MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
681
題
・第 11／23 頁
清除全部篩選
國中教育會考
不等式與絕對值・指數與根式
開始練習 →
合歡山某日清晨的氣溫為
x
x
x
攝氏度，已知
x
<
3
x<3
x
<
3
，且滿足
(
x
−
3
)
2
−
2
x
=
1
\sqrt{(x-3)^2}-2x=1
(
x
−
3
)
2
−
2
x
=
1
，則
x
x
x
為何？
‹
1
…
10
11
12
…
23
›
國中教育會考
圓冪定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
夜市遊戲攤有一個圓形轉盤，圓心為
O
O
O
，半徑為
5
5
5
公分。攤主從轉盤外一點
P
P
P
拉出兩條剛好碰到圓的直線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。若
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公分，則兩條切線段長度和
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少公分？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
學生會設計園遊會抽獎活動的兩個循環編號，其中一個循環長度為
84
84
84
，另一個循環長度必須是合數，且與
84
84
84
互質。下列哪一個數可以作為另一個循環長度？
國中教育會考
坐標幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，捷運站周邊地圖以座標表示位置。共享單車站點
P
(
k
+
1
,
2
k
−
3
)
P(k+1,2k-3)
P
(
k
+
1
,
2
k
−
3
)
位於直線
5
x
+
2
y
=
7
5x+2y=7
5
x
+
2
y
=
7
上，則
k
k
k
的值為何？
國中教育會考
二次函數與拋物線・不等式與絕對值
開始練習 →
設
k
k
k
為實數。若關於
x
x
x
的兩個方程式
x
2
−
4
x
+
k
+
1
=
0
x^2-4x+k+1=0
x
2
−
4
x
+
k
+
1
=
0
與
x
2
+
2
x
+
3
−
k
=
0
x^2+2x+3-k=0
x
2
+
2
x
+
3
−
k
=
0
均有實數解，則所有符合條件的
k
k
k
所成的範圍為何？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・面積切割與補形
開始練習 →
如圖，社區花圃為梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其中
A
B
∥
C
D
AB\parallel CD
A
B
∥
C
D
，
A
B
=
9
AB=9
A
B
=
9
公尺，
C
D
=
30
CD=30
C
D
=
30
公尺，
A
D
=
10
AD=10
A
D
=
10
公尺，
B
C
=
17
BC=17
B
C
=
17
公尺。此花圃的面積為多少平方公尺？
國中教育會考
加法與乘法原理・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
某電商的優惠序號有四個欄位，前兩個欄位各有
2400
2400
2400
種代碼，後兩個欄位各有
24000
24000
24000
種代碼，各欄位獨立選取。利用短除法分解
331776
331776
331776
並拆成已知次方，所有不同優惠序號共有多少種？以科學記號表示。
國中教育會考
圓冪定理・相似形與比例線段
開始練習 →
校慶看板的幾何圖案如圖，
△
D
C
E
\triangle DCE
△
D
C
E
中，
∠
D
C
E
=
90
∘
\angle DCE=90^\circ
∠
D
C
E
=
9
0
∘
。以
C
D
CD
C
D
為直徑的半圓與線段
D
E
DE
D
E
交於
D
D
D
、
F
F
F
兩點，其中
F
F
F
位於
D
D
D
、
E
E
E
之間。若
C
E
=
6
CE=6
C
E
=
6
、
E
F
=
4
EF=4
E
F
=
4
，則
D
F
DF
D
F
的長度為何？
國中教育會考
速率與工作問題
開始練習 →
物流中心要將急用器材送往沿海活動會場。甲路線先行駛
12
12
12
公里的市區道路，平均速率為
40
40
40
公里／小時，再行駛
30
30
30
公里的快速道路，平均速率為
100
100
100
公里／小時；乙路線則沿海岸道路直接行駛
27
27
27
公里，且全程維持平均速率
v
v
v
公里／小時。若
v
>
0
v>0
v
>
0
，且不計停等與道路銜接所需時間，乙路線要比甲路線更早抵達，則
v
v
v
必須符合哪一個條件？
國中教育會考
幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，廟會攤位製作三角形裝飾牌
P
Q
R
PQR
P
QR
，其形狀與尺寸滿足
△
P
Q
R
