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整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
761
題
・第 5／26 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓形廣場邊界上的四個標記
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
依序排列，且
∠
B
A
C
=
45
∘
\angle BAC=45^\circ
∠
B
A
C
=
4
5
∘
、
∠
B
A
D
=
75
∘
\angle BAD=75^\circ
∠
B
A
D
=
7
5
∘
。已知
B
C
BC
B
C
的直線距離為
6
6
6
公尺，求
C
D
CD
C
D
的直線距離。
‹
1
…
4
5
6
…
26
›
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸恰有兩個交點，其橫座標分別為
2
2
2
、
8
8
8
。設
g
(
x
)
=
f
(
2
x
)
g(x)=f(2x)
g
(
x
)
=
f
(
2
x
)
，再令
h
(
x
)
=
g
(
k
x
)
h(x)=g(kx)
h
(
x
)
=
g
(
k
x
)
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
。若
y
=
h
(
x
)
y=h(x)
y
=
h
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸兩交點的距離為
1
1
1
，則
k
k
k
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座展場的旋轉燈每轉過角度
θ
\theta
θ
，感測器便記錄一次狀態；當且僅當
sin
θ
=
1
2
\sin\theta=\frac{1}{2}
sin
θ
=
2
1
時，記錄顯示為紅燈。若只查看
1000
∘
≤
θ
≤
1700
∘
1000^\circ\leq\theta\leq1700^\circ
100
0
∘
≤
θ
≤
170
0
∘
的資料，下列哪一項是紅燈出現角度的完整集合？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
某校園遊會使用兩個正方體收納箱，其稜長分別為
x
x
x
公寸與
y
y
y
公寸。已知
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
，且兩箱的體積和為
112
112
112
立方公寸，則兩箱底面面積的總和為多少平方公寸？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
t
t
t
為整數，直線
L
t
:
x
+
y
=
−
t
L_t:x+y=-t
L
t
:
x
+
y
=
−
t
與圓
C
t
:
x
2
+
y
2
−
4
t
y
+
3
t
2
−
2
t
−
2
=
0
C_t:x^2+y^2-4ty+3t^2-2t-2=0
C
t
:
x
2
+
y
2
−
4
t
y
+
3
t
2
−
2
t
−
2
=
0
，如圖為
t
=
1
t=1
t
=
1
時的示意圖。將
y
=
−
x
−
t
y=-x-t
y
=
−
x
−
t
代入圓方程式，展開並合併同類項後，恆可寫成
2
x
2
+
a
t
x
+
8
t
2
−
2
t
−
2
=
0
2x^2+atx+8t^2-2t-2=0
2
x
2
+
a
t
x
+
8
t
2
−
2
t
−
2
=
0
，其中
a
a
a
為常數。令
S
S
S
為使直線與圓有兩個相異交點的所有整數
t
t
t
所成的集合。下列哪一組
a
a
a
與
S
S
S
完全正確？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小美規劃從高雄搭車北上，手機電量預測的校正差為
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
H(x)=(x+2)(x-1)(x-3)^2
H
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
2
，其中
x
x
x
是出門後的時數，只討論
0
≤
x
≤
5
0\le x\le 5
0
≤
x
≤
5
。若
H
(
x
)
≤
0
H(x)\le 0
H
(
x
)
≤
0
表示預測電量不高於實際電量，則哪些時段符合？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某地區的座標地圖上，兩座 YouBike 站的位置分別為
P
(
a
,
9
)
P(a,9)
P
(
a
,
9
)
、
Q
(
8
,
5
)
Q(8,5)
Q
(
8
,
5
)
，其中線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中點位於直線
x
=
5
x=5
x
=
5
上。若自行車道
L
L
L
是線段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中垂線，則
L
L
L
的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
設
0
∘
≤
x
<
360
∘
0^\circ\le x<360^\circ
0
∘
≤
x
<
36
0
∘
，不等式
2
sin
x
cos
x
+
2
sin
2
x
≥
1
+
2
2
2\sin x\cos x+2\sin^2x\ge 1+\frac{\sqrt{2}}{2}
2
sin
x
cos
x
+
2
sin
2
x
≥
1
+
2
2
的解集為何？
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
新竹某高中「數理探究社」期末聚餐訂了一張圓桌，桌邊共有
8
8
8
個座位（如圖），社員
5
5
5
位學長與
3
3
3
