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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
862
題
・第 22／29 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
高雄一座臨時摩天輪的座艙離地高度近似正弦函數。座艙在
t
=
0
t=0
t
=
0
分鐘時位於最低點
4
4
4
公尺，之後開始上升；最高點為
36
36
36
公尺，轉一圈需
16
16
16
分鐘。若
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
表示座艙在第
t
t
t
分鐘的離地高度，則下列哪一個模型最符合情境？
‹
1
…
21
22
23
…
29
›
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
台南一座水池的感測器記錄到水面高度變化可表示為
h
(
t
)
=
sin
(
π
3
t
)
+
cos
(
π
2
t
)
h(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)
h
(
t
)
=
sin
(
3
π
t
)
+
cos
(
2
π
t
)
，其中
t
t
t
的單位為秒。此訊號最少經過多少秒會完整重複？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
實數
t
t
t
滿足
∣
2
t
−
1
∣
=
∣
t
+
2
∣
+
∣
t
−
3
∣
|2t-1|=|t+2|+|t-3|
∣2
t
−
1∣
=
∣
t
+
2∣
+
∣
t
−
3∣
，則
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台北捷運站內一台閘門用
p
(
t
)
=
t
4
−
6
t
3
+
13
t
2
−
12
t
+
4
p(t)=t^4-6t^3+13t^2-12t+4
p
(
t
)
=
t
4
−
6
t
3
+
13
t
2
−
12
t
+
4
描述檢測差值，
p
(
t
)
=
0
p(t)=0
p
(
t
)
=
0
表示剛好校正。工作人員只看相鄰整數端點是否變號。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
花蓮一間咖啡店記錄電扇轉速，某段時間可用
v
(
t
)
=
3
sin
t
+
4
cos
t
v(t)=3\sin t+4\cos t
v
(
t
)
=
3
sin
t
+
4
cos
t
表示，其中
t
t
t
以弧度計。若要寫成
v
(
t
)
=
R
sin
(
t
+
α
)
v(t)=R\sin(t+\alpha)
v
(
t
)
=
R
sin
(
t
+
α
)
，且
R
>
0
R>0
R
>
0
、
0
<
α
<
π
2
0<\alpha<\frac{\pi}{2}
0
<
α
<
2
π
，則
R
R
R
與
tan
α
\tan\alpha
tan
α
分別為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
花蓮文創市集的攤主把手電筒固定在桌上，光束可視為右圓錐。白色立牌是一個平面，調整到「與光束邊界的一條直線母線平行」，且只截到錐面的一側，不穿過燈泡。投影外緣最適合用哪種曲線與性質描述？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質
開始練習 →
一座圓形自行車場的圓周上依序設有
A
A
A
、
C
C
C
、
D
D
D
、
B
B
B
四個休息站，兩條直線步道形成弦
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
與弦
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
，且
A
B
‾
∥
C
D
‾
\overline{AB}\parallel\overline{CD}
A
B
∥
C
D
。已知相鄰休息站間的弧
C
D
⌢
=
124
∘
\overset{\frown}{CD}=124^\circ
C
D
⌢
=
12
4
∘
、
B
A
⌢
=
56
∘
\overset{\frown}{BA}=56^\circ
B
A
⌢
=
5
6
∘
，則弧
A
C
⌢
\overset{\frown}{AC}
A
C
⌢
的度數為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
設
x
>
1
x>1
x
>
1
，且
log
2
x
+
log
x
2
=
5
2
\log_2 x+\log_x 2=\frac{5}{2}
lo
g
2
x
+
lo
g
x
2
=
2
5
。若所有符合條件的
x
x
x
值之積為
P
P
P
，則
P
P
P
為何？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
公車站牌管理員將上午尖峰
15
15
15
天的到站前排隊人數
x
x
x
與平均候車時間
y
y
y
（分鐘）分成甲、乙兩站統計，得到甲站：
y
^
=
2.1
+
0.18
x
,
r
=
0.74
\hat y=2.1+0.18x, r=0.74
y
^
=
2.1
+
0.18
x
,
r
=
0.74
；乙站：
y
^
=
8
−
0.05
x
,
r
=