≅
△
A
F
C
\triangle PQR\cong\triangle AFC
△
P
QR
≅
△
A
F
C
，頂點依序對應。參考圖中的
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
為周長
32
32
32
公分的正方形，點
F
F
F
在直線
A
D
AD
A
D
上，且
A
A
A
位於
D
D
D
、
F
F
F
之間。若
D
F
=
13
DF=13
D
F
=
13
公分，裝飾牌
P
Q
R
PQR
P
QR
的面積為多少平方公分？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，一面圓形窗框的直徑為
20
20
20
公分，裝飾桿
A
B
AB
A
B
是一條長
16
16
16
公分的弦。圓心
O
O
O
到
A
B
AB
A
B
的垂足為
M
M
M
，射線
O
M
OM
O
M
與圓周交於
C
C
C
。裝飾桿到同側圓周的最短距離
M
C
MC
M
C
為多少公分？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，圓形廣場的圓心為
A
A
A
，半徑
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
公尺。由廣場外的
P
P
P
點鋪設一條直線步道，步道與圓相切於
B
B
B
點。若
∠
A
P
B
=
30
∘
\angle APB=30^\circ
∠
A
P
B
=
3
0
∘
，則
△
A
P
B
\triangle APB
△
A
P
B
的面積為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
小芸整理複習筆記時，令
S
S
S
表示方程式
x
2
=
72
x^2=72
x
2
=
72
的所有實數解所成的集合，並令
t
=
72
t=\sqrt{72}
t
=
72
。將根式化為最簡根式後，下列哪一個有序對
(
S
,
t
)
(S,t)
(
S
,
t
)
正確？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
設
a
>
1
a>1
a
>
1
，則
(
2
a
3
)
2
(
a
2
3
)
2
×
(
a
+
1
)
0
\dfrac{(2a^3)^2}{\left(\dfrac{a^2}{3}\right)^2}\times(a+1)^0
(
3
a
2
)
2
(
2
a
3
)
2
×
(
a
+
1
)
0
可化簡為下列何者？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
校慶數學闖關活動中，某關的得分值定義為
2026
4
−
2024
4
2026
2
+
2024
2
\dfrac{2026^4-2024^4}{2026^2+2024^2}
202
6
2
+
202
4
2
202
6
4
−
202
4
4
。此得分值為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
某高中資訊社將容量為
2
18
2^{18}
2
18
KB 的校慶影像備份平均分給
2
5
2^5
2
5
位社員，每位社員分得的檔案再壓縮為原容量的
1
2
3
\frac{1}{2^3}
2
3
1
。每位社員壓縮後的檔案容量為多少 KB？
國中教育會考
等差數列與規律延伸
開始練習 →
捷運站旁的共享傘架，每天傍晚補傘數量成等差數列。第
1
1
1
天補
12
12
12
支，第
2
2
2
天補
15
15
15
支，第
3
3
3
天補
18
18
18
支，依此規律。從第
1
1
1
天到第
10
10
10
天，共補了幾支傘？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
如圖，校園圓形花圃的圓周上有
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
三個標記，
O
O
O
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的外心。直線
A
T
AT
A
T
在
A
A
A
點與花圃邊界相切，且
T
T
T
與
B
B
B
位於直線
A
O
AO
A
O
的同側。已知
∠
A
O
B
=
128
∘
\angle AOB=128^\circ
∠
A
O
B
=
12
8
∘
、
∠
B
A
C
=
36
∘
\angle BAC=36^\circ
∠
B
A
C
=
3
6
∘
，且
C
C
C
不在小弧
A
B
AB
A
B
上。不含
A
A
A
的弧
B
C
BC
B
C
度數、經過
B
B
B
的弧
A
C
AC
A
C
度數及
∠
T
A
C
\angle TAC
∠
T
A
C
的度數依序為何？
國中教育會考
多項式與因式餘式定理・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某份課後練習收錄校慶園遊會、文具採買等應用題。每題整理後都是整係數一元二次方程式，而且命題時都已選定一個符合情境的有理數解。這些方程式都能用有理數係數的十字交乘法分解，主要原因為何？
