系統列舉與分類討論：不重不漏地數

這課要練什麼

情況有限、卻套不上乾淨公式時，就靠系統列舉與分類討論——有章法地走遍所有情況，不重不漏。這課練三件事：選主軸、切互斥類、強加順序去重。

想先把觀念一次讀通，看這裡：系統列舉與分類討論（概念頁）。

標準步驟（配一題給你看）

1. 選一個主軸變數（取值最少、限制最緊的），讓它由小到大依序固定。
2. 每固定一個值，剩下的變成更小的子問題，逐一數。
3. 要選一組數又不看順序時，強加 $a<b<c$ 去除重複；邊列邊用限制剪枝。

示範：三數不同、由小到大 $a<b<c$、和為定值——以最小的 $a$ 為主軸依序取值，$a$ 定了再定 $b$，$c$ 就被和決定，只需檢查是否合法。

入門：小規模，先把「有序列舉」跑順

情況不多時，直接按順序一格一格列，體會「不重不漏」。

進階：選對主軸、切互斥類

主軸挑限制最緊的變數；分類要互斥又窮盡。

挑戰：多重限制，邊列邊剪枝

多個條件疊加時，用限制先卡掉不可能的分支，再對剩下的逐一檢查。

常見錯誤（在這裡掉分最可惜）

• 分類不互斥／不窮盡：類別重疊會重複算，漏類會少算——切完先自問「有沒有重疊、有沒有漏」。
• 有序 vs 無序混用：先講清楚順序算不算，否則答案差一個倍數。
• 主軸選錯 / 忘了剪枝：拿取值最多的變數當主軸會情況爆炸；限制要在列舉時就用上。

學完這課，回到題庫做更多同類型練習，把「選主軸 → 切互斥類 → 有序去重」練成反射動作。