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易
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難
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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
730
題
・第 22／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
公園中兩條直線步道的中心線交於
P
(
1
,
1
)
P(1,1)
P
(
1
,
1
)
，其中一條角平分線為
L
:
2
x
−
y
−
1
=
0
L:2x-y-1=0
L
:
2
x
−
y
−
1
=
0
。定位點
Q
(
t
,
t
+
4
)
Q(t,t+4)
Q
(
t
,
t
+
4
)
位在另一條角平分線上，則
t
t
t
的值為何？
‹
1
…
21
22
23
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某河濱公園的導覽圖以涼亭
O
O
O
為原點，向東為正
x
x
x
軸、向北為正
y
y
y
軸，每一座標單位代表一公尺。自行車架
A
A
A
距離
O
O
O
為
6
6
6
公尺，且射線
O
A
OA
O
A
從正
x
x
x
軸逆時針旋轉
150
∘
150^\circ
15
0
∘
。已知
A
A
A
與另一座自行車架
B
B
B
的中點為
M
=
(
1
,
2
)
M=(1,2)
M
=
(
1
,
2
)
，則
B
B
B
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
高雄某夜市設置一個圓形招牌，圓心為
O
O
O
。從招牌外一點
P
P
P
拉兩條切線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。已知半徑
O
A
=
12
OA=12
O
A
=
12
公分，且
O
P
=
20
OP=20
O
P
=
20
公分，若要在兩段切線
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
上裝等長燈條，兩段燈條總長為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
方程式
2
log
2
(
x
−
1
)
−
log
2
(
x
+
3
)
=
1
2\log_2(x-1)-\log_2(x+3)=1
2
lo
g
2
(
x
−
1
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
=
1
的實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
log
12
=
a
\log 12=a
lo
g
12
=
a
、
log
18
=
b
\log 18=b
lo
g
18
=
b
，則
log
24
\log 24
lo
g
24
以
a
,
b
a,b
a
,
b
表示為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
某校園福利社的電子置物櫃取件編號為正整數
N
N
N
，且滿足
log
N
+
log
2
1
+
2
log
2
3
=
5
\log N+\log_2 1+2^{\log_2 3}=5
lo
g
N
+
lo
g
2
1
+
2
l
o
g
2
3
=
5
。則
N
N
N
為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・三角函數與和差角
開始練習 →
某捷運站以
0
≤
x
≤
1
0\leq x\leq1
0
≤
x
≤
1
表示一段設備測試時間，兩個感測訊號為
f
(
x
)
=
2
cos
(
5
x
+
3
)
−
1
f(x)=2\cos(5x+3)-1
f
(
x
)
=
2
cos
(
5
x
+
3
)
−
1
與
g
(
x
)
=
3
tan
(
2
π
x
)
g(x)=3\tan(2\pi x)
g
(
x
)
=
3
tan
(
2
π
x
)
。下列關於這段測試時間內的訊號值域及失效時刻之敘述，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義市的圓形夜跑路線上，打卡點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
在同一段較短圓弧上依序排列，圓心為
O
O
O
。量得
∠
A
O
C
=
128
∘
\angle AOC=128^\circ
∠
A
O
C
=
12
8
∘
。另一個打卡點
D
D
D
在
A
A
A
到
C
C
C
的另一段較長圓弧上。攝影機放在
D
D
D
，拍攝方向分別對準
A
A
A
、
C
C
C
，求視角
∠
A
D
C
\angle ADC
∠
A
D
C
。
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
設平面向量
u
⃗
\vec u
u
、
v
⃗
\vec v
v
滿足
∣
u
⃗
∣
=
∣
v
⃗
∣
=
3
|\vec u|=|\vec v|=3
∣
u
∣
=
∣
v
∣
=
3
。如圖，
v
⃗
−
u
⃗
\vec v-\vec u
v
−
u
與
u
⃗
\vec u
u
的夾角為
150
∘
150^\circ
15
0
∘
，則
u
⃗
⋅
v
⃗
\vec u\cdot\vec v
u
⋅
v
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
阿里山步道管理員在相距
100
100
100
公尺的觀測點
A
A
A
、
B
B
B
發現迷途遊客位於
T
T
T
。測得
∠
T
A
B
=
30
∘
\angle TAB=30^\circ
∠
T
A
B
=
3
0
∘
，且
∠
A
B
T
=
45
∘
\angle ABT=45^\circ
∠
A
B
T
=
4
5
∘
。假設三點位於同一水平面，則遊客與觀測點
B
