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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
862
題
・第 20／29 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
高雄某校的平行四邊形活動場地，在平面座標上的四個頂點依序為
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
8
,
0
)
B(8,0)
B
(
8
,
0
)
、
C
(
10
,
6
)
C(10,6)
C
(
10
,
6
)
、
D
(
2
,
6
)
D(2,6)
D
(
2
,
6
)
。下列哪一條直線可確定將此場地分成面積相等的兩部分？
‹
1
…
19
20
21
…
29
›
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
某三角形公園的頂點為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中
M
M
M
是邊
B
C
BC
B
C
的中點。已知三角形的重心為
G
(
4
,
1
)
G(4,1)
G
(
4
,
1
)
，且
M
(
8
,
5
)
M(8,5)
M
(
8
,
5
)
，則頂點
A
A
A
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
花蓮一家租車店用
F
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
4
F(x)=x^3+ax^2+bx+4
F
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
4
估計週末租車量的校正值。已知
F
(
x
)
F(x)
F
(
x
)
除以
x
−
1
x-1
x
−
1
的餘式為
4
4
4
，除以
x
+
2
x+2
x
+
2
的餘式為
10
10
10
。則
F
(
3
)
F(3)
F
(
3
)
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平面上的比例
開始練習 →
某公車路線配置圖以百公尺為座標單位，起點位於
A
(
−
3
,
2
)
A(-3,2)
A
(
−
3
,
2
)
，轉乘站位於
P
(
5
,
8
)
P(5,8)
P
(
5
,
8
)
。已知終點
B
B
B
與
A
A
A
、
P
P
P
共線，
P
P
P
位於線段
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
A
P
:
P
B
=
2
:
1
AP:PB=2:1
A
P
:
P
B
=
2
:
1
，則終點
B
B
B
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
圓形觀景平台的邊界上有五個標記點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
、
E
E
E
。已知弦
A
B
=
10
AB=10
A
B
=
10
公尺、
∠
A
C
B
=
30
∘
\angle ACB=30^\circ
∠
A
C
B
=
3
0
∘
，且
A
E
AE
A
E
為直徑、
∠
A
E
D
=
45
∘
\angle AED=45^\circ
∠
A
E
D
=
4
5
∘
。求三角形
A
D
E
ADE
A
D
E
的周長。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
河濱公園地圖上，一條步道的方程式為
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
2
y
−
6
=
0
L_k:(k-1)x+2y-6=0
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
2
y
−
6
=
0
。另一條步道通過
C
(
1
,
1
)
C(1,1)
C
(
1
,
1
)
、
D
(
4
,
3
)
D(4,3)
D
(
4
,
3
)
，且與
L
k
L_k
L
k
垂直。地標
P
(
2
,
4
)
P(2,4)
P
(
2
,
4
)
到步道
L
k
L_k
L
k
的距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義早市攤位用
S
(
t
)
=
(
t
−
1
)
2
(
t
+
2
)
(
t
−
4
)
S(t)=(t-1)^2(t+2)(t-4)
S
(
t
)
=
(
t
−
1
)
2
(
t
+
2
)
(
t
−
4
)
表示開店後
t
t
t
小時的客流相對差值，正代表高於平常，負代表低於平常，只討論
0
<
t
<
5
0<t<5
0
<
t
<
5
。下列敘述哪一項正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
台南某文創市集的平面導覽圖以入口為原點，向東、向北分別為
x
x
x
、
y
y
y
正向。某攤位原座標為
P
(
4
,
1
)
P(4,1)
P
(
4
,
1
)
。工作人員先將整張導覽圖繞入口逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，再把東西方向的座標放大為
2
2
2
倍、南北方向不變。若以矩陣表示，旋轉矩陣為
R
=
(
0
−
1
1
0
)
R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
R
=
(
0
1
−
1
0
)
，伸縮矩陣為
S
=
(
2
0
0
1
)
S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
