SFFT 與韋達定理｜MathMagic Contest 魔數競賽

這課要練什麼

很多「求整數解」的題目，乍看是兩個未知數一條方程、似乎解不開。這課用 SFFT（Simon's Favorite Factoring Trick） 把它變簡單：補一個常數，把 xy + ax + by 配成 (x+b)(y+a)，再用因數配對把解全部列出來。

想先把觀念一次讀通，看這裡：SFFT 因式分解技巧（概念頁）。

標準步驟（配一題給你看）

整理成 $xy + ax + by = c$ 。
兩邊同加 $ab$ ，左邊配成 $(x+b)(y+a)$ ，右邊變 $c+ab$ 。
對 $c+ab$ 做因數分解，列出所有因數對。
回推每組 $(x, y)$ ，檢查題目的範圍限制。

示範：解正整數解 $xy + 5x + 2y = 18$ 。

這裡 $a=5$ 、 $b=2$ ，補 $ab = 10$ ：

$xy + 5x + 2y + 10 = 28 \;\Rightarrow\; (x+2)(y+5) = 28.$

因為 $x,y$ 是正整數，所以 $x+2 \ge 3$ 、 $y+5 \ge 6$ 。把 $28$ 拆因數對、套上這兩個下限，就能把符合的 $(x$ 找齊。

注意：別忘了負因數（若題目允許 $x,y$ 為負或 $0$ ），否則會漏解。

入門：先抓住「配常數 → 拆因數」的節奏

課內練習

台南某文具店舉辦集點活動。小芸買了

x

枝筆和

y

本筆記本，其中

x

、

y

都是正整數。店員告訴她，活動記錄滿足

xy+4x+3y=32

。請問

x+y

等於多少？

(A) $7$
(B) $8$
(C) $9$
(D) $11$
(E) $15$

進階：換個包裝，本質一樣

有時題目不直接給 $xy+ax+by$ ，而是藏在平方差、括號、或範圍限制裡 —— 先想辦法「湊成乘積」。

課內練習

台中某早餐店集點活動中，姐姐本月點數比弟弟多

8

點。若兩人的點數平方差為

160

，請問兩人本月點數總和是多少點？

(A) $20$
(B) $12$
(C) $40$
(D) $152$
(E) $168$

課內練習

台北捷運某站電子置物櫃在校正座標時，技師輸入兩個整數修正量

x

、

y

。為避免門號偏移過大，規定

-20 \le x \le 20

且

-15 \le y \le 15

。若系統測試式為

xy+5x-3y=91

，共有幾組有序整數對

(x,y)

可通過測試？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $6$
(E) $12$

課內練習

台中里民中心辦抽獎，工作人員把中獎號碼設為整數

n

，且規則是

n(n-7)=4(n-7)

。所有可能中獎號碼的和是多少？

(A) $4$
(B) $7$
(C) $28$
(D) $-11$
(E) $11$

挑戰：和韋達／多項式因式分解接軌

「把加減式變乘積、再讀因數/根」這套工具，也用在多項式因式分解與求根（韋達）。

課內練習

台中某共享腳踏車站用多項式

P(x)=x^4-2x^3-4x^2+10x-5

估計尖峰時段車位差，

P(x)=0

代表供需平衡。站長只看整數測試點時發現

P(1)=0

，下列關於平衡點與正負的敘述何者正確？

(A) $P(0)$ 與 $P(2)$ 同號，所以 $0<x<2$ 之間沒有實根。
(B) $x=1$ 是實根，且 $P(x)$ 在 $x=1$ 左右不變號；另有一個正實根介於 $2$ 與 $3$ 之間。
(C) $P(1)=0$ 且 $P(2)<0$ ，所以 $x=1$ 必為一次因式且圖形穿過 $x$ 軸。
(D) $P(x)=0$ 的兩個正實根都介於 $0$ 與 $2$ 之間。
(E) $P(x)>0$ 對所有 $0<x<1$ 皆成立。

課內練習

台中一間早餐店把每週兩項庫存調整量記為整數

x,y

，其中調整量可為負數或

0

。為了讓自動補貨表通過檢查，必須同時滿足

-35\le x\le 60

、

-20\le y\le 80

，且

\frac{1}{x+4}+\frac{1}{y-3}=\frac{1}{18}

，其中分母需有意義。共有幾組有序整數對

(x,y)

可以通過檢查？

(A) $6$
(B) $11$
(C) $15$
(D) $10$
(E) $30$

常見錯誤（在這裡掉分最可惜）

係數對應搞反： $(x+b)(y+a)$ 裡，補在 $x$ 上的是 $y$ 的係數 $b$ 、補在 $y$ 上的是的係數（交叉的）。

學完這課，回到題庫做更多同類型練習，把 SFFT 練成反射動作。

,

y

)

(x,y)

x

x