MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 10／53 頁
清除全部篩選
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某機車停車棚的三角形支架，其三邊長分別為
x
+
1
x+1
x
+
1
公分、
x
+
7
x+7
x
+
7
公分與
2
x
2x
2
x
公分，其中
x
>
7
x>7
x
>
7
。若要僅根據邊長判定此支架為直角三角形，則
x
x
x
應為何值？
‹
1
…
9
10
11
…
53
›
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
一位同學用平板繪圖設計校慶海報，拋物線圖案的高度可用
y
=
a
(
x
−
3
)
2
+
5
y=a(x-3)^2+5
y
=
a
(
x
−
3
)
2
+
5
表示。已知圖案通過點
(
1
,
1
)
(1,1)
(
1
,
1
)
。若另一條水平裝飾線為
y
=
2
y=2
y
=
2
，則此裝飾線與拋物線有幾個交點？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平面向量
開始練習 →
某高架道路的兩條車道中心線互相平行。在工程座標中，第一條中心線為
L
1
:
(
x
,
y
)
=
(
1
,
−
2
)
+
t
(
2
,
3
)
L_1:(x,y)=(1,-2)+t(2,3)
L
1
:
(
x
,
y
)
=
(
1
,
−
2
)
+
t
(
2
,
3
)
，其中
t
∈
R
t\in\mathbb{R}
t
∈
R
；第二條中心線為
L
2
:
6
x
−
4
y
+
k
=
0
L_2:6x-4y+k=0
L
2
:
6
x
−
4
y
+
k
=
0
。已知兩中心線的距離為
3
13
2
\frac{3\sqrt{13}}{2}
2
3
13
公尺，且
L
2
L_2
L
2
與
y
y
y
軸交於正半軸，則
k
k
k
為何？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
某自行車隊記錄五段練習路線的長度，依序為
43
12
\frac{43}{12}
12
43
、
25
7
\frac{25}{7}
7
25
、
23
8
\frac{23}{8}
8
23
、
14
5
\frac{14}{5}
5
14
、
11
4
\frac{11}{4}
4
11
公里。若路線長度兩兩不同，第二長的路線長度是多少公里？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，校園內一座四邊形休憩區
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的四邊均與同一座圓形花圃相切，切點依序為
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
。已知
A
B
=
2
x
+
3
AB=2x+3
A
B
=
2
x
+
3
公尺、
B
C
=
x
+
8
BC=x+8
B
C
=
x
+
8
公尺、
C
D
=
x
+
5
CD=x+5
C
D
=
x
+
5
公尺、
A
D
=
14
AD=14
A
D
=
14
公尺，則休憩區的周長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
方程式
2
x
2
−
7
∣
x
∣
+
3
=
0
2x^2-7|x|+3=0
2
x
2
−
7∣
x
∣
+
3
=
0
的所有實數解為何？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・幾何：角度與面積
開始練習 →
一家文具店製作正方形紙卡，邊長為
(
4
a
2
−
3
b
3
)
(4a^2-3b^3)
(
4
a
2
−
3
b
3
)
公分，且
4
a
2
>
3
b
3
>
0
4a^2>3b^3>0
4
a
2
>
3
b
3
>
0
。其面積展開後為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・因數個數與因數和
開始練習 →
糕餅店將
156
156
156
個鳳梨酥與
204
204
204
個蛋黃酥分裝成至少
2
2
2
盒內容相同的禮盒，兩種糕餅都要全部用完。所有可能的禮盒盒數之和為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
a
x
y=a^x
y
=
a
x
的圖形，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\neq 1
a
=
1
，圖形通過點
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
。若實數
p
,
q
p,q
p
,
q
滿足
0
<
p
<
q
0<p<q
0
<
p
<
q
，則下列哪一個敘述必定成立？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
8
1
log
3
2
8^{\frac{1}{\log_3 2}}
8
l
o
g
3
2
1
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某校園三角形花圃的三個頂點座標分別為
A
(
4
,
5
)
A(4,5)
A
(
4
,
5
)
、
B
(
7
,
−
1
)
B(7,-1)
B
(
7
,
−
1
)
、
C
(
3
,
3
)
C(3,3)
C
(
3
,
3
)
。若此三角形的垂心為
H
(
p
,
q
)
