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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
724
題
・第 20／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
已知關於
x
x
x
的方程式
∣
x
−
1
∣
=
∣
2
x
+
m
∣
|x-1|=|2x+m|
∣
x
−
1∣
=
∣2
x
+
m
∣
恰有一個實數解，則實數
m
m
m
的值為何？
‹
1
…
19
20
21
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
河濱自行車道以公里為座標單位，起點為
A
(
−
3
,
1
)
A(-3,1)
A
(
−
3
,
1
)
，整段直線車道的中點為
M
(
1
,
4
)
M(1,4)
M
(
1
,
4
)
，終點為
B
B
B
。下列哪一組依序為
B
B
B
的座標與整段車道的長度
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
校慶會場的地面以公尺為單位建立直角坐標系。一條筆直的動線通過點
(
2
,
−
2
)
(2,-2)
(
2
,
−
2
)
，且沿動線向右移動
2
2
2
公尺時會向上移動
3
3
3
公尺。若此動線所在直線寫成
y
=
m
x
+
b
y=mx+b
y
=
m
x
+
b
，則
b
b
b
為何？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・整數四則與運算順序
開始練習 →
某班園遊會攤位核對帳目時，某筆結餘（單位：元）記為
3
x
−
[
25
−
(
x
−
8
)
+
(
14
−
5
)
]
3x-\left[25-\left(x-8\right)+\left(14-5\right)\right]
3
x
−
[
25
−
(
x
−
8
)
+
(
14
−
5
)
]
。若這筆結餘為
86
86
86
元，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
等差數列與規律延伸・等比數列與無窮級數
開始練習 →
學校影印店推出閱讀集點活動。第
n
n
n
週每人可得基本點數
20
+
5
n
20+5n
20
+
5
n
點，另外有加碼點數；第
1
1
1
週加碼
80
80
80
點，之後每週加碼點數都是前一週的一半。小安連續參加
4
4
4
週，共得到多少點？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
捷運站內的旋轉式導引燈以角度
θ
\theta
θ
記錄朝向，其中
0
≤
θ
<
2
π
0\le \theta<2\pi
0
≤
θ
<
2
π
。維修人員測得校正方程式為
2
sin
θ
−
cos
θ
=
1
2\sin\theta-\cos\theta=1
2
sin
θ
−
cos
θ
=
1
，則所有符合校正條件的
θ
\theta
θ
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
校園園遊會的平面圖以司令台為原點。攤位
P
P
P
的原坐標為
(
2
,
1
)
(2,1)
(
2
,
1
)
。美術組套用兩個線性變換：先以原點為中心逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，再把
x
x
x
座標放大為
2
2
2
倍、
y
y
y
座標不變。
P
P
P
的新坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
嘉義一座燈會拱門的側面設計成拋物線。設計圖上以地面水平線為
x
x
x
軸，單位為公尺，拋物線上的每一點到燈泡焦點
F
(
2
,
3
)
F(2,3)
F
(
2
,
3
)
的距離，等於到準線
y
=
−
1
y=-1
y
=
−
1
的距離。若裝飾點
A
A
A
的水平座標為
6
6
6
，且
A
A
A
在此拋物線上，則
A
A
A
的高度座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
新北市某公園坡道的側面基準線可表示為
(
k
−
2
)
x
+
(
2
k
+
1
)
y
−
5
=
0
(k-2)x+(2k+1)y-5=0
(
k
−
2
)
x
+
(
2
k
+
1
)
y
−
5
=
0
。若此基準線的斜率為
2
2
2
，則
k
k
k
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
某市以座標平面規劃河濱自行車道，主車道位於直線
y
=
x
+
1
y=x+1
y
=
x
+
1
上。只有同時符合
2
x
+
y
≥
4
2x+y\ge 4
2
x
+
y
≥
4
與
x
−
2
y
≥
−
8
x-2y\ge -8
x
−
2
y
≥
−
8
的路段可設置夜間照明。該路段上各點的
x
x
x
