MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
681
題
・第 20／23 頁
清除全部篩選
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園入口有一座半圓形花圃，直徑
A
B
AB
A
B
長
30
30
30
公尺。花圃內另有兩個半圓形植栽區，其直徑分別為
A
C
=
12
AC=12
A
C
=
12
公尺與
C
B
=
18
CB=18
C
B
=
18
公尺。三段圓弧之間設置一個圓形噴水區，且噴水區與三段圓弧皆相切。此圓形噴水區的半徑為多少公尺？
‹
1
…
19
20
21
…
23
›
國中教育會考
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
圖書館有
20
20
20
張臨時借閱證，編號為
1520
1520
1520
至
1539
1539
1539
的所有整數，每個編號各有一張。館員挑出個位數不為
0
0
0
，且編號能被自己的個位數整除的借閱證。在挑出的借閱證中，有幾種個位數恰好只出現一次？
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某園區平面圖以公尺為單位。兩個圓形花圃
C
1
C_1
C
1
、
C
2
C_2
C
2
的圓心分別為
O
1
(
−
4
,
4
)
O_1(-4,4)
O
1
(
−
4
,
4
)
、
O
2
(
6
,
−
5
)
O_2(6,-5)
O
2
(
6
,
−
5
)
，半徑分別為
4
5
\frac{4}{5}
5
4
、
2
5
\frac{2}{5}
5
2
。直線
ℓ
:
3
x
+
4
y
=
0
\ell:3x+4y=0
ℓ
:
3
x
+
4
y
=
0
同時與兩花圃相切，如圖。下列對
ℓ
\ell
ℓ
的分類及理由，何者正確？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
河濱公園有一座圓形花圃，
O
O
O
為圓心，半徑為
5
5
5
公尺。志工從花圃外的點
P
P
P
拉一條直線步道到切點
T
T
T
，步道剛好與花圃相切。若
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公尺，則切線段
P
T
PT
P
T
長多少公尺？
國中教育會考
整數四則與運算順序
開始練習 →
某電子支付帳戶上午與下午的餘額變動分別為
−
125
-125
−
125
元與
−
78
-78
−
78
元。將這兩筆變動合併記錄後，餘額的總變動為多少元？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，
I
I
I
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的內心，延長
B
I
BI
B
I
至
D
D
D
，使
B
B
B
、
I
I
I
、
D
D
D
依序共線。若
∠
B
A
C
=
x
∘
\angle BAC=x^\circ
∠
B
A
C
=
x
∘
，且
∠
D
I
C
=
(
2
x
−
15
)
∘
\angle DIC=(2x-15)^\circ
∠
D
I
C
=
(
2
x
−
15
)
∘
，則
x
x
x
的值為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
某空氣採樣器測得一份微粒質量為
0.0000063
0.0000063
0.0000063
公克。阿哲依照先建立格式、再移動小數點的方法，寫出
0.0000063
=
0.0000063
×
10
p
=
6.3
×
10
q
0.0000063=0.0000063\times 10^p=6.3\times 10^q
0.0000063
=
0.0000063
×
1
0
p
=
6.3
×
1
0
q
若整串等式皆成立，則
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
應為下列何者？
國中教育會考
面積切割與補形・平面上的比例
開始練習 →
如圖，社區活動使用一面三角形旗幟
A
B
C
ABC
A
B
C
，在底邊
B
C
BC
B
C
上取點
D
,
E
D,E
D
,
E
，使
B
,
D
,
E
,
C
B,D,E,C
B
,
D
,
E
,
C
依序共線，且
B
D
=
4
BD=4
B
D
=
4
公分、
D
E
=
6
DE=6
D
E
=
6
公分、
E
C
=
8
EC=8
E
C
=
8
公分。由線段
A
D
,
A
E
AD,AE
A
D
,
A
E
分成三區；若兩側的
△
A
B
D
\triangle ABD
△
A
B
D
與
△
A
E
C
\triangle AEC
△
A
E
C
面積和為
36
36
36
平方公分，則中間的
△
A
D
E
\triangle ADE
△
A
D
E
面積為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
