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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
269
題
・第 6／9 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
直線
2
x
−
y
+
6
=
0
2x-y+6=0
2
x
−
y
+
6
=
0
的
x
x
x
截距為何？
大學學科能力測驗（數學）
‹
1
…
5
6
7
…
9
›
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
社團整理活動器材時，發現紅色緞帶的長度是藍色緞帶的
2
2
2
倍，綠色緞帶比藍色緞帶多
6
6
6
公尺。三種緞帶合計
82
82
82
公尺。請問藍色緞帶長多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某市區地圖以東向為
x
x
x
軸正向、北向為
y
y
y
軸正向，兩條道路的中心線分別為
L
1
:
3
x
−
y
+
4
=
0
L_1:\sqrt{3}x-y+4=0
L
1
:
3
x
−
y
+
4
=
0
與
L
2
:
y
=
−
2
L_2:y=-2
L
2
:
y
=
−
2
。兩道路相交所形成的銳夾角為何？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
計算
7
18
−
(
5
12
−
11
18
)
+
1
12
\frac{7}{18}-\left(\frac{5}{12}-\frac{11}{18}\right)+\frac{1}{12}
18
7
−
(
12
5
−
18
11
)
+
12
1
的值。
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・指數與根式
開始練習 →
臺中某高中園遊會的數學闖關卡設定正數
x
x
x
，已知
x
1
/
2
+
x
−
1
/
2
=
5
x^{1/2}+x^{-1/2}=5
x
1/2
+
x
−
1/2
=
5
，則
x
3
/
2
+
x
−
3
/
2
x^{3/2}+x^{-3/2}
x
3/2
+
x
−
3/2
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
便利商店推出兩種早餐組合。小安買
3
3
3
組飯糰組和
2
2
2
組三明治組，共花
255
255
255
元。若三明治組每組比飯糰組貴
15
15
15
元，則飯糰組每組多少元？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
一座圓形噴水池的圓心座標為
C
(
−
2
,
3
)
C(-2,3)
C
(
−
2
,
3
)
，半徑為
5
5
5
公尺。此噴水池邊界所在圓的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式
開始練習 →
已知實數
x
x
x
、
y
y
y
滿足
x
+
y
=
8
x+y=8
x
+
y
=
8
且
x
y
=
12
xy=12
x
y
=
12
，則
x
3
+
y
3
x^3+y^3
x
3
+
y
3
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・指數與根式
開始練習 →
已知
x
>
1
x>1
x
>
1
且
x
2
+
x
−
2
=
119
x^2+x^{-2}=119
x
2
+
x
−
2
=
119
，則
x
3
/
2
−
x
−
3
/
2
x^{3/2}-x^{-3/2}
x
3/2
−
x
−
3/2
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
臺南某公園的圓形花圃邊界在座標平面上的方程式為
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
+
k
=
0
x^2+y^2-6x+4y+k=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
+
k
=
0
。已知圓心為
O
(
3
,
−
2
)
O(3,-2)
O
(
3
,
−
2
)
，且邊界經過點
P
(
1
,
2
)
P(1,2)
P
(
1
,
2
)
，則
k
k
k
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次曲線標準式・坐標幾何
開始練習 →
校園平面圖以公尺為單位，圓形花圃邊界的一般式為
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
。以配方法改寫為標準式，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・三角函數與和差角
開始練習 →
關於
y
=
sin
x
y=\sin x
y
=
sin
x
、
y
=
cos
x
y=\cos x
y
=
cos
x
與
y
=
tan
x
y=\tan x
y
=
tan
x
的圖形性質，下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
校園平面圖以司令台為原點。市集擺攤區位於直線
x
+
2
y
=
6
x+2y=6
x
+
2
y
=
6
的某一側，包含司令台，也包含直線上的位置。若以一個一次不等式表示擺攤區，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
已知實數
a
,
b
a,b
a
,
b
滿足
(
a
−
1
)
(
a
−
1
−
b
)
=
0
(a-1)(a-1-b)=0
(
a
−
1
)
(
a
−
1
−
b
)
=
0
，且
a
≠
1
a\neq 1
a
=
1
，則下列何者必定成立？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
解方程式
∣
∣
x
−
5
∣
−
3
∣
=
2
\bigl||x-5|-3\bigr|=2
∣
x
−
5∣
−
3
=
2
，其解集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
基礎機率
開始練習 →
高雄某校園園遊會的摸彩箱中有
5
5
5
張電影票券、
2
2
2
張文具券與
3
3
3
張空白券。小組代表先抽
1
1
1
張，記錄後放回，再抽第
2
2
2
張。若兩次抽到的券種類相同就加分，則加分的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何