S
=
(
2
0
0
1
)
，則攤位的新座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
某高中園遊會用感測器統計第
n
n
n
小時新增的闖關紀錄數為
a
n
a_n
a
n
。已知
a
1
=
3
a_1=3
a
1
=
3
、
a
2
=
8
a_2=8
a
2
=
8
，且自第
3
3
3
小時起滿足
a
n
=
4
a
n
−
1
−
4
a
n
−
2
a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}
a
n
=
4
a
n
−
1
−
4
a
n
−
2
。若規則不變，第
6
6
6
小時新增的闖關紀錄數是多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・面積切割與補形
開始練習 →
一塊夜市攤位地貼在方格紙上設計，外框依序連接
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
6
,
0
)
B(6,0)
B
(
6
,
0
)
、
C
(
6
,
4
)
C(6,4)
C
(
6
,
4
)
、
D
(
3
,
6
)
D(3,6)
D
(
3
,
6
)
、
E
(
0
,
4
)
E(0,4)
E
(
0
,
4
)
後回到
A
A
A
。每一格代表
1
1
1
平方公尺，則此攤位面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
高雄港雷達以雷達站為原點，向東、向北分別為
x
x
x
軸、
y
y
y
軸正向。某船隻的極座標為
(
13
,
θ
)
(13,θ)
(
13
,
θ
)
，且其直角坐標的
x
=
−
5
x=-5
x
=
−
5
，船隻位於雷達站北方。下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・比例、速率與百分比
開始練習 →
某道路的兩條平行標線為
2
x
−
y
+
4
=
0
2x-y+4=0
2
x
−
y
+
4
=
0
與
2
x
−
y
−
20
=
0
2x-y-20=0
2
x
−
y
−
20
=
0
。現於兩線之間增設一條平行導引線，使導引線到第一條標線與第二條標線的距離比為
1
:
3
1:3
1
:
3
，則導引線的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
數學社在整理園遊會攤位的面積模型，得到多項式
P
(
x
)
=
16
x
2
−
24
x
+
9
P(x)=16x^2-24x+9
P
(
x
)
=
16
x
2
−
24
x
+
9
。同學提出下列五種寫法： 甲：
P
(
x
)
=
(
4
x
−
3
)
2
P(x)=(4x-3)^2
P
(
x
)
=
(
4
x
−
3
)
2
乙：
P
(
x
)
=
(
4
x
−
3
)
(
4
x
−
3
)
P(x)=(4x-3)(4x-3)
P
(
x
)
=
(
4
x
−
3
)
(
4
x
−
3
)
丙：
P
(
x
)
=
4
x
(
4
x
−
6
)
+
9
P(x)=4x(4x-6)+9
P
(
x
)
=
4
x
(
4
x
−
6
)
+
9
丁：
P
(
x
)
=
(
4
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
P(x)=(4x+3)(4x-3)
P
(
x
)
=
(
4
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
戊：
P
(
x
)
=
16
x
2
−
24
x
+
9
P(x)=16x^2-24x+9
P
(
x
)
=
16
x
2
−
24
x
+
9
其中符合因式分解定義的寫法有哪些？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小瑜整理新竹某咖啡車
15
15
15
天的氣溫
x
x
x
攝氏度與熱拿鐵銷量
y
y
y
杯，資料中
x
x
x
介於
16
16
16
到
28
28
28
。迴歸直線為
y
=
−
3.2
x
+
140
y=-3.2x+140
y
=
−
3.2
x
+
140
，相關係數
r
=
−
0.79
r=-0.79
r
=
−
0.79
。若某天氣溫為
22
22
22
攝氏度，依此模型預測熱拿鐵銷量約為多少杯？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
某校園平面配置圖以公尺為單位，正
x
x
x
軸與正
y
y
y
軸代表兩條互相垂直的步道。一條直線圍籬通過點
(
2
,
2
)
(2,2)
(
2
,
2
)
，並分別交正
x
x
x
軸、正
y
y
y
軸，使圍籬與兩座標軸圍成的三角形面積為
9
9
9
平方公尺。共有兩條符合條件的直線，則這兩條直線的斜率和為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
高雄一座小型噴水池的水柱高度可用
h
(
t
)
=
−
2
t
2
+
8
t
+
1
h(t)=-2t^2+8t+1
h
(
t
)
=
−
2
t
2
+
8
t
+
1
表示，其中
t
t
t
是噴出後的秒數，
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
是離地高度，單位為公尺。水柱最高時約離地多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
花蓮一條筆直道路以整數公里數作為置物櫃的設置座標。某服務中心位於座標
−
2
-2
−
2
，只啟用與服務中心距離嚴格小於
4
4
4
公里的置物櫃。符合條件的整數座標共有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・三角函數與和差角
