物線
開始練習 →
當
1
<
x
<
9
1<x<9
1
<
x
<
9
時，
log
1
3
(
x
−
1
)
+
log
1
3
(
9
−
x
)
\log_{\frac{1}{3}}(x-1)+\log_{\frac{1}{3}}(9-x)
lo
g
3
1
(
x
−
1
)
+
lo
g
3
1
(
9
−
x
)
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
河濱自行車道的電子藝術裝置，將角度
θ
\theta
θ
對應成燈點在單位圓上的高度
y
=
sin
θ
y=\sin\theta
y
=
sin
θ
。五次輸入角度為
−
100
∘
-100^\circ
−
10
0
∘
、
410
∘
410^\circ
41
0
∘
、
155
∘
155^\circ
15
5
∘
、
725
∘
725^\circ
72
5
∘
、
240
∘
240^\circ
24
0
∘
，高度第二高的是哪一次？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，曲線
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
與直線
y
=
4
−
x
y=4-x
y
=
4
−
x
的唯一交點為
P
(
a
,
b
)
P(a,b)
P
(
a
,
b
)
，且
1
<
a
<
2
1<a<2
1
<
a
<
2
。方程式
2
2
t
−
1
+
2
t
=
5
2^{2t-1}+2t=5
2
2
t
−
1
+
2
t
=
5
的實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
如圖，函數
f
(
x
)
=
log
a
(
x
−
b
)
f(x)=\log_a(x-b)
f
(
x
)
=
lo
g
a
(
x
−
b
)
（其中
a
>
0
a>0
a
>
0
，
a
≠
1
a\neq 1
a
=
1
）的圖形通過點
(
5
,
1
)
(5,1)
(
5
,
1
)
與
(
5
4
,
−
1
)
(\frac{5}{4},-1)
(
4
5
,
−
1
)
。試問
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某夜市的攤位配置圖以公尺為座標單位，四個標記點
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
6
,
0
)
B(6,0)
B
(
6
,
0
)
、
P
(
6
,
8
)
P(6,8)
P
(
6
,
8
)
、
C
(
t
,
4
)
C(t,4)
C
(
t
,
4
)
位於同一圓上。若
t
<
3
t<3
t
<
3
，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，社區中庭的圓形花圃可視為坐標平面上以
O
O
O
為圓心、半徑
2
2
2
的圓
C
C
C
，一條筆直步道可視為通過
O
O
O
的直線
L
L
L
。園丁要在圓
C
C
C
上選兩個相異點
P
P
P
、
Q
Q
Q
各裝一支灑水頭，並要求
O
P
→
\overrightarrow{OP}
O
P
與
O
Q
→
\overrightarrow{OQ}
O
Q
都和直線
L
L
L
夾銳角
30
∘
30^\circ
3
0
∘
。內積
O
P
→
⋅
O
Q
→
\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}
O
P
⋅
O
Q
所有可能值所成的集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖，曲線
f
f
f
與
g
g
g
分別表示
y
=
a
x
y=a^x
y
=
a
x
與
y
=
b
x
y=b^x
y
=
b
x
，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
，且
a
≠
1
a\ne1
a
=
1
、
b
≠
1
b\ne1
b
=
1
。直線
x
=
1
x=1
x
=
1
與曲線
f
f
f
、
g
g
g
的交點，其縱座標分別為
3
3
3
、
1
2
\frac12
2
1
。令
h
(
x
)
=
(
a
b
)
x
h(x)=\left(\frac{a}{b}\right)^x
h
(
x
)
=
(
b
a
)
x
，則有序數對
(
h
(
0
)
,
h
(
1
)
)
(h(0),h(1))
(
h
(
0
)
,
h
(
1
))
為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
若實數
a
a
a
使不等式
9
x
+
9
−
x
−
2
(
3
x
+
3
−
x
)
+
3
≥
a
(
3
x
+
3
−
x
−
1
)
9^x+9^{-x}-2(3^x+3^{-x})+3\geq a(3^x+3^{-x}-1)
9
x
+
9
−
x
−
2
(
3
x
+
3
−
x
)
+
3
≥
a
(
3
x
+
3
−
x
−
1
)
對所有實數
x
x
x
都成立，則
a
a
a
的最大值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
校園廣場上有一個圓形噴水池，施工圖上的圓方程式為
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
x^2+y^2-8x+6y-11=0
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
，單位為公尺。若要在圓心插一支維修標示牌，標示牌的位置與噴水池半徑分別為何？
大學學科能力測驗（數學）
期望值・離散隨機變數
開始練習 →
某校園市集設計集點活動。小悠到四個攤位
P
,
Q
,
R
,
S
P,Q,R,S
P
,
Q
,
R
,
S
可能各得到
1
1
1
點，每點可折抵
8
8
8
元。根據去年的動線統計，小悠得到各攤點數的機率分別為
3
5
,
1
2
,
2
5
,
1
4
\frac{3}{5},\frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{1}{4}
5
3
,
2
1
,
5
2
,
4
1
。這四件事不一定互相獨立。則小悠最後折抵金額的期望值為多少？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
設
0
<
a
<
1
0<a<1
0
<
a
<
1
，且
P
=
log
a
2
P=\log_a2
P
=
lo
g
a
2
、
Q
=
log
a
3
Q=\log_a3
Q
=
lo
g
a
3
、
R
=
log
a
2
5
R=\log_{a^2}5
R
=
lo
g
a
2
5
。下列大小關係何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
等差數列與規律延伸
開始練習 →
桃園一所高中布置校慶座位，每排椅子數成等差增加。第
5
5
5
排有
28
28
28
張，第
12
12
12
排有
56
56
56
張。若從第
5
5
5
排到第
12
12
12
排都要布置，這
8
8
8
排共需要幾張椅子？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
已知正實數
x
x
x
滿足
x
3
4
=
5
2
x^{\frac{3}{4}}=5^2
x
4
3
=
5
2
，則
x
\sqrt{x}
x
等於下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
高雄某校要測量旗竿高度。學生在與旗竿底端
B
B
B
同一直線的地面點
A
A
A
測得旗竿頂端仰角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，再沿遠離旗竿的方向走到點
C
C
C
，測得仰角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
。已知
A
C
=
20
AC=20
A
C
=
20
公尺，且地面水平、儀器高度忽略不計，則旗竿高度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
設
a
⃗
\vec a
a
、
b
⃗
\vec b
b
為平面上兩個非零向量，且
∣
b
⃗
∣
=
2
|\vec b|=2
∣
b
∣
=
2
。若
a
⃗
−
3
b
⃗
\vec a-3\vec b
a
−
3
b
與
b
⃗
\vec b
b
垂直，則
a
⃗
⋅
b
⃗
\vec a\cdot\vec b
a
⋅
b
之值為何？