已知方程式
(
4
−
3
x
)
2
=
k
(4-3x)^2=k
(
4
−
3
x
)
2
=
k
的兩個相異實根為
a
a
a
、
b
b
b
，且
a
>
b
a>b
a
>
b
。若
a
=
4
+
10
3
a=\frac{4+\sqrt{10}}{3}
a
=
3
4
+
10
，則有序數對
(
k
,
b
)
(k,b)
(
k
,
b
)
為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
校慶數學闖關卡上的得分碼為
[
(
84
,
126
)
,
n
]
[(84,126),n]
[(
84
,
126
)
,
n
]
，其中
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
表示最大公因數，
[
a
,
b
]
[a,b]
[
a
,
b
]
表示最小公倍數，且
n
n
n
為正整數。若得分碼等於
210
210
210
，則
n
n
n
的最小可能值為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，公園的三角形步道為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，
M
M
M
、
N
N
N
分別是
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的中點。從
M
M
M
經過
N
N
N
延伸至
D
D
D
，使得
N
D
‾
=
M
N
‾
\overline{ND}=\overline{MN}
N
D
=
M
N
。若要證明四邊形
M
B
C
D
MBCD
M
B
C
D
為平行四邊形，下列哪一段論證正確且理由完整？
國中教育會考
幾何推理與證明・相似形與比例線段
開始練習 →
河堤無障礙坡道的三角支架側面如圖。
△
P
Q
R
\triangle PQR
△
P
QR
中，
∠
P
Q
R
=
90
∘
\angle PQR=90^\circ
∠
P
QR
=
9
0
∘
，點
S
S
S
位於
P
R
‾
\overline{PR}
P
R
上，且
Q
S
‾
⊥
P
R
‾
\overline{QS}\perp\overline{PR}
QS
⊥
P
R
。欲證明
Q
R
2
=
S
R
⋅
P
R
QR^2=SR\cdot PR
Q
R
2
=
S
R
⋅
P
R
，下列哪一項同時正確列出目標比例、用於判定相似的兩組等角，以及相似三角形的頂點順序？
國中教育會考
單位換算與時間計算・指數與根式
開始練習 →
台北夜市的電子支付系統一天產生
2.4
×
10
6
2.4\times10^6
2.4
×
1
0
6
筆交易紀錄，每筆紀錄占用
125
b
y
t
e
s
125\,\mathrm{bytes}
125
bytes
。若
1
G
B
=
10
9
b
y
t
e
s
1\,\mathrm{GB}=10^9\,\mathrm{bytes}
1
GB
=
1
0
9
bytes
，則這些交易紀錄共占用多少
G
B
\mathrm{GB}
GB
？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
早餐店把菜單貼在半徑
10
10
10
公分的圓形磁鐵板上，菜單上緣剛好是一條長
16
16
16
公分的弦。若要從圓心
O
O
O
垂直量到這條弦，距離應是多少公分？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
對任意實數
x
x
x
，將
5
2
x
−
3
×
5
x
+
4
×
5
2
5^{2x-3} \times 5^{x+4} \times 5^2
5
2
x
−
3
×
5
x
+
4
×
5
2
化為底數為
5
5
5
的單一指數式，所得結果為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・數字與位數問題
開始練習 →
園遊會某攤位發出
5
a
‾
\overline{5a}
5
a
張兌換券，其中
42
42
42
張已使用。已知
5
a
‾
\overline{5a}
5
a
表示十位數為
5
5
5
、個位數為
a
a
a
的二位數。若使用比例
42
5
a
‾
\frac{42}{\overline{5a}}
5
a
42
已是最簡分數，則下列哪一個選項可以是
a
a
a
的值？
國中教育會考
幾何：角度與面積
開始練習 →
台中市集的長方形海報
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
B
=
18
AB=18
A
B
=
18
公分、
A
D
=
10
AD=10
A
D
=
10
公分。設計師在上邊
A
B
AB
A
B
上取一點
P
P
P
，且
A
P
=
7
AP=7
A
P
=
7
公分，畫出三角形色塊
△
P
C
D
\triangle PCD
△
P
C
D
。色塊
△
P
C
D
\triangle PCD
△
P
C
D
的面積是多少？