H(p,q)
H
(
p
,
q
)
，則
2
p
−
3
q
2p-3q
2
p
−
3
q
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
關於實數方程式
∣
2
x
+
1
∣
=
a
−
4
|2x+1|=a-4
∣2
x
+
1∣
=
a
−
4
的解，下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
小美在河濱自行車道上沿著方向
u
⃗
=
(
3
,
−
4
)
\vec u=(3,-4)
u
=
(
3
,
−
4
)
騎車，此時風力向量為
F
⃗
=
(
2
,
9
)
\vec F=(2,9)
F
=
(
2
,
9
)
，如圖。將風力分解為
F
⃗
=
x
u
⃗
+
a
⃗
\vec F=x\vec u+\vec a
F
=
x
u
+
a
，其中
x
x
x
為實數，
a
⃗
⊥
u
⃗
\vec a\perp\vec u
a
⊥
u
（
x
u
⃗
x\vec u
x
u
為沿車道方向的分量，
a
⃗
\vec a
a
為垂直車道方向的分量）。則
x
x
x
與
∣
a
⃗
∣
|\vec a|
∣
a
∣
分別為何？
國中教育會考
分數與小數運算・比例、速率與百分比
開始練習 →
早餐店一桶豆漿原有
2
1
6
2\frac{1}{6}
2
6
1
公升，已賣出
2
3
\frac{2}{3}
3
2
公升。若每杯可裝的容量為
1
1
1
公升的
12.5
%
12.5\%
12.5%
再加上
1
8
\frac{1}{8}
8
1
公升，剩下的豆漿相當於幾杯的容量？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
小華在數學課用繪圖軟體作圖：如圖，將
y
=
log
x
y=\log x
y
=
lo
g
x
的圖形向右平移
1
1
1
單位，再沿鉛直方向伸縮為原來的
k
k
k
倍（橫坐標不變），恰好得到
y
=
log
5
(
x
−
1
)
y=\log_5(x-1)
y
=
lo
g
5
(
x
−
1
)
的圖形。若以
log
2
\log 2
lo
g
2
表示
k
k
k
，下列何者正確？
國中教育會考
角度追蹤・圓的性質
開始練習 →
如圖，
O
O
O
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的外心，且位於三角形外部。已知
∠
B
O
C
=
132
∘
\angle BOC=132^\circ
∠
B
O
C
=
13
2
∘
，其中
∠
B
O
C
\angle BOC
∠
B
O
C
指小於
180
∘
180^\circ
18
0
∘
的角，圖示為符合條件的其中一種配置。考慮所有符合上述條件的三角形，
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的所有可能值為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・分數與小數運算
開始練習 →
將方程式
2
x
−
1
3
=
1
+
x
+
2
5
\frac{2x-1}{3}=1+\frac{x+2}{5}
3
2
x
−
1
=
1
+
5
x
+
2
的右邊合併成一個分式，再將兩邊通分並比較分子，應得到下列哪一個等式？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，市集設置兩個圓形無線網路涵蓋區，其邊界圓的圓心分別為
P
P
P
、
Q
Q
Q
，半徑分別為
x
x
x
公尺與
5
5
5
公尺，其中
x
≥
5
x\ge 5
x
≥
5
，且圓心距
P
Q
=
9
PQ=9
P
Q
=
9
公尺。若兩個邊界圓恰有兩個公共點，則
x
x
x
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
某高中科學探究課分析一份病毒培養紀錄。以開始觀測的時刻為第
0
0
0
天，原先每天新增的病毒數量皆為當天開始時病毒數量的
a
a
a
倍，並以相同的指數模型推算非整數天的數量。第
1
1
1
天測得病毒數量為
2000
2000
2000
，第
5
2
\frac{5}{2}
2
5
天測得
16000
16000
16000
，隨即加入抑制劑。抑制劑不會立即減少病毒數量，但使之後每天新增的病毒數量改為當天開始時病毒數量的
a
2
\frac{a}{2}
2
a
倍，且此比例維持不變。依此模型，第
9
2
\frac{9}{2}
2
9
天的病毒數量為何？
國小數學
速率與工作問題・比例、速率與百分比
開始練習 →
小宇沿著河濱步道快走，前
8
8
8
分鐘以固定速率走了
600
600
600
公尺。接著，他將分速增加
15
15
15
公尺，並保持新的速率繼續走。從加速後開始計時，再走
900
900
900
公尺需要幾分鐘？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某校園的無線網路訊號邊界是一個圓，恰通過三個監測點
A
(
3
,
7
)
A(3,7)
A
(
3
,
7
)
、
B
(
6
,
6
)
B(6,6)
B
(
6
,
6
)
、
C
(
−
5
,
3
)
C(-5,3)
C
(
−
5
,
3
)
，座標單位為公尺。設訊號圓心為
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q
(
x
,
y
)
，以
Q
A
=
Q
B
QA=QB
Q
A
=
QB
、
Q
A
=
Q
C
QA=QC
Q
A
=
QC
求得圓心後，訊號邊界與道路
y
=
0
y=0
y
=
0
有兩個交點。較東側交點的
x
x
x