位學弟每人各坐一個座位。這裡只考慮各人的相對位置，也就是整桌一起旋轉後看起來相同的坐法視為同一種。若要求任兩位學弟都不相鄰，則共有多少種不同的坐法？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
的圖形。將此圖形依序作下列變換：向右平移
2
2
2
；沿水平方向伸長為原來的
3
3
3
倍（以
y
y
y
軸為基準）；向上平移
1
1
1
；最後將各點的縱座標乘以
−
2
-2
−
2
。所得圖形的函數式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知三個函數為
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
f(x)=3\sin 2x+\cos 2x
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
、
g
(
x
)
=
3
sin
x
+
cos
x
g(x)=3\sin x+\cos x
g
(
x
)
=
3
sin
x
+
cos
x
、
h
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
h(x)=\sin x+\cos x
h
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
。如圖，三幅圖使用相同的水平與鉛直比例，分別呈現這三個函數，虛線標示各圖的最大值。圖
I
\mathrm{I}
I
、
I
I
\mathrm{II}
II
、
I
I
I
\mathrm{III}
III
依序對應哪一組函數？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・對數函數與對數方程
開始練習 →
如圖，曲線
C
C
C
為
y
=
2
x
+
1
y=2^x+1
y
=
2
x
+
1
的圖形，曲線
D
D
D
為
y
=
log
2
(
x
−
1
)
y=\log_2(x-1)
y
=
lo
g
2
(
x
−
1
)
的圖形，虛線分別為
x
=
1
x=1
x
=
1
與
y
=
1
y=1
y
=
1
。考慮兩曲線的完整圖形，下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的三頂點為
A
=
(
0
,
0
)
A=(0,0)
A
=
(
0
,
0
)
、
B
=
(
15
,
0
)
B=(15,0)
B
=
(
15
,
0
)
、
C
=
(
63
5
,
16
5
)
C=\left(\dfrac{63}{5},\dfrac{16}{5}\right)
C
=
(
5
63
,
5
16
)
。下列何者為其內切圓的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・三角函數與和差角
開始練習 →
某遊樂設施的平衡指標可表示為
f
(
x
)
=
−
sin
2
x
+
1
2
sin
x
f(x)=-\sin^2x+\frac{1}{2}\sin x
f
(
x
)
=
−
sin
2
x
+
2
1
sin
x
，其中
x
x
x
為實數。則
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最大值為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・分數與小數運算
開始練習 →
花蓮某社區辦接駁服務，行車
m
m
m
分鐘後，距離估計為
d
(
m
)
=
m
4
+
1
d(m)=\frac{m}{4}+1
d
(
m
)
=
4
m
+
1
公里；距離
x
x
x
公里的補貼金額為
c
(
x
)
=
30
+
6
x
c(x)=30+6x
c
(
x
)
=
30
+
6
x
元。若表單輸入行車時間
m
m
m
，系統應用哪個函數表示補貼，且
m
=
12
m=12
m
=
12
時補貼多少元？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
log
3
6
=
a
\log_3 6=a
lo
g
3
6
=
a
，則
log
12
18
\log_{12}18
lo
g
12
18
以
a
a
a
表示為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
將
2
sin
(
x
+
π
6
)
−
2
3
cos
(
x
+
π
6
)
2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
2
sin
(
x
+
6
π
)
−
2
3
cos
(
x
+
6
π
)
改寫為
4
sin
(
x
+
K
)
4\sin(x+K)
4
sin
(
x
+
K
)
，且
0
≤
K
<
2
π
0\le K<2\pi
0
≤
K
<
2
π
，則
K
K
K
為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・不等式與絕對值
開始練習 →
設實數
x
,
y
x,y
x
,
y
滿足
x
2
+
y
2
=
20
x^2+y^2=20
x
2
+
y
2
=
20
。當
x
+
2
y
x+2y
x
+
2
y
有最小值時，
x
−
3
y
x-3y
x
−
3
y
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義某太陽能板的方位校正系統以銳角
θ
\theta
θ
表示面板的偏轉角，且
sin
θ
=
3
5
\sin\theta=\frac{3}{5}
sin
θ
=
5
3
、
cos
θ
=
4
5
\cos\theta=\frac{4}{5}
cos
θ
=
5
4
。系統的校正係數
K
=
2
sin
(
180
∘
−
θ
)
+
cos
(
90
∘
+
θ
)
cos
(
180
∘
−
θ
)
K=\frac{2\sin(180^\circ-\theta)+\cos(90^\circ+\theta)}{\cos(180^\circ-\theta)}
K
=
c
o
s
(
18
0
∘
−
θ
)
2
s
i
n
(
18
0
∘
−
θ
)
+
c
o
s
(
9
0
∘
+
θ
)
，則
K
K
K
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓
