MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
730
題
・第 4／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某校環保社檢查教室冷氣是否忘記關閉。平日放學後，普通教室占檢查間數的
70
%
70\%
70%
，專科教室占
30
%
30\%
30%
。普通教室忘記關冷氣的機率為
4
%
4\%
4%
，專科教室忘記關冷氣的機率為
10
%
10\%
10%
。若某次檢查發現一間教室忘記關冷氣，求它是專科教室的機率。
‹
1
…
3
4
5
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
對數・二次函數與拋物線
開始練習 →
某手搖飲店用兩個感測器讀數校正甜度代碼
x
x
x
，系統規定
x
>
1
x>1
x
>
1
，且校正條件為
log
3
(
x
−
1
)
+
log
3
(
x
+
3
)
=
2
\log_3(x-1)+\log_3(x+3)=2
lo
g
3
(
x
−
1
)
+
lo
g
3
(
x
+
3
)
=
2
。符合條件的
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，將函數
y
=
log
2
x
y=\log_2 x
y
=
lo
g
2
x
的圖形向右平移
6
6
6
單位、再向上平移
2
2
2
單位，得到新函數的圖形。新圖形可以寫成
y
=
log
2
(
a
x
+
b
)
y=\log_2(ax+b)
y
=
lo
g
2
(
a
x
+
b
)
的形式。新圖形與原圖形
y
=
log
2
x
y=\log_2 x
y
=
lo
g
2
x
的交點坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
夜市攤位要把
8
8
8
張活動貼紙排成一列，貼紙中有
3
3
3
張相同的紅貼紙、
2
2
2
張相同的藍貼紙，以及綠、黃、黑貼紙各
1
1
1
張。若要求兩張藍貼紙不能相鄰，則共有多少種不同排法？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
設函數
g
(
x
)
=
5
sin
(
2
x
−
π
6
)
+
2
cos
(
2
x
−
π
6
)
g(x)=5\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+2\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)
g
(
x
)
=
5
sin
(
2
x
−
6
π
)
+
2
cos
(
2
x
−
6
π
)
，其中
π
12
≤
x
≤
π
3
\frac{\pi}{12}\le x\le\frac{\pi}{3}
12
π
≤
x
≤
3
π
。若
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
在
x
=
x
0
x=x_0
x
=
x
0
時取得最大值，則
x
0
x_0
x
0
為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式函數與圖形・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，兩函數為
f
(
x
)
=
x
3
−
6
x
2
+
9
x
+
1
f(x)=x^3-6x^2+9x+1
f
(
x
)
=
x
3
−
6
x
2
+
9
x
+
1
與
g
(
x
)
=
x
2
+
4
x
+
1
g(x)=x^2+4x+1
g
(
x
)
=
x
2
+
4
x
+
1
。將
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形平移，使平移後圖形的對稱中心與
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
圖形的頂點重合。若平移時每一點皆由
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
移至
(
x
+
u
,
y
+
v
)
(x+u,y+v)
(
x
+
u
,
y
+
v
)
，則
(
u
,
v
)
(u,v)
(
u
,
v
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・數線與絕對值
開始練習 →
已知實數
b
b
b
滿足
∣
15
b
−
3
∣
=
2
(
15
b
)
+
1
|15b-3|=2(15b)+1
∣15
b
−
3∣
=
2
(
15
b
)
+
1
，則
15
b
15b
15
b
的所有可能值所成的集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）・整數四則與運算順序
開始練習 →
台南一間租車行用矩陣記錄兩種車款的每日租借數。某日資料向量為
v
=
(
18
12
)
v=\begin{pmatrix}18\\12\end{pmatrix}
v
=
(
18
12
)
，其中第一列為電輔車、第二列為一般腳踏車。店長先把資料做促銷修正
A
=
(
1
2
0
1
)
A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
A
=
(
1
0
2
1
)
，再做庫存換算
B
=
(
2
0
1
1
)
B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}
B
=
(
2
1
0
1
)
。若修正後資料為
B
A
v
BAv
B
A
v
，則結果為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
某登山社用酸鹼感測器比較兩瓶山泉水。甲瓶的
p
H
pH
p
H
值為
6.1
6.1
6.1
，乙瓶的
p
H
pH
p
H
值為
5.5
5.5
5.5
。已知
p
H
=
−
log
[
H
+
]
pH=-\log [H^+]
p
H
=
−
lo
g
[
H
+
]
，且可用
10
0.3
≈
2
10^{0.3}\approx 2
1
0
0.3
≈
2
。乙瓶的氫離子濃度約為甲瓶的幾倍？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
若
t
t
t
為實數，且
log
t
−
1
(
4
−
t
)
\log_{t-1}(4-t)
lo
g
t
−
1
(
4
−
t
)
與
log
4
−
t
(
t
−
1
)
\log_{4-t}(t-1)
lo
g
4
−
t
(
t
−
1
)
均有意義，則
t
t
t
的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
設
g