B
B
的直線距離
B
T
BT
B
T
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
台北某捷運站旁有一個圓形廣場，圓心為
O
O
O
。廣場邊上有三個入口
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中中心角
∠
A
O
B
=
72
∘
\angle AOB=72^\circ
∠
A
O
B
=
7
2
∘
。若旅客站在入口
C
C
C
看向
A
A
A
、
B
B
B
形成的圓周角
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
，且
C
C
C
位在不含小弧
A
B
AB
A
B
的另一段弧上，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少度？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
如圖，兩圓的方程式為
S
1
=
x
2
+
y
2
−
1
=
0
S_1=x^2+y^2-1=0
S
1
=
x
2
+
y
2
−
1
=
0
與
S
2
=
x
2
+
y
2
−
8
x
+
15
=
0
S_2=x^2+y^2-8x+15=0
S
2
=
x
2
+
y
2
−
8
x
+
15
=
0
。令
a
=
7
−
4
3
a=7-4\sqrt{3}
a
=
7
−
4
3
、
b
=
7
+
4
3
b=7+4\sqrt{3}
b
=
7
+
4
3
。若
S
1
+
k
S
2
=
0
S_1+kS_2=0
S
1
+
k
S
2
=
0
必須表示半徑大於零的實圓，實數
k
k
k
的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
彰化一位花農整理長方形花圃，靠牆的一邊不用圍籬，其餘三邊共用
36
36
36
公尺圍籬。設垂直牆面的邊長為
x
x
x
公尺，則沿牆方向的邊長為
36
−
2
x
36-2x
36
−
2
x
公尺。若花圃面積要最大，垂直牆面的邊長應為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
校園中庭的一塊平行四邊形鋪面有四個頂點
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
、
S
S
S
，其中
P
Q
PQ
P
Q
是一條對角線。已知
P
(
−
3
,
4
)
P(-3,4)
P
(
−
3
,
4
)
、
Q
(
5
,
1
)
Q(5,1)
Q
(
5
,
1
)
、
R
(
2
,
−
2
)
R(2,-2)
R
(
2
,
−
2
)
，則第四個頂點
S
S
S
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
方程式
2
x
+
9
(
2
3
)
x
−
8
−
72
⋅
3
−
x
=
0
2^x+9\left(\frac{2}{3}\right)^x-8-72\cdot3^{-x}=0
2
x
+
9
(
3
2
)
x
−
8
−
72
⋅
3
−
x
=
0
的實數解集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次曲線標準式
開始練習 →
高雄某廣場的圓形噴水池邊界方程式為
2
x
2
+
2
y
2
+
a
x
+
b
y
+
c
=
0
2x^2+2y^2+ax+by+c=0
2
x
2
+
2
y
2
+
a
x
+
b
y
+
c
=
0
，圓心為
O
(
4
,
−
3
)
O(4,-3)
O
(
4
,
−
3
)
，且邊界經過點
P
(
7
,
1
)
P(7,1)
P
(
7
,
1
)
。下列哪一組
(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)
(
a
,
b
,
c
)
正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
某公園平面座標圖上，一條自行車道的中心線通過
P
(
−
2
,
5
)
P(-2,5)
P
(
−
2
,
5
)
、
Q
(
4
,
2
)
Q(4,2)
Q
(
4
,
2
)
兩點。下列哪一組依序正確表示此直線的點斜式、斜截式與截距式？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
12
sin
x
+
5
cos
x
f(x)=12\sin x+5\cos x
f
(
x
)
=
12
sin
x
+
5
cos
x
，且
θ
∈
[
0
,
2
π
)
\theta\in[0,2\pi)
θ
∈
[
0
,
2
π
)
為
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
取得最大值時的
x
x
x
值，則
tan
θ
2
\tan\frac{\theta}{2}
tan
2
θ
為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・對數函數與對數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
log
2
x
y=\log_2 x
y
=
lo
g
2
x
的圖形與直線
y
=
x
y=x
y
=
x
。已知函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
y
=
log
2
x
y=\log_2 x
y
=
lo
g
2
x
的圖形對稱於
y
y
y
軸，函數
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
的圖形與
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形對稱於直線
y
=
x
y=x
y
=
x
。求
g
(
3
)
g(3)
g
(
3
)
的值。
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・幾何：角度與面積
開始練習 →
一座三角形廣場
A
B
C
ABC
A