座標範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
面積切割與補形
開始練習 →
某長方形公園的東西長為
15
15
15
公尺、南北寬為
10
10
10
公尺。園內有一條階梯狀步道，由四塊互不重疊的水平長方形鋪面首尾相接而成，每塊鋪面的南北寬皆為
2
2
2
公尺。這四塊鋪面在東西方向上的投影互不重疊且恰好首尾相接，投影總長為
13
13
13
公尺。此步道的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
函數極限與連續・三角函數與和差角
開始練習 →
校慶互動裝置以函數
f
(
x
)
=
cot
(
2
x
−
π
3
)
f(x)=\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)
f
(
x
)
=
cot
(
2
x
−
3
π
)
控制光條高度。為避免程式在不連續處畫出錯誤連線，下列何者正確描述
x
=
π
6
x=\frac{\pi}{6}
x
=
6
π
附近的圖形？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某座三角形公園以
A
B
C
ABC
A
B
C
表示，邊
a
a
a
、
b
b
b
分別為角
A
A
A
、
B
B
B
的對邊。測得
a
=
10
a=10
a
=
10
公尺、
b
=
10
2
b=10\sqrt{2}
b
=
10
2
公尺，且
A
=
30
∘
A=30^\circ
A
=
3
0
∘
。角
B
B
B
可能為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・幾何：角度與面積
開始練習 →
公園設置一座直角梯形柱形的混凝土座椅，其底面為梯形，兩平行邊長分別為
30
30
30
公分、
50
50
50
公分，兩平行邊間的距離為
20
20
20
公分。若座椅的體積為
96000
96000
96000
立方公分，則此梯形柱的柱高為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
已知實數
x
<
2
x<2
x
<
2
，且
(
x
−
2
)
6
=
64
(x-2)^6=64
(
x
−
2
)
6
=
64
，則
(
x
−
2
)
3
(x-2)^3
(
x
−
2
)
3
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
某地圖以公里為座標單位，兩個服務站的位置為
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
、
B
(
7
,
3
)
B(7,3)
B
(
7
,
3
)
。巡邏車
P
P
P
可在道路
ℓ
:
x
−
6
y
=
0
\ell:x-6y=0
ℓ
:
x
−
6
y
=
0
上任意移動。在所有可由
∣
P
A
−
P
B
∣
|PA-PB|
∣
P
A
−
P
B
∣
取得的整數中，最大者為何？
大學學科能力測驗（數學）
數字與位數問題・指數與根式
開始練習 →
某校雲端硬碟的資料總位元數可表示為
a
×
10
2
m
a\times10^{2m}
a
×
1
0
2
m
，其中
1
≤
a
<
10
1\le a<10
1
≤
a
<
10
，且
2
m
2m
2
m
為非負整數。已知這個資料總位元數是
37
37
37
位正整數，則
m
m
m
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
捷運站周邊平面圖上，一條直線自行車道通過點
(
−
2
,
−
3
)
(-2,-3)
(
−
2
,
−
3
)
，且與道路
3
x
+
2
y
=
8
3x+2y=8
3
x
+
2
y
=
8
平行。下列何者為此自行車道的直線方程式？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
河濱自行車道的平面座標圖上，某段筆直車道在
x
x
x
軸、
y
y
y
軸上的有向截距分別為
a
a
a
、
b
b
b
。已知
a
+
b
=
−
5
a+b=-5
a
+
b
=
−
5
，車道所在直線與兩座標軸所圍三角形的面積為
12
12
12
，且直線斜率大於
1
1
1
。下列何者為此車道所在直線的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
花蓮某民宿觀察海邊木棧道旁的潮位，發現潮位可用
H
(
t
)
=
0.8
sin
(
π
6
(
t
−
2
)
)
+
1.4
H(t)=0.8\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-2)\right)+1.4
H
(
t
)
=
0.8
sin
(
6
π
(
t
−
2
)
)
+
1.4
表示，其中
t
t
t
為凌晨
0
0
0
時後經過的小時數，
H
(
t
)
H(t)
H
(
t
)
單位為公尺。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・二次函數與拋物線
