某社區生態池中的布袋蓮覆蓋面積符合模型 $f(t)=2^t$，其中 $t$ 為開始觀察後經過的月數，面積單位為平方公尺。覆蓋面積達到 $3$ 與 $6$ 平方公尺的時刻分別為 $t_1$ 與 $t_2$。在這兩個時刻的正中間，也就是 $t=\frac{t_1+t_2}{2}$ 時，覆蓋面積為多少平方公尺？