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難
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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
730
題
・第 12／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓
(
x
−
h
)
2
+
(
y
+
1
)
2
=
25
(x-h)^2+(y+1)^2=25
(
x
−
h
)
2
+
(
y
+
1
)
2
=
25
通過點
P
(
1
,
3
)
P(1,3)
P
(
1
,
3
)
，且
h
>
1
h>1
h
>
1
。將圓方程式寫成
(
x
−
h
)
(
x
−
h
)
+
(
y
+
1
)
(
y
+
1
)
=
25
(x-h)(x-h)+(y+1)(y+1)=25
(
x
−
h
)
(
x
−
h
)
+
(
y
+
1
)
(
y
+
1
)
=
25
，再以標準式的切點代入法求圓在
P
P
P
點的切線：在每一組乘積中，把其中一個因式換成切點
P
P
P
的座標，另一個因式保留。下列哪一個選項的
h
h
h
值與所得切線方程式皆正確？
‹
1
…
11
12
13
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
如圖，在某市地圖的坐標平面上（單位：公里），捷運站位於
P
(
−
3
,
4
)
P(-3,4)
P
(
−
3
,
4
)
，公園位於
Q
(
3
,
8
)
Q(3,8)
Q
(
3
,
8
)
。若將通過
P
P
P
、
Q
Q
Q
兩點的直線寫成截距式
x
a
+
y
b
=
1
\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
a
x
+
b
y
=
1
，則下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園內兩座灑水器的灑水範圍分別為以
O
1
O_1
O
1
、
O
2
O_2
O
2
為圓心的圓形區域，半徑依序為
5
5
5
公尺、
13
\sqrt{13}
13
公尺，且
O
1
O
2
=
6
O_1O_2=6
O
1
O
2
=
6
公尺。兩圓的圓周交於
A
A
A
、
B
B
B
兩點，公共弦
A
B
AB
A
B
的長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
log
2
=
a
\log 2=a
lo
g
2
=
a
、
log
3
=
b
\log 3=b
lo
g
3
=
b
，則
log
15
\log 15
lo
g
15
可用
a
a
a
、
b
b
b
表示為下列哪一個？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南某公車站用
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
−
1
f(x)=x^3-3x-1
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
−
1
修正等車時間模型。已知
1
<
x
<
2
1<x<2
1
<
x
<
2
之間只有一個零點，且數值表為
f
(
1.5
)
=
−
2.125
f(1.5)=-2.125
f
(
1.5
)
=
−
2.125
、
f
(
1.8
)
=
−
0.568
f(1.8)=-0.568
f
(
1.8
)
=
−
0.568
、
f
(
1.9
)
=
0.159
f(1.9)=0.159
f
(
1.9
)
=
0.159
、
f
(
2
)
=
1
f(2)=1
f
(
2
)
=
1
。利用勘根判斷，這個零點落在哪一個區間？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
校園導覽系統以東向為
x
x
x
軸、北向為
y
y
y
軸，單位為一格。某標記點原座標為
P
=
(
2
,
1
)
P=(2,1)
P
=
(
2
,
1
)
。系統先做逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
的線性變換
R
=
(
0
−
1
1
0
)
R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
R
=
(
0
1
−
1
0
)
，再做東西向放大為
2
2
2
倍、南北向不變的線性變換
S
=
(
2
0
0
1
)
S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
S
=
(
2
0
0
1
)
。完成兩步後，點
P
P
P
的新座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・幾何：角度與面積
開始練習 →
三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
內有一個半徑為
2
2
2
公尺的內切圓，分別與
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
A
CA
C
A
相切於
D
D
D
、
E
E
E
、
F
F
F
。已知
A
D
=
A
F
=
4
AD=AF=4
A
D
=
A
F
=
4
公尺、
B
D
=
B
E
=
5
BD=BE=5
B
D
=
B
E
=
5
公尺，且
C
E
=
C
F
=
x
CE=CF=x
C
E
=
C
F
=
x
公尺，則
x
x
x
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某夜市攤位用矩陣
A
=
(
2
1
1
1
)
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
A
=
(
2
1
1
1
)
把「上週賣出的鹹酥雞份數
x
x
x
、甜不辣份數
y
y
y
」轉成兩個統計量
(
2
x
+
y
x
+
y
)
\begin{pmatrix}2x+y\\x+y\end{pmatrix}
(
2
x
+
y
x
+
y
)
。若統計表顯示結果為
(
130
80
)
\begin{pmatrix}130\\80\end{pmatrix}
(
130
80
)
，則上週鹹酥雞與甜不辣分別賣出幾份？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角函數建模
開始練習 →
花蓮一處自行車道旁的坡面與水平面夾角為銳角
α
\alpha
α
，且坡面每水平前進
12
12
12