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
sin
∣
x
∣
f(x)=\sin|x|
f
(
x
)
=
sin
∣
x
∣
、
g
(
x
)
=
∣
sin
x
∣
g(x)=|\sin x|
g
(
x
)
=
∣
sin
x
∣
。在
−
2
π
≤
x
≤
2
π
-2\pi\leq x\leq2\pi
−
2
π
≤
x
≤
2
π
的範圍內，不等式
f
(
x
)
<
g
(
x
)
f(x)<g(x)
f
(
x
)
<
g
(
x
)
的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
YouBike 調度系統以
x
x
x
表示某站的調度參數，且各對數的真數皆為正。若
2
log
2
(
3
x
−
4
)
−
2
log
2
(
x
+
1
)
=
10
2^{\log_2(3x-4)}-2^{\log_2(x+1)}=10
2
l
o
g
2
(
3
x
−
4
)
−
2
l
o
g
2
(
x
+
1
)
=
10
，則
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・數字與位數問題
開始練習 →
台灣某連鎖超商設計集點序列，連續
30
30
30
次集點中，每次都有
12
12
12
種不同圖樣可選，因此所有可能序列的總數為
12
30
12^{30}
1
2
30
。這個總數的十進位表示共有多少位數？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南文創市集有一個長方體伴手禮盒，長
8
8
8
cm、寬
6
6
6
cm、高
10
10
10
cm。一隻螞蟻從盒子的一個頂點
A
A
A
爬到空間對角的頂點
G
G
G
，只能沿盒子表面爬行。最短路徑長為多少 cm？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
高雄港邊的圓形裝置藝術可視為半徑
6
6
6
m 的圓，圓心為
O
O
O
。觀景點
P
P
P
到
O
O
O
的距離為
10
10
10
m。從
P
P
P
拉兩條剛好碰到圓的直線繩索，切點為
A
A
A
、
B
B
B
。若用
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
、
O
A
OA
O
A
、
O
B
OB
O
B
圍成四邊形，則其周長為多少 m？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某 YouBike 調度模型以
x
x
x
、
y
y
y
表示兩區的車輛數偏差，其中
−
2
≤
x
≤
3
-2\le x\le 3
−
2
≤
x
≤
3
、
−
1
≤
y
≤
4
-1\le y\le 4
−
1
≤
y
≤
4
。若調度失衡指標為
R
=
4
x
2
−
12
x
y
+
9
y
2
R=4x^2-12xy+9y^2
R
=
4
x
2
−
12
x
y
+
9
y
2
，則
R
R
R
的最大值為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某共享機車平台的甲優惠適用租用時數為
1
≤
x
<
4
1\le x<4
1
≤
x
<
4
，乙優惠適用租用時數為
6
<
x
≤
10
6<x\le10
6
<
x
≤
10
。一張兌換券限租用時數至少符合甲、乙任一優惠，且須滿足
3
≤
x
<
8
3\le x<8
3
≤
x
<
8
時才能使用。可使用兌換券的
x
x
x
範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
校慶園遊會的價目板面積以代數式
25
x
2
−
(
y
−
2
)
2
25x^2-(y-2)^2
25
x
2
−
(
y
−
2
)
2
表示。若將此面積改寫成兩個一次式的乘積，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列・等比數列與無窮級數
開始練習 →
某社團用手機記帳校正園遊會收入。第一次校正把總額調高
120
120
120
元，之後每一次校正的調整量都是前一次的
−
1
2
-\frac{1}{2}
−
2
1
倍。若持續校正下去，最後總額相當於一共調整多少元？
大學學科能力測驗（數學）
等比數列與無窮級數・指數與根式
開始練習 →
一間共享行動電源店觀察到，每天剩餘可租借電量約為前一天的
0.8
0.8
0.8
倍。某批電池第一天早上總電量為
50000
50000
50000
單位，第
n
n
n
天早上剩餘電量估計為
50000
⋅
0.8
n
−
1
50000\cdot 0.8^{n-1}
50000
⋅
0.
8
n
−
1
。若店家規定剩餘電量低於
25600
25600
25600
單位就要補電，最早第幾天早上需要補電？
大學學科能力測驗（數學）
等差數列與規律延伸・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
某展覽發出的入場券使用連續整數編號，第一張的編號是
k
k
k
，最後一張的編號是
246
246
246
，共發出
38
38
38
張。第一張入場券的編號是多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
宜蘭某校在校園地圖上設定 Wi-Fi 可接收範圍，其邊界近似為圓
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
。此圓的圓心與半徑為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
某市集平面配置圖以公尺為單位建立坐標系，其中一條攤位分界線的方程式為
3
x
−
2
y
=
12
3x-2y=12
3
x
−
2
y
=
12
。下列何者為此分界線的截距式？