−
0.30
\hat y=8-0.05x, r=-0.30
y
^
=
8
−
0.05
x
,
r
=
−
0.30
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・立體幾何
開始練習 →
高雄一處輕軌站頂棚的局部可視為平面
Π
\Pi
Π
。工程圖以公尺為單位，頂棚通過點
P
(
1
,
2
,
0
)
P(1,2,0)
P
(
1
,
2
,
0
)
，且其法向量為
n
⃗
=
(
2
,
−
1
,
2
)
\vec n=(2,-1,2)
n
=
(
2
,
−
1
,
2
)
。一個感測器位在
S
(
4
,
1
,
5
)
S(4,1,5)
S
(
4
,
1
,
5
)
。若要估計感測器到頂棚平面的垂直距離，結果為何？
AMC 10
數字與位數問題・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
嘉義火車站附近一間便當店推出集點卡，卡號是五位數
4
a
35
b
4a35b
4
a
35
b
，其中
a
a
a
、
b
b
b
都是數字。店長規定卡號必須同時可被
4
4
4
、
9
9
9
、
11
11
11
整除。若符合規定的最大卡號為
N
N
N
，求
N
N
N
的正因數個數。
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀
開始練習 →
某班以
10
10
10
位學生的通勤距離
x
x
x
公里與到校遲到分鐘數
y
y
y
作散布圖，最小平方法得到迴歸直線
y
=
1.5
x
−
2
y=1.5x-2
y
=
1.5
x
−
2
。已知
x
x
x
的平均數為
6
6
6
，
y
y
y
的平均數為
7
7
7
。關於此迴歸直線，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某公園平面圖上，三座無線感測器的位置分別為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
3
)
B(8,3)
B
(
8
,
3
)
、
C
(
4
,
3
)
C(4,3)
C
(
4
,
3
)
。管理處要設置一個與三座感測器等距的訊號中繼站
O
O
O
。以邊
A
B
AB
A
B
與邊
A
C
AC
A
C
的中垂線聯立後，
O
O
O
的位置及其與三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的位置關係何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
設
x
,
y
>
1
x,y>1
x
,
y
>
1
，且
log
3
x
=
log
4
y
\log_{3}x=\log_{4}y
lo
g
3
x
=
lo
g
4
y
，則下列何者一定成立？
大學學科能力測驗（數學）
對數・等差數列與規律延伸
開始練習 →
臺南某燈會設置階梯狀燈牆，第
1
1
1
排有
14
14
14
盞燈籠，此後每一排都比前一排多
3
3
3
盞，共有
16
16
16
排。若燈籠總數為
N
N
N
，控制系統會產生數值為
5
N
5^N
5
N
的檢查碼。已知
log
2
=
0.3010
\log 2=0.3010
lo
g
2
=
0.3010
，則此檢查碼共有多少位數？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某便利商店用
6
6
6
天資料研究降雨機率
x
x
x
（百分點）與雨傘銷量
y
y
y
（把）的關係，資料中的
x
x
x
介於
20
20
20
到
80
80
80
，回歸線為
y
^
=
5
+
0.4
x
\hat y=5+0.4x
y
^
=
5
+
0.4
x
。某天降雨機率為
60
60
60
，實際賣出
34
34
34
把雨傘。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南某共享單車站以向東、向北為座標軸，單位為
100
100
100
公尺。從車站
S
S
S
到公園
P
P
P
的位移為
S
P
⃗
=
(
3
,
1
)
\vec{SP}=(3,1)
S
P
=
(
3
,
1
)
，從車站
S
S
S
到咖啡店
C
C
C
的位移為
S
C
⃗
=
(
1
,
4
)
\vec{SC}=(1,4)
S
C
=
(
1
,
4
)
。外送員要到取餐點
T
T
T
，其位移規則為
S
T
⃗
=
2
3
S
P
⃗
+
1
2
P
C
⃗
\vec{ST}=\frac{2}{3}\vec{SP}+\frac{1}{2}\vec{PC}
S
T
=
3
2
S
P
+
2
1
P
C
。請問
S
S
S
到
T
T
T
的直線距離為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
p
=
log
2
3
p=\log_2 3
p
=
lo
g
2
3
，則
log
6
12
+
log
12
6
\log_6 12+\log_{12}6
lo
g
6
12
+
lo
g
12
6
等於下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・整數四則與運算順序
開始練習 →
校慶園遊會的闖關攤位以公式
S
=
3
(
−
2
)
2
−
2
(
−
2
2
)
S=3(-2)^2-2(-2^2)
S
=
3
(
−
2
)
2
−
2
(
−
2
2
)
計算本輪得分，則
S
S
S