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
g(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x
g
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
，其中
0
≤
x
≤
5
π
12
0\le x\le\frac{5\pi}{12}
0
≤
x
≤
12
5
π
，則
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的值域為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某河濱自行車道的一側邊界可表示為直線
3
x
+
4
y
−
20
=
0
3x+4y-20=0
3
x
+
4
y
−
20
=
0
，座標單位為公尺。緊急通報柱位於
P
(
0
,
0
)
P(0,0)
P
(
0
,
0
)
，則通報柱到此邊界的距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・邏輯推理與規律
開始練習 →
某市自行車道規劃圖以直線表示兩段車道，其中
L
1
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
1
)
y
=
2
L_1:(k-1)x+(k+1)y=2
L
1
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
1
)
y
=
2
，
L
2
:
2
(
k
−
1
)
x
+
2
(
k
+
1
)
y
=
k
+
3
L_2:2(k-1)x+2(k+1)y=k+3
L
2
:
2
(
k
−
1
)
x
+
2
(
k
+
1
)
y
=
k
+
3
。規定兩條相異且沒有交點的直線才稱為平行。若規劃員要使用
L
1
∥
L
2
⇔
m
1
=
m
2
L_1\parallel L_2\Leftrightarrow m_1=m_2
L
1
∥
L
2
⇔
m
1
=
m
2
判定，其中
m
1
,
m
2
m_1,m_2
m
1
,
m
2
分別為兩直線的斜率，則使兩邊都有意義且雙條件成立的
k
k
k
的最大範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
設多項式
f
(
x
)
=
3
⋅
(
x
−
3
)
(
x
−
6
)
(
2
−
3
)
(
2
−
6
)
+
4
⋅
(
x
−
2
)
(
x
−
6
)
(
3
−
2
)
(
3
−
6
)
+
7
⋅
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(
6
−
2
)
(
6
−
3
)
f(x)=3\cdot\dfrac{(x-\sqrt3)(x-\sqrt6)}{(\sqrt2-\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt6)}+4\cdot\dfrac{(x-\sqrt2)(x-\sqrt6)}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt6)}+7\cdot\dfrac{(x-\sqrt2)(x-\sqrt3)}{(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt3)}
f
(
x
)
=
3
⋅
(
2
−
3
)
(
2
−
6
)
(
x
−
3
)
(
x
−
6
)
+
4
⋅
(
3
−
2
)
(
3
−
6
)
(
x
−
2
)
(
x
−
6
)
+
7
⋅
(
6
−
2
)
(
6
−
3
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
，則
f
(
4
)
f(4)
f
(
4
)
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式函數與圖形・指數與根式
開始練習 →
判斷下列五個式子是否為
x
x
x
的多項式，其中
x
x
x
未限定為非負數。 甲：
2
x
+
π
\sqrt{2}x+\pi
2
x
+
π
乙：
9
x
2
∣
−
2
∣
\frac{\sqrt{9}x^2}{|-2|}
∣
−
2∣
9
x
2
丙：
x
2
+
2
\sqrt{x^2}+2
x
2
+
2
丁：
∣
x
−
1
∣
|x-1|
∣
x
−
1∣
戊：
x
−
2
x^{-2}
x
−
2
下列哪一個選項恰好列出所有符合者？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・面積切割與補形
開始練習 →
美術課用一張長
10
10
10
公分、寬
8
8
8
公分的矩形色紙做拼貼。老師在色紙中剪下兩個空白三角形：第一個三角形三個頂點在
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
、
(
4
,
0
)
(4,0)
(
4
,
0
)
、
(
0
,
3
)
(0,3)
(
0
,
3
)
；第二個三角形三個頂點在
(
10
,
8
)
(10,8)
(
10
,
8
)
、
(
6
,
8
)
(6,8)
(
6
,
8
)
、
(
10
,
5
)
(10,5)
(
10
,
5
)
。其餘部分塗成陰影，陰影面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
方程式
log
x
(
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
+
1
)
=
0
\log_x\bigl((x+2)(x-1)(x-3)+1\bigr)=0
lo
g
x
(
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
+
1
)
=
0
的實數解集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某河濱自行車道的三個補給站為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。測得
∠
A
=
30
∘
\angle A=30^\circ
∠
A
=
3
0
∘
、
A
B
=
8
AB=8
A
B
=
8
公里、
B
C
=
5
BC=5
B
C
=
5
公里。關於所有符合條件的三角形，下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
設
a
=
3
log
2
5
a=3^{\log_2 5}
a
=
3
l
o
g
2
5
，則
5
log
2
12
5^{\log_2 12}
5
l
o
g
2
12
