線性不定方程：解整數解

這課要練什麼

一條方程、兩個（以上）未知數，還限定 整數——這就是線性不定方程 $ax+by=c$。這課把解題拆成穩定三步：用 $\gcd$ 判有沒有解 → 寫出通解 → 套上題目範圍數個數。

想先把觀念一次讀通，看這裡：整數解與不定方程（概念頁）。

標準步驟（配一題給你看）

1. 驗 $\gcd(a,b) \mid c$？不整除就無解；整除就兩邊同除 $\gcd$ 化到最簡。
2. 湊一組特解 $(x_0,y_0)$。
3. 寫通解：$x=x_0+b't$、$y=y_0-a't$（ 是化簡後係數，交叉、一加一減）。
4. 把題目的範圍限制翻成對 $t$ 的不等式，取交集，數 $t$ 的整數個數。

示範：$6x+9y=45$，$-4\le x\le 10$。$\gcd(6,9)=3\mid45$，除以 得 ；特解 ；通解 。由 得 ，共 。

入門：先跑順「判 gcd → 通解 → 數範圍」

進階：係數不互質、限制不只一個

先化到最簡再寫通解；正整數或非負的限制，記得兩個變數都要翻成對 $t$ 的不等式。

挑戰：大係數與三元不定方程

係數變大時通解與步長不變、只是數字大；三元方程則固定一個變數、逐一退回二元來數。

常見錯誤（在這裡掉分最可惜）

• 沒先驗 gcd：$\gcd(a,b)\nmid c$ 其實一組解都沒有，別急著湊。
• 忘了化到最簡：步長要用除以 $\gcd$ 後的係數，否則相鄰兩解差多少會算錯。
• 範圍只套一個變數：$x,y$ 的限制都要翻成對 $t$ 的不等式再取交集；邊界 $\le$／、含不含 也要看清。

學完這課，回到題庫做更多同類型練習，把「判 gcd → 通解 → 數範圍」練成反射動作。