B
C
內設置圓形噴水池，噴水池與三邊分別相切於
D
D
D
、
E
E
E
、
F
F
F
，且
D
D
D
、
E
E
E
、
F
F
F
依序位於線段
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
A
CA
C
A
上。已知
A
D
=
3
AD=3
A
D
=
3
公尺、
B
E
=
2
BE=2
B
E
=
2
公尺、
B
C
=
6
BC=6
B
C
=
6
公尺，則噴水池的半徑為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
花蓮一所高中在屋頂平面圖上標出一塊四邊形太陽能板區域，四個頂點依序為
P
(
1
,
1
)
P(1,1)
P
(
1
,
1
)
、
Q
(
6
,
2
)
Q(6,2)
Q
(
6
,
2
)
、
R
(
5
,
5
)
R(5,5)
R
(
5
,
5
)
、
S
(
0
,
4
)
S(0,4)
S
(
0
,
4
)
。平面圖上每
1
1
1
單位代表實際
2
2
2
公尺。該區域實際面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
小晴整理課後講義時，計算
T
=
2
sin
150
∘
−
3
cos
210
∘
+
tan
315
∘
T=2\sin150^\circ-\sqrt{3}\cos210^\circ+\tan315^\circ
T
=
2
sin
15
0
∘
−
3
cos
21
0
∘
+
tan
31
5
∘
。則
T
T
T
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
校慶園遊會規劃場地時，
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
為三個設施位置，
D
D
D
位於線段
B
C
BC
B
C
上。已知
A
B
=
13
AB=13
A
B
=
13
公尺、
B
D
=
14
BD=14
B
D
=
14
公尺、
D
C
=
26
DC=26
D
C
=
26
公尺、
A
D
=
15
AD=15
A
D
=
15
公尺，則
A
C
AC
A
C
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次曲線標準式
開始練習 →
市府以座標平面記錄一處圓形廣場，其邊界的一般式為
x
2
+
y
2
+
(
2
m
−
6
)
x
−
4
y
+
m
2
−
6
m
−
3
=
0
x^2+y^2+(2m-6)x-4y+m^2-6m-3=0
x
2
+
y
2
+
(
2
m
−
6
)
x
−
4
y
+
m
2
−
6
m
−
3
=
0
，且圓心位於步道中線
x
+
y
=
1
x+y=1
x
+
y
=
1
上。以配方法求得的圓形廣場標準式為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次曲線標準式・坐標幾何
開始練習 →
設
t
t
t
為實數。若方程式
x
2
+
y
2
−
2
t
x
+
4
y
+
2
t
+
7
=
0
x^2+y^2-2tx+4y+2t+7=0
x
2
+
y
2
−
2
t
x
+
4
y
+
2
t
+
7
=
0
表示如圖所示的非退化實圓，則
t
t
t
的所有可能值為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
某河濱自行車道在座標地圖上為通過
B
(
0
,
1
)
B(0,1)
B
(
0
,
1
)
、
C
(
2
,
5
)
C(2,5)
C
(
2
,
5
)
的直線
L
L
L
。維修站位於
A
(
5
,
2
)
A(5,2)
A
(
5
,
2
)
，規劃單位要在直線
L
L
L
的另一側設置與
A
A
A
關於
L
L
L
對稱的補給站
Q
Q
Q
。補給站
Q
Q
Q
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
新竹某文創市集規劃一個長方形拍照區，靠牆的一邊不用圍繩，其餘三邊共用
24
24
24
公尺圍繩。若垂直牆面的寬為
x
x
x
公尺，則平行牆面的長為
24
−
2
x
24-2x
24
−
2
x
公尺。要使拍照區面積最大，寬
x
x
x
應為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
小安在整理段考複習卷時遇到一題：已知
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為三次多項式，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
2
+
x
−
2
x^2+x-2
x
2
+
x
−
2
的餘式為
14
x
−
13
14x-13
14
x
−
13
，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
2
+
3
x^2+3
x
2
+
3
的餘式為
x
−
4
x-4
x
−
4
。試問
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓心為
C
(
−
1
,
2
)
C(-1,2)
C
(
−
1
,
2
)
，點
P
(
3
,
−
1
)
P(3,-1)
P
(
3
,
−
1
)
在圓上。此圓在點
P
P
P
的切線與
y
y
y
軸交於點
Q
Q
Q
，則點
Q
Q
Q
的
y
y
y
座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南某夜市招牌的亮度可用
L
(
t
)
=
50
+
12
sin
π
t
6
+
16
cos
π
t
6
L(t)=50+12\sin\frac{\pi t}{6}+16\cos\frac{\pi t}{6}
L
(
t
)
=
50
+
12
sin
6
π
t
+
16
cos
6
π
t
表示，其中
t
t
t
是晚上
6
6
6
點後經過的小時數，
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。在這段時間內，招牌亮度的最大值為何？