可表示為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
某早餐店將
x
x
x
盒飯糰與
y
y
y
盒三明治組成一批訂單，其中
x
x
x
、
y
y
y
均為正整數。訂單須符合
5
x
+
2
y
≤
28
5x+2y\le 28
5
x
+
2
y
≤
28
、
x
+
y
≥
7
x+y\ge 7
x
+
y
≥
7
，且飯糰盒數少於三明治盒數，即
x
<
y
x<y
x
<
y
。共有多少種不同的訂單組合
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
嘉義布袋港某日的水深可近似視為正弦（或餘弦）曲線的週期變化。上午
6
6
6
時水深達最高的
220
220
220
公分，中午
12
12
12
時降至最低的
140
140
140
公分，下午
18
18
18
時再次達到最高。從上午
6
6
6
時起算，水深第一次回到平均水深
180
180
180
公分是在何時？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓形廣場邊界上的四個標記
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
依序排列，且
∠
B
A
C
=
45
∘
\angle BAC=45^\circ
∠
B
A
C
=
4
5
∘
、
∠
B
A
D
=
75
∘
\angle BAD=75^\circ
∠
B
A
D
=
7
5
∘
。已知
B
C
BC
B
C
的直線距離為
6
6
6
公尺，求
C
D
CD
C
D
的直線距離。
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸恰有兩個交點，其橫座標分別為
2
2
2
、
8
8
8
。設
g
(
x
)
=
f
(
2
x
)
g(x)=f(2x)
g
(
x
)
=
f
(
2
x
)
，再令
h
(
x
)
=
g
(
k
x
)
h(x)=g(kx)
h
(
x
)
=
g
(
k
x
)
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
。若
y
=
h
(
x
)
y=h(x)
y
=
h
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸兩交點的距離為
1
1
1
，則
k
k
k
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座展場的旋轉燈每轉過角度
θ
\theta
θ
，感測器便記錄一次狀態；當且僅當
sin
θ
=
1
2
\sin\theta=\frac{1}{2}
sin
θ
=
2
1
時，記錄顯示為紅燈。若只查看
1000
∘
≤
θ
≤
1700
∘
1000^\circ\leq\theta\leq1700^\circ
100
0
∘
≤
θ
≤
170
0
∘
的資料，下列哪一項是紅燈出現角度的完整集合？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
某校園遊會使用兩個正方體收納箱，其稜長分別為
x
x
x
公寸與
y
y
y
公寸。已知
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
，且兩箱的體積和為
112
112
112
立方公寸，則兩箱底面面積的總和為多少平方公寸？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
t
t
t
為整數，直線
L
t
:
x
+
y
=
−
t
L_t:x+y=-t
L
t
:
x
+
y
=
−
t
與圓
C
t
:
x
2
+
y
2
−
4
t
y
+
3
t
2
−
2
t
−
2
=
0
C_t:x^2+y^2-4ty+3t^2-2t-2=0
C
t
:
x
2
+
y
2
−
4
t
y
+
3
t
2
−
2
t
−
2
=
0
，如圖為
t
=
1
t=1
t
=
1
時的示意圖。將
y
=
−
x
−
t
y=-x-t
y
=
−
x
−
t
代入圓方程式，展開並合併同類項後，恆可寫成
2
x
2
+
a
t
x
+
8
t
2
−
2
t
−
2
=
0
2x^2+atx+8t^2-2t-2=0
2
x
2
+
a
t
x
+
8
t
2
−
2
t
−
2
=
0
，其中
a
a
a
為常數。令
S
S
S
為使直線與圓有兩個相異交點的所有整數
t
t
t
所成的集合。下列哪一組
a
a
a
與
S
S
S
完全正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小美規劃從高雄搭車北上，手機電量預測的校正差為
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
H(x)=(x+2)(x-1)(x-3)^2
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
，其中
x
x
x
是出門後的時數，只討論
0
≤
x
≤
5
0\le x\le 5
0
≤
x
≤
5
。若
H
(
x
)
≤
0
H(x)\le 0
H
(
x
)
≤
0
表示預測電量不高於實際電量，則哪些時段符合？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某地區的座標地圖上，兩座 YouBike 站的位置分別為
P
(
a
,
9
)
P(a,9)
P
(
a
,
9
)
、
Q
(
8
,
5
)
Q(8,5)
Q
(
8
,
5
)
，其中線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中點位於直線
x
=
5
x=5
x
=
5
上。若自行車道
L
L
L
是線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中垂線，則
L
L
L
的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
設
0
∘
≤
x
<
360
∘
0^\circ\le x<360^\circ
0
∘
≤
x
<
36
0
∘
，不等式
2
sin
x
cos
x
+
2
sin
2
x
≥
1
+
2
2
2\sin x\cos x+2\sin^2x\ge 1+\frac{\sqrt{2}}{2}
2
sin
x
cos
x
+
2
sin
2
x
≥
1
+
2
2
的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
的圖形。將此圖形依序作下列變換：向右平移
2
2
2
；沿水平方向伸長為原來的
3
3
3
倍（以
y
y
y
軸為基準）；向上平移
1
1
1
；最後將各點的縱座標乘以
−
2
-2
−
2
。所得圖形的函數式為何？