國中教育會考
圓的性質・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某圓形無線網路服務區的圓心為
O
O
O
，半徑為
r
=
x
+
4
r=x+4
r
=
x
+
4
公尺，其中
x
≥
1
x\geq 1
x
≥
1
。接收點
P
P
P
到圓心的距離為
O
P
=
2
x
−
1
OP=2x-1
O
P
=
2
x
−
1
公尺。若點
P
P
P
位於此圓的內部，則
x
x
x
的範圍為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
a
a
a
為實數。關於
x
x
x
的方程式
(
a
2
+
a
)
x
=
6
x
+
(
a
−
2
)
(
2
a
−
1
)
(a^2+a)x=6x+(a-2)(2a-1)
(
a
2
+
a
)
x
=
6
x
+
(
a
−
2
)
(
2
a
−
1
)
恰有一個實數解的條件為何？
國中教育會考
面積切割與補形・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
如圖，班級製作布告欄裝飾，將一張正方形卡紙的四個角，各截去一個全等的等腰直角三角形，三角形的兩腰分別沿著卡紙的相鄰兩邊。截去後，原正方形每一邊的中間都留下長
10
10
10
公分的線段，剩餘面積為
238
238
238
平方公分。每個截去的三角形之腰長為多少公分？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
方程式
(
2
x
−
3
)
2
=
11
(2x-3)^2=11
(
2
x
−
3
)
2
=
11
的所有實數解為何？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
某河川今日水位相較昨日的變化為：甲測站下降
1
3
8
1\frac{3}{8}
1
8
3
公尺，乙測站下降
2
5
6
2\frac{5}{6}
2
6
5
公尺。若將下降記為負數，甲測站的水位變化值比乙測站大多少公尺？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台南某文具店做一張長方形姓名貼，長與寬的和是
18
18
18
公分，面積是
56
56
56
平方公分。若店員想計算長與寬的平方和，以估算外框材料用量，則平方和是多少？
國中教育會考
不等式與絕對值・邏輯推理與規律
開始練習 →
設
a
,
b
a,b
a
,
b
為實數，且
a
<
2
a<2
a
<
2
、
b
<
2
b<2
b
<
2
、
(
a
−
2
)
2
<
(
b
−
2
)
2
(a-2)^2<(b-2)^2
(
a
−
2
)
2
<
(
b
−
2
)
2
。甲、乙對「所有符合條件的
a
,
b
a,b
a
,
b
都滿足
a
>
b
a>b
a
>
b
」提出以下論證。甲：取
a
=
1
,
b
=
0
a=1,b=0
a
=
1
,
b
=
0
，則
(
a
−
2
)
2
=
1
<
4
=
(
b
−
2
)
2
(a-2)^2=1<4=(b-2)^2
(
a
−
2
)
2
=
1
<
4
=
(
b
−
2
)
2
，且
a
>
b
a>b
a
>
b
，所以命題成立。乙：由平方差分解得
(
a
−
b
)
(
a
+
b
−
4
)
<
0
(a-b)(a+b-4)<0
(
a
−
b
)
(
a
+
b
−
4
)
<
0
；又因
a
+
b
−
4
<
0
a+b-4<0
a
+
b
−
4
<
0
，所以
a
−
b
>
0
a-b>0
a
−
b
>
0
，故命題成立。下列評析何者正確？
國中教育會考
數線與絕對值・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，某捷運路線以轉乘站
O
O
O
為原點。點
P
P
P
與點
Q
Q
Q
分居原點兩側，且到原點的距離相等。若兩點的座標分別為
x
−
2
x-2
x
−
2
與
6
6
6
，則
x
x
x
的值為何？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
已知
a
a
a
的倒數為
−
3
5
-\frac{3}{5}
−
5
3
，且
b
b
b
的相反數等於
a
+
1
a+1
a
+
1
，則
b
b
b
的倒數為何？
國中教育會考
比例、速率與百分比
開始練習 →
台南一間早餐店原本一份套餐售價
80
80
80
元，因原物料上漲先調高
25
%
25\%
25%
，一個月後又推出「以調高後售價打
9
9
9
折」的優惠。優惠後一份套餐售價是多少元？
國中教育會考
分數與小數運算・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
若
−
3
4
x
=
−
5
6
-\frac{3}{4}x=-\frac{5}{6}
−
4
3
x
=
−
6
5
，則
x
x
x
的值為何？