開始練習 →
一塊實心泡棉切成半圓柱形，底面半徑為
6
6
6
公分，軸向長為
20
20
20
公分。若所有外露表面都要貼上防水膜，接縫與損耗不計，取圓周率為
3.14
3.14
3.14
，至少需要多少平方公分的防水膜？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
已知關於
x
x
x
的多項式恆等式
x
2
+
14
x
+
a
≡
(
x
+
b
)
2
x^2+14x+a\equiv(x+b)^2
x
2
+
14
x
+
a
≡
(
x
+
b
)
2
對所有實數
x
x
x
成立，則
a
+
b
a+b
a
+
b
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
已知角度
θ
\theta
θ
滿足
sin
θ
=
1
2
\sin\theta=\frac{1}{2}
sin
θ
=
2
1
。在所有符合條件的角度中，哪一個最接近
1300
∘
1300^\circ
130
0
∘
？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
校園地圖以公尺為座標單位，飲水機位於
A
(
2
,
−
1
)
A(2,-1)
A
(
2
,
−
1
)
，休息亭位於
B
(
8
,
7
)
B(8,7)
B
(
8
,
7
)
。若
M
M
M
為線段
A
B
AB
A
B
的中點，則下列哪一組依序為
M
M
M
的座標與
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
的長度？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某地圖以座標平面表示位置，座標的每一單位代表
1
1
1
公里。里民活動中心位於
P
(
2
,
−
1
)
P(2,-1)
P
(
2
,
−
1
)
，河濱自行車道所在直線為
L
:
3
x
−
4
y
+
5
=
0
L:3x-4y+5=0
L
:
3
x
−
4
y
+
5
=
0
，則活動中心到自行車道的最短距離為多少公里？
大學學科能力測驗（數學）
整數解與不定方程
開始練習 →
若
a
a
a
與
b
b
b
均取正整數值，且
a
12
+
b
5
=
6
5
\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=\frac{6}{5}
12
a
+
5
b
=
5
6
，則有序數對
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
夜市在空地上規劃三角形表演區，三個角落在座標圖上分別為
A
=
(
0
,
1
)
A=(0,1)
A
=
(
0
,
1
)
、
B
=
(
5
,
2
)
B=(5,2)
B
=
(
5
,
2
)
、
C
=
(
2
,
6
)
C=(2,6)
C
=
(
2
,
6
)
。若座標單位為公尺，則此表演區面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
社區活動中心的三角形花圃三個頂點為
A
(
4
,
6
)
A(4,6)
A
(
4
,
6
)
、
B
(
7
,
5
)
B(7,5)
B
(
7
,
5
)
、
C
(
−
4
,
2
)
C(-4,2)
C
(
−
4
,
2
)
，座標單位為公尺。圓形灑水範圍恰通過三個頂點，設灑水器位置為
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q
(
x
,
y
)
，並以
Q
A
=
Q
B
QA=QB
Q
A
=
QB
、
Q
A
=
Q
C
QA=QC
Q
A
=
QC
建立方程式，則
Q
Q
Q
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
校慶時，攝影機鏡頭以正東方向為始邊，逆時針旋轉
950
∘
950^\circ
95
0
∘
。此有向角的最小正同界角及其終邊所在象限，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・指數與根式
開始練習 →
某桌遊的計分規則以函數
f
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
f(x)=\sqrt{(x+2)(x-3)}
f
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
表示，其中
x
x
x
為實數策略參數。下列哪一個依序為
f
f
f
的定義域和值域？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
自行車道的中心線通過地圖上的兩點
P
(
2
,
−
1
)
P(2,-1)
P
(
2
,
−
1
)
、
Q
(
−
1
,
5
)
Q(-1,5)
Q
(
−
1
,
5
)
。下列何者是以
P
P
P
為基準的正確點斜式？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・系統列舉與分類討論
開始練習 →
某社區以整數座標標示共享雨傘站的位置。若站點座標
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
滿足
∣
x
−
2
∣
+
2
∣
y
+
1
∣
≤
6
|x-2|+2|y+1|\le 6
∣
x
−
2∣
+
2∣
y
+
1∣
≤
6
，則符合條件的整數數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有多少組？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・圓的性質
開始練習 →
美術社製作圓錐形派對帽，帽口底圓半徑為
6
6
6
公分，帽頂到帽口圓周任一點沿帽面的長度為
10
10
10
公分。將派對帽沿一條母線剪開並攤平，所得側面扇形的圓心角為何？
大學學科能力測驗（數學）
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
園遊會攤位準備大型與小型材料包，分別以
x
x
x
、
y
y
y
表示數量，且
x
x
x
、
y
y
y
均為非負整數。若材料用量須符合
4
x
+
y
≤
13
4x+y\le 13
4
x
+
y
≤
13
，材料包總數須符合
x
+
y
≥
4
x+y\ge 4
x
+
y
≥
4
，則共有多少種不同的數量組合
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
？