公尺便上升
5
5
5
公尺。入口地面的投射燈相對坡面再向上仰一銳角
β
\beta
β
，其中
sin
β
=
3
5
\sin\beta=\frac{3}{5}
sin
β
=
5
3
。若一面鉛直布幕位於投射燈正前方水平距離
33
10
\frac{33}{10}
10
33
公尺處，忽略燈具本身高度，光束照在布幕上的高度為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖為函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形，其中標記點為
A
(
−
2
,
3
)
A(-2,3)
A
(
−
2
,
3
)
。將原圖形變換成
y
=
−
2
f
(
−
2
x
+
4
)
+
1
y=-2f(-2x+4)+1
y
=
−
2
f
(
−
2
x
+
4
)
+
1
的圖形後，點
A
A
A
所對應的點
A
′
A'
A
′
坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
某校午餐回收站統計第
n
n
n
天回收的餐盒數為
a
n
a_n
a
n
。第
1
1
1
天回收
8
8
8
個；之後每天滿足
a
n
+
1
=
2
a
n
−
n
a_{n+1}=2a_n-n
a
n
+
1
=
2
a
n
−
n
。依此規則，第
5
5
5
天回收多少個餐盒？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
設實數
x
x
x
滿足
−
1
≤
x
≤
2
-1\le x\le2
−
1
≤
x
≤
2
，且
y
=
(
1
2
)
x
2
y=\left(\frac12\right)^{x^2}
y
=
(
2
1
)
x
2
。下列何者恰為
y
y
y
的所有可能值所滿足的範圍？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・不等式與絕對值
開始練習 →
某外送平台以配送距離
x
x
x
公里及等候時間
y
y
y
分鐘計算調度指標
P
=
2
x
−
3
y
+
4
P=2x-3y+4
P
=
2
x
−
3
y
+
4
。某時段內
x
∈
[
8
,
12
]
x\in[8,12]
x
∈
[
8
,
12
]
、
y
∈
[
3
,
5
]
y\in[3,5]
y
∈
[
3
,
5
]
，且兩者可各自在區間內獨立變動，則
P
P
P
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式函數與圖形・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知函數
f
f
f
對所有實數
x
x
x
均滿足
f
(
x
+
1
)
=
2
x
2
−
3
x
+
4
f(x+1)=2x^2-3x+4
f
(
x
+
1
)
=
2
x
2
−
3
x
+
4
，則
f
(
x
2
)
f(x^2)
f
(
x
2
)
等於下列哪一個式子？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知
y
=
log
2
x
y=\log_2 x
y
=
lo
g
2
x
的圖形如圖。函數
y
=
log
2
(
4
x
3
)
y=\log_2(4x^3)
y
=
lo
g
2
(
4
x
3
)
的圖形，可由
y
=
log
2
x
y=\log_2 x
y
=
lo
g
2
x
的圖形經過下列哪一種變換得到？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
設
t
t
t
為實數，
f
(
x
)
=
(
t
−
1
)
x
f(x)=(t-1)^x
f
(
x
)
=
(
t
−
1
)
x
與
g
(
x
)
=
(
3
−
t
)
x
g(x)=(3-t)^x
g
(
x
)
=
(
3
−
t
)
x
都是定義於所有實數的指數函數。如圖，
f
f
f
的圖形遞增，
g
g
g
的圖形遞減，且兩者皆通過
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
。符合條件的
t
t
t
值範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・指數與根式
開始練習 →
設指數函數
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=a^x
f
(
x
)
=
a
x
，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\ne 1
a
=
1
。已知
f
(
k
)
=
125
f(k)=125
f
(
k
)
=
125
，則
f
(
−
k
3
)
+
f
(
−
2
k
3
)
f\!\left(-\frac{k}{3}\right)+f\!\left(-\frac{2k}{3}\right)
f
(
−
3
k
)
+
f
(
−
3
2
k
)
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列・餘數循環與週期規律
開始練習 →
夜市攤位的電子叫號牌只顯示
0
0
0
到
4
4
4
的燈號。第
1
1
1
次與第
2
2
2
次燈號分別為
1
1
1
、
2
2
2
；從第
3
3
3
次起，每次燈號都是前兩次燈號相加後除以
5
5
5
的餘數。第
2026
2026
2026
次燈號是多少？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
不等式
(
2
x
+
1
)
(
(
1
3
)
x
−
9
)
(
5
x
−
1
)
(
7
x
−
343
)
>
0
(2^x+1)\bigl((\frac{1}{3})^x-9\bigr)(5^x-1)(7^x-343)>0
(
2
x
+
1
)
(
(
3
1
)
x
−
9
)
(
5
x
−
1
)
(
7
x
−
343
)
>
0
的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
已知
f
(
x
)
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
−
3
)
−
3
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
+
5
(
x
−
1
)
+
5
f(x)=2(x-1)(x+1)(x-3)-3(x-1)(x+1)+5(x-1)+5
f
(
x
)
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
−
3
)
−