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台灣某遊樂園的摩天輪車廂離地高度可用正弦函數
h
(
t
)
=
c
sin
(
a
t
+
b
)
+
d
h(t)=c\sin(at+b)+d
h
(
t
)
=
c
sin
(
a
t
+
b
)
+
d
模擬，其中
t
t
t
為啟動後的分鐘數。車廂最高離地
34
34
34
公尺、最低離地
2
2
2
公尺，每轉一圈需
24
24
24
分鐘；啟動後第
3
3
3
分鐘，車廂恰通過平均高度且正在上升。下列何者符合此車廂的高度模型？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某條筆直自行車道以一座補給站為原點，巡檢人員所在位置的座標為
x
x
x
公里。若符合巡檢條件的位置須滿足
2
∣
x
+
1
∣
+
∣
x
−
5
∣
≤
∣
2
x
−
4
∣
+
6
2|x+1|+|x-5|\le |2x-4|+6
2∣
x
+
1∣
+
∣
x
−
5∣
≤
∣2
x
−
4∣
+
6
，則所有符合條件的位置座標所成的集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某自行車道的平面座標方程式為
L
:
2
x
−
y
+
1
=
0
L:2x-y+1=0
L
:
2
x
−
y
+
1
=
0
，休息站位於
P
(
a
,
3
)
P(a,3)
P
(
a
,
3
)
。已知
P
P
P
到
L
L
L
的垂足
Q
Q
Q
恰好位於
y
y
y
軸上，則
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・指數與根式
開始練習 →
某數學步道的互動裝置以函數
g
(
x
)
=
x
−
2
x
+
3
g(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}
g
(
x
)
=
x
+
3
x
−
2
顯示輸入值對應的高度。若裝置只接受使
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
為實數的輸入，則
x
x
x
的可輸入範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
對實數
x
x
x
，定義
F
(
x
)
=
log
x
−
1
1
+
log
x
−
1
(
x
−
1
)
F(x)=\log_{x-1}1+\log_{x-1}(x-1)
F
(
x
)
=
lo
g
x
−
1
1
+
lo
g
x
−
1
(
x
−
1
)
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
已知關於
x
x
x
的方程式
∣
x
−
1
∣
=
∣
2
x
+
m
∣
|x-1|=|2x+m|
∣
x
−
1∣
=
∣2
x
+
m
∣
恰有一個實數解，則實數
m
m
m
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
河濱自行車道以公里為座標單位，起點為
A
(
−
3
,
1
)
A(-3,1)
A
(
−
3
,
1
)
，整段直線車道的中點為
M
(
1
,
4
)
M(1,4)
M
(
1
,
4
)
，終點為
B
B
B
。下列哪一組依序為
B
B
B
的座標與整段車道的長度
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
校慶會場的地面以公尺為單位建立直角坐標系。一條筆直的動線通過點
(
2
,
−
2
)
(2,-2)
(
2
,
−
2
)
，且沿動線向右移動
2
2
2
公尺時會向上移動
3
3
3
公尺。若此動線所在直線寫成
y
=
m
x
+
b
y=mx+b
y
=
m
x
+
b
，則
b
b
b
為何？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・整數四則與運算順序
開始練習 →
某班園遊會攤位核對帳目時，某筆結餘（單位：元）記為
3
x
−
[
25
−
(
x
−
8
)
+
(
14
−
5
)
]
3x-\left[25-\left(x-8\right)+\left(14-5\right)\right]
3
x
−
[
25
−
(
x
−
8
)
+
(
14
−
5
)
]
。若這筆結餘為
86
86
86
元，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
等差數列與規律延伸・等比數列與無窮級數
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學校影印店推出閱讀集點活動。第
n
n
n
週每人可得基本點數
20
+
5
n
20+5n
20
+
5
n
點，另外有加碼點數；第
1
1
1
週加碼
80
80
80
點，之後每週加碼點數都是前一週的一半。小安連續參加
4
4
4
週，共得到多少點？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
捷運站內的旋轉式導引燈以角度
θ
\theta
θ
記錄朝向，其中
0
≤
θ
<
2
π
0\le \theta<2\pi
0
≤
θ
<
2
π
。維修人員測得校正方程式為
2
sin
θ
−
cos
θ
=
1
2\sin\theta-\cos\theta=1
2
sin
θ
−
cos
θ
=
1
，則所有符合校正條件的
θ
\theta
θ
為何？