C
C
C
的方程式為
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
1
)
2
=
16
(x-a)^2+(y-1)^2=16
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
1
)
2
=
16
，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
。已知直線
L
1
:
y
=
−
3
4
x
+
2
L_1:y=-\frac{3}{4}x+2
L
1
:
y
=
−
4
3
x
+
2
與圓
C
C
C
相切。若另一條與
L
1
L_1
L
1
平行的切線為
L
2
:
y
=
−
3
4
x
+
b
L_2:y=-\frac{3}{4}x+b
L
2
:
y
=
−
4
3
x
+
b
，且
b
≠
2
b\ne2
b
=
2
，則
b
b
b
為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某班數學小考後，老師發現有
70
%
70\%
70%
的同學有訂正錯題，有訂正者中
80
%
80\%
80%
下次小考及格，未訂正者中
50
%
50\%
50%
下次小考及格。若隨機選一位同學，已知他下次小考及格，求他有訂正錯題的機率。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某校數學社製作可調式量角板，如圖，
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
在
B
B
B
點為直角，且
A
C
=
1
AC=1
A
C
=
1
、
A
B
=
7
25
AB=\frac{7}{25}
A
B
=
25
7
、
B
C
=
24
25
BC=\frac{24}{25}
B
C
=
25
24
。點
D
D
D
位於射線
B
A
BA
B
A
上，且
A
A
A
位於
D
D
D
、
B
B
B
之間。令
∠
C
A
B
=
θ
\angle CAB=\theta
∠
C
A
B
=
θ
，若要使
∠
C
D
B
=
θ
2
\angle CDB=\frac{\theta}{2}
∠
C
D
B
=
2
θ
，則
A
D
AD
A
D
與
tan
θ
2
\tan\frac{\theta}{2}
tan
2
θ
應分別為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
將曲線
C
C
C
對
x
x
x
軸作對稱，得到曲線
D
D
D
，再將
D
D
D
對
y
y
y
軸作對稱，得到如圖的曲線
E
E
E
，其方程式為
y
=
−
2
−
x
y=-2^{-x}
y
=
−
2
−
x
。下列哪一組依序為曲線
C
C
C
、
D
D
D
的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形向右平移
4
4
4
單位，再向上平移
3
3
3
單位後，得到如圖的函數
y
=
2
x
+
1
−
2
y=2^{x+1}-2
y
=
2
x
+
1
−
2
的圖形。原函數
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
一位同學用平板繪圖設計校慶海報，拋物線圖案的高度可用
y
=
a
(
x
−
3
)
2
+
5
y=a(x-3)^2+5
y
=
a
(
x
−
3
)
2
+
5
表示。已知圖案通過點
(
1
,
1
)
(1,1)
(
1
,
1
)
。若另一條水平裝飾線為
y
=
2
y=2
y
=
2
，則此裝飾線與拋物線有幾個交點？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平面向量
開始練習 →
某高架道路的兩條車道中心線互相平行。在工程座標中，第一條中心線為
L
1
:
(
x
,
y
)
=
(
1
,
−
2
)
+
t
(
2
,
3
)
L_1:(x,y)=(1,-2)+t(2,3)
L
1
:
(
x
,
y
)
=
(
1
,
−
2
)
+
t
(
2
,
3
)
，其中
t
∈
R
t\in\mathbb{R}
t
∈
R
；第二條中心線為
L
2
:
6
x
−
4
y
+
k
=
0
L_2:6x-4y+k=0
L
2
:
6
x
−
4
y
+
k
=
0
。已知兩中心線的距離為
3
13
2
\frac{3\sqrt{13}}{2}
2
3
13
公尺，且
L
2
L_2
L
2
與
y
y
y
軸交於正半軸，則
k
k
k
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
方程式
2
x
2
−
7
∣
x
∣
+
3
=
0
2x^2-7|x|+3=0
2
x
2
−
7∣
x
∣
+
3
=
0
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
a
x
y=a^x
y
=
a
x
的圖形，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\neq 1
a
=
1
，圖形通過點
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
。若實數
p
,
q
p,q
p
,
q
滿足
0
<
p
<
q
0<p<q
0
<
p
<
q
，則下列哪一個敘述必定成立？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
8
1
log
3
2
8^{\frac{1}{\log_3 2}}
8
l
o
g
3
2
1
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某校園三角形花圃的三個頂點座標分別為
A
(
4
,
5
)
A(4,5)
A
(
4
,
5
)
、
B
(
7
,
−
1
)
B(7,-1)
B
(
7
,
−
1
)
、
C
(
3
,
3
)
C(3,3)
C
(
3
,
3
)
。若此三角形的垂心為
H
(
p
,
q
)
H(p,q)
H
(
p
,
q
)
，則
2
p
−
3
q
2p-3q
2
p
−
3
q
的值為何？