3
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
+
5
(
x
−
1
)
+
5
。若將它改寫成
f
(
x
)
=
a
(
x
−
3
)
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
+
b
(
x
−
3
)
(
x
+
1
)
+
c
(
x
−
3
)
+
d
f(x)=a(x-3)(x+1)(x-1)+b(x-3)(x+1)+c(x-3)+d
f
(
x
)
=
a
(
x
−
3
)
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
+
b
(
x
−
3
)
(
x
+
1
)
+
c
(
x
−
3
)
+
d
，且等式對所有實數
x
x
x
皆成立，則
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(a,b,c,d)
(
a
,
b
,
c
,
d
)
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・邏輯推理與規律
開始練習 →
設
x
>
0
x>0
x
>
0
且
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
，考慮下列五個命題： 甲：若
x
>
5
x>5
x
>
5
，則
y
>
30
y>30
y
>
30
。 乙：若
y
>
30
y>30
y
>
30
，則
x
>
5
x>5
x
>
5
。 丙：若
y
y
y
為整數，則
x
x
x
為整數。 丁：若
x
x
x
不是整數，則
y
y
y
不是整數。 戊：若
y
y
y
不是整數，則
x
x
x
不是整數。 下列哪個選項恰好列出所有正確的命題？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某公園配置圖以公尺為座標單位，一座圓形廣場的直徑兩端點為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
9
)
B(8,9)
B
(
8
,
9
)
。此圓形廣場邊界所在圓的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
如圖，遊樂園摩天輪的半徑為
20
20
20
公尺，圓心離地
22
22
22
公尺，座艙每
90
90
90
秒繞行一圈。令
t
t
t
表示經過的秒數，
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
表示座艙離地高度。當
t
=
0
t=0
t
=
0
時，座艙位於圓心正右方，且接著向上移動。下列何者可表示
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
在臺中市一張以某路口為原點的座標地圖上，自行車道中心線的延伸直線為
ℓ
t
:
y
=
(
t
−
2
)
x
+
(
t
+
1
)
\ell_t:y=(t-2)x+(t+1)
ℓ
t
:
y
=
(
t
−
2
)
x
+
(
t
+
1
)
。若此延伸直線在第二、第三、第四象限都有點，且在第一象限內沒有任何點，則
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
燈會布置使用一塊箏形飾板
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，四個頂點依序排列，且
A
B
=
A
D
=
4
AB=AD=4
A
B
=
A
D
=
4
、
C
B
=
C
D
=
6
CB=CD=6
C
B
=
C
D
=
6
、
∠
B
A
D
=
120
∘
\angle BAD=120^\circ
∠
B
A
D
=
12
0
∘
。兩條對角線交於
M
M
M
，且
A
A
A
、
C
C
C
位於直線
B
D
BD
B
D
的兩側，則
A
C
AC
A
C
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・指數與根式
開始練習 →
某社區生態池中的布袋蓮覆蓋面積符合模型
f
(
t
)
=
2
t
f(t)=2^t
f
(
t
)
=
2
t
，其中
t
t
t
為開始觀察後經過的月數，面積單位為平方公尺。覆蓋面積達到
3
3
3
與
6
6
6
平方公尺的時刻分別為
t
1
t_1
t
1
與
t
2
t_2
t
2
。在這兩個時刻的正中間，也就是
t
=
t
1
+
t
2
2
t=\frac{t_1+t_2}{2}
t
=
2
t
1
+
t
2
時，覆蓋面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某公園入口的位置為
Q
(
t
,
2
)
Q(t,2)
Q
(
t
,
2
)
，鄰近道路的中心線方程式為
4
x
−
3
y
−
4
=
0
4x-3y-4=0
4
x
−
3
y
−
4
=
0
，座標單位為公里。已知入口到道路中心線的垂直距離為
2
2
2
公里，且
t
>
2
t>2
t
>
2
，則
t
t
t
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
共享單車調度地圖上的一個定位點原在
P
=
(
4
,
−
2
)
P=(4,-2)
P
=
(
4
,
−
2
)
。此點先水平移動
p
p
p
個單位，再鉛直移動
q
q
q
個單位後，到達
Q
=
(
−
3
,
6
)
Q=(-3,6)
Q
=
(
−
3
,
6
)
。則
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
期望值
開始練習 →
台南某甜點店推出抽籤折扣。顧客從盒中抽出一張籤，籤面折扣金額分別為
0
,
10
,
20
,
50
0,10,20,50
0
,
10
,
20
,
50
元，機率分別為
1
4
,
2
5
,
1
5
,
3
20
\frac{1}{4},\frac{2}{5},\frac{1}{5},\frac{3}{20}
4
1
,
5
2
,
5
1
,
20
3
。若小凱買一份甜點，折扣金額的期望值是多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
若
0
<
α
<
π
4
0<\alpha<\dfrac{\pi}{4}
0
<
α
<
4
π
，則
sin
α
\sin\alpha
sin
α
、
cos
α
\cos\alpha
cos
α
、
tan
(
π
4
+
α
)
\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)
tan
(
4
π
+
α
)
三者的大小關係何者正確？