開始練習 →
花蓮某自行車租借站的廣告拱門可近似為拋物線。若以地面中央為原點，拱門高度
y
y
y
公尺與水平距離
x
x
x
公尺滿足
y
=
−
1
4
x
2
+
4
y=-\frac{1}{4}x^2+4
y
=
−
4
1
x
2
+
4
。工作人員要在高度至少
3
3
3
公尺的位置掛燈串，則可掛燈串的水平寬度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
台中一間飲料店試賣冬瓜茶，若每杯售價為
p
p
p
元，預估一天可賣出
320
−
4
p
320-4p
320
−
4
p
杯，其中
30
≤
p
≤
70
30 \le p \le 70
30
≤
p
≤
70
。每杯材料成本為
20
20
20
元。若只考慮材料成本，店家想讓一天利潤最大，則每杯應定價多少元？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某市區兩條筆直道路的中心線分別為
3
x
+
4
y
=
12
3x+4y=12
3
x
+
4
y
=
12
與
4
x
−
3
y
=
−
6
4x-3y=-6
4
x
−
3
y
=
−
6
。市府規劃一條直線型安全島中心線，使其上每一點到兩條道路中心線的距離相等，且該中心線的斜率為負。下列何者可能是安全島中心線的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
方程式
∣
x
−
2
∣
+
2
∣
x
+
1
∣
−
∣
x
−
4
∣
=
5
|x-2|+2|x+1|-|x-4|=5
∣
x
−
2∣
+
2∣
x
+
1∣
−
∣
x
−
4∣
=
5
的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某夜市攤位有兩種抽獎盒。店員隨機拿出甲盒的機率為
2
3
\frac{2}{3}
3
2
，拿出乙盒的機率為
1
3
\frac{1}{3}
3
1
。甲盒中中獎球占
1
5
\frac{1}{5}
5
1
，乙盒中中獎球占
2
5
\frac{2}{5}
5
2
。小安抽一次後中獎，求店員拿出的是乙盒的機率。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
某捷運站周邊導覽圖以坐標平面表示位置，一條筆直道路的邊界通過
P
(
−
2
,
7
)
P(-2,7)
P
(
−
2
,
7
)
與
Q
(
4
,
−
5
)
Q(4,-5)
Q
(
4
,
−
5
)
兩點。此邊界與
x
x
x
軸交點的
x
x
x
坐標為何？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）・三角函數與和差角
開始練習 →
阿哲整理數學講義時發現，
sin
θ
\sin\theta
sin
θ
、
cos
θ
\cos\theta
cos
θ
恰為方程式
5
x
2
−
6
x
+
k
=
0
5x^2-6x+k=0
5
x
2
−
6
x
+
k
=
0
的兩根。若
sin
θ
cos
θ
≠
0
\sin\theta\cos\theta\ne 0
sin
θ
cos
θ
=
0
，則
tan
θ
+
cot
θ
\tan\theta+\cot\theta
tan
θ
+
cot
θ
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
某校園平面圖以座標表示，筆直的自行車道位於直線
y
=
x
y=x
y
=
x
上。器材室
A
A
A
與活動中心
B
B
B
的座標分別為
(
1
,
5
)
(1,5)
(
1
,
5
)
與
(
6
,
9
)
(6,9)
(
6
,
9
)
。工作人員要在自行車道上選一點
P
P
P
設置維修站，使
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
最短。此最短距離為多少個單位？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
某自行車停放區的三角形標線頂點為
P
(
6
,
5
)
P(6,5)
P
(
6
,
5
)
、
Q
(
2
,
3
)
Q(2,3)
Q
(
2
,
3
)
、
R
(
1
,
5
)
R(1,5)
R
(
1
,
5
)
。若此三角形的垂心為
H
H
H
，外心為
O
O
O
，則
(
H
,
O
)
(H,O)
(
H
,
O
)
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・奇偶性與不變量
開始練習 →
某市以整數座標
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
標示行動電源站。若設站位置須同時滿足
2
∣
x
−
1
∣
+
∣
y
+
2
∣
≤
7
2|x-1|+|y+2|\le 7
2∣
x
−
1∣
+
∣
y
+
2∣
≤
7
，且
x
+
y
x+y
x
+
y
為偶數，則可設站的位置共有多少個？