座標為何？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・平面上的比例
開始練習 →
如圖，校園中有一塊正方形花圃
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別為
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
、
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
、
D
A
‾
\overline{DA}
D
A
的中點，
M
M
M
為
E
F
‾
\overline{EF}
E
F
的中點。若
M
G
‾
=
10
\overline{MG}=\sqrt{10}
M
G
=
10
公尺，則
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
的長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
已知
sin
α
=
8
17
\sin\alpha=\frac8{17}
sin
α
=
17
8
、
cos
α
=
15
17
\cos\alpha=\frac{15}{17}
cos
α
=
17
15
，且
sin
(
α
−
β
)
=
5
13
\sin(\alpha-\beta)=\frac5{13}
sin
(
α
−
β
)
=
13
5
、
cos
(
α
−
β
)
=
12
13
\cos(\alpha-\beta)=\frac{12}{13}
cos
(
α
−
β
)
=
13
12
，則
sin
(
2
α
−
β
)
\sin(2\alpha-\beta)
sin
(
2
α
−
β
)
的值為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
設
S
S
S
為
9
9
9
個
(
3
8
+
3
7
)
(3^8+3^7)
(
3
8
+
3
7
)
相加所得的和，則
S
4
\dfrac{S}{4}
4
S
等於下列何者？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
已知正整數
M
=
2
3
×
3
2
×
5
M=2^3\times3^2\times5
M
=
2
3
×
3
2
×
5
。正整數
N
N
N
與
M
M
M
的最大公因數為
2
×
3
2
×
5
2\times3^2\times5
2
×
3
2
×
5
，最小公倍數為
2
3
×
3
4
×
5
2
2^3\times3^4\times5^2
2
3
×
3
4
×
5
2
。則
N
N
N
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・幾何：角度與面積
開始練習 →
某自行車道規劃區的三個定位點為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
、
S
(
5
,
t
)
S(5,t)
S
(
5
,
t
)
，座標單位為公尺，且
t
>
3
t>3
t
>
3
。已知三角形
A
B
S
ABS
A
B
S
的面積為
15
15
15
平方公尺。以
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
為底，先由
A
A
A
、
B
B
B
兩點反推底邊直線的一般式，再以點線距離表示高。下列依序列出「底邊直線、高、
t
t
t
值」，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
若關於
x
x
x
的方程式
∣
(
a
−
1
)
x
+
2
∣
=
∣
2
x
−
a
∣
|(a-1)x+2|=|2x-a|
∣
(
a
−
1
)
x
+
2∣
=
∣2
x
−
a
∣
恰有一個實數解，則實數
a
a
a
的可能值為何？
國中教育會考
相似形與比例線段
開始練習 →
如圖，梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
B
∥
C
D
AB\parallel CD
A
B
∥
C
D
，且
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
、
C
D
=
10
CD=10
C
D
=
10
。對角線
A
C
AC
A
C
、
B
D
BD
B
D
相交於
O
O
O
。過
O
O
O
作平行於
A
B
AB
A
B
的直線，交邊
A
D
AD
A
D
於
E
E
E
，則
E
O
EO
E
O
的長度為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
已知方程式
a
x
2
−
2
x
+
c
=
0
ax^2-2x+c=0
a
x
2
−
2
x
+
c
=
0
的兩根為
3
4
\frac{3}{4}
4
3
、
−
5
6
-\frac{5}{6}
−
6
5
。由這兩根建立的方程式為
x
2
+
1
12
x
−
5
8
=
0
x^2+\frac{1}{12}x-\frac{5}{8}=0
x
2
+
12
1
x
−
8
5
=
0
，它與
a
x
2
−
2
x
+
c
=
0
ax^2-2x+c=0
a
x
2
−
2
x
+
c
=
0
有相同的兩根。則
(
a
,
c
)
(a,c)
(
a
,
c
)
為何？
國中教育會考
二次函數與拋物線
開始練習 →
設
m
m
m
為實數。關於方程式
x
2
−
6
x
+
m
+
2
=
0
x^2-6x+m+2=0
x
2
−
6
x
+
m
+
2
=
0
的根，下列分類何者正確？