SFFT 因式分解技巧（Simon's Favorite Factoring Trick）

這招在解什麼題

競賽裡常出現這種題：兩個正整數未知數、只有一條方程，例如

$xy + 5x + 2y = 18$

一條方程兩個未知數，看起來「少一條式子、解不開」。但只要它長成「$xy$ 項 + $x$ 的倍數 + $y$ 的倍數」的樣子，就能用 SFFT（Simon's Favorite Factoring Trick） 把它「因式分解成兩個括號的乘積」，再用因數配對把所有整數解列出來。

核心一句話：補一個常數，把 $xy + ax + by$ 配成 $(x+b)(y+a)$。

為什麼補常數就能配成乘積

把目標的乘積展開看看：

$(x+b)(y+a) = xy + ax + by + ab$

比對你手上的 $xy + ax + by$，就差一個 $ab$。所以兩邊同加 $ab$，左邊剛好補成完整的乘積：

$xy + ax + by + ab = (x+b)(y+a)$

這就是 SFFT 的全部祕密 —— 不是背公式，是「湊出乘積展開後缺的那一項」。

標準四步驟

1. 整理成 $xy + ax + by = c$ 的形式（$x$ 的係數是 $a$、$y$ 的係數是 $b$）。
2. 兩邊同加 $ab$，左邊配成 $(x+b)(y+a)$，右邊變成 $c+ab$。
3. 對右邊 $c+ab$ 做因數分解，列出所有因數對 $(d_1, d_2)$，令 $x+b=d_1$、$y+a=d_2$。
4. 回推每組 $(x, y)$，並檢查題目的範圍限制（正整數？非負？某區間？）再取捨。

以 $xy + 5x + 2y = 18$ 為例：$a=5$、$b=2$，補 $ab=10$：

$(x+2)(y+5) = 28$

把 $28$ 拆成因數對，配上 $x+2\ge 3$、$y+5\ge 6$（因為 $x,y$ 是正整數）的限制，就能把符合的 $(x,y)$ 全部找齊。

定義域決定你留哪些因數對：上面的下界 $x+2\ge 3$、$y+5\ge 6$ 是「正整數」才成立。若題目改成非負整數（$x,y\ge 0$）下界會變成 $x+2\ge 2$、$y+5\ge 5$；若是任意整數，還得考慮負因數對。動手拆因數前，先看清楚題目要的是哪種整數。

和韋達定理的關係

SFFT 是「把和/積湊回乘積」；韋達定理則是「已知乘積的根，反讀和與積」。兩者都在處理同一件事的兩面：

• 首項係數為 $1$ 的一元二次 $t^2 - (\alpha+\beta)t + \alpha\beta = 0$，兩根 $\alpha,\beta$ 滿足和 $=\alpha+\beta$、積 $=\alpha\beta$。（一般式 $At^2+Bt+C=0$ 則是和 $=-B/A$、積 $=C/A$，別忘了除以首項係數。）
• 高次多項式做因式分解（如 $x^4-6x^3+13x^2-12x+4$）時，也是在找「哪些乘積湊得出這些係數」。

所以「求整數解」與「多項式因式分解 / 求根」在競賽裡常是同一組工具的不同外衣 —— 把加減的式子想辦法變成乘積，再讀因數/根。

常見陷阱（很多人在這裡掉分）

• 漏掉負因數：$c+ab$ 的因數對包含負負得正的組合。若題目允許 $x,y$ 為負或 $0$（或 $c+ab<0$、$=0$），漏掉負因數／零就會漏解。
• 忘記回代 + 檢查：因數配對給的是 $x+b$、$y+a$ 的值，要減回去得 $x=d_1-b$、$y=d_2-a$，再逐組回頭檢查是否真的滿足題目條件（正整數就要驗 $x>0,y>0$），不是每個因數對都算數。
• $ab$ 的正負：補的常數是 $ab$，帶正負號 —— 若 $a$ 或 $b$ 為負，$ab$ 可能是負數，不是永遠「加一個正數」。
• 係數對應搞反：$(x+b)(y+a)$ 裡，補在 $x$ 上的是 $y$ 的係數 $b$、補在 $y$ 上的是 $x$ 的係數 $a$（交叉的），寫反會全錯。
• 右邊忘記加 $ab$：只配左邊、右邊沒同步加 $ab$，等式就不成立了。

學完動手

觀念看懂只是第一步，SFFT 要靠「多配幾題」才會變成反射動作。到練習題庫做本知識點的原創分層練習，每題附完整繁中詳解。