國中教育會考
圓的性質・面積切割與補形
開始練習 →
社區公園有一座梯形花圃
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其中
A
D
∥
B
C
AD\parallel BC
A
D
∥
B
C
。在
B
C
BC
B
C
邊上取一點
O
O
O
，以
O
O
O
為圓心鋪設一個半圓形的步道，此半圓恰好與
A
B
AB
A
B
、
A
D
AD
A
D
、
C
D
CD
C
D
三邊都相切，切點分別為
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
，如圖。已知
A
B
=
10
AB=10
A
B
=
10
公尺、
A
D
=
6
AD=6
A
D
=
6
公尺、
C
D
=
17
CD=17
C
D
=
17
公尺，梯形花圃面積為
132
132
132
平方公尺，求此半圓的半徑為多少公尺？
國中教育會考
二次函數與拋物線・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
方程式
(
x
2
−
4
x
+
1
)
(
x
2
−
4
x
+
5
)
=
5
(x^2-4x+1)(x^2-4x+5)=5
(
x
2
−
4
x
+
1
)
(
x
2
−
4
x
+
5
)
=
5
的實數解集合為何？
國中教育會考
圓的性質・面積切割與補形
開始練習 →
如圖，學校有一塊面積為
96
96
96
平方公尺的三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，沿三邊設置圍欄，僅在邊
B
C
BC
B
C
上預留長
4
4
4
公尺的入口
D
F
DF
D
F
，其餘邊界全部圍起。已知實際設置的圍欄總長為
44
44
44
公尺，
I
I
I
為此三角形的內心，
I
E
⊥
B
C
IE\perp BC
I
E
⊥
B
C
，垂足為
E
E
E
。則
I
E
IE
I
E
長多少公尺？
國中教育會考
不等式與絕對值
開始練習 →
方程式
5
−
2
∣
3
x
+
2
∣
=
8
x
+
3
5-2|3x+2|=8x+3
5
−
2∣3
x
+
2∣
=
8
x
+
3
的解集合為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・因數個數與因數和
開始練習 →
學校園遊會用
240
240
240
片邊長為
1
1
1
公尺的正方形地墊，沿邊對齊、不裁切且不重疊地鋪成兩個長方形攤位區。如圖，兩區域共用完整的一條邊
M
N
‾
\overline{MN}
M
N
，其中一區使用
96
96
96
片，其餘地墊全部用於另一區。若兩區域各自與共邊垂直的邊長都必須是偶數公尺，則共邊長共有幾種可能？
國中教育會考
指數與根式・分數與小數運算
開始練習 →
台灣某空氣品質監測站的一筆換算值為
0.042
10
−
6
\frac{0.042}{10^{-6}}
1
0
−
6
0.042
微克。若寫成科學記號，結果為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・平面上的比例
開始練習 →
某自行車棚側面的支架為梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，如圖，其中
A
D
‾
∥
B
C
‾
\overline{AD}\parallel\overline{BC}
A
D
∥
B
C
，兩條斜撐
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
、
B
D
‾
\overline{BD}
B
D
交於
O
O
O
。通過
O
O
O
裝設橫桿
E
F
‾
\overline{EF}
E
F
，其中
E
E
E
、
F
F
F
分別在
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
D
C
‾
\overline{DC}
D
C
上，且
E
F
‾
∥
A
D
‾
\overline{EF}\parallel\overline{AD}
E
F
∥
A
D
。若
A
D
=
9
AD=9
A
D
=
9
公尺、
B
C
=
18
BC=18
B
C
=
18
公尺，則橫桿
E
F
EF
E
F
的長度為多少公尺？
國中教育會考
多邊形與正多邊形
開始練習 →
夜市攤位要用五段直木條圍成一個凸五邊形招牌框。工人沿著邊走一圈時，已量到其中四個同方向外角分別為
42
∘
42^\circ
4
2
∘
、
68
∘
68^\circ
6
8
∘
、
75
∘
75^\circ
7
5
∘
、
90
∘
90^\circ
9
0
∘
。剩下那一角的內角是多少？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校慶義賣時，乙班售出的餅乾包數，比丙班的
3
3
3
倍多
4
4
4
包；甲班售出的餅乾包數，比乙班的
2
2
2
倍多
7
7
7
包。若將其中一班售出的包數設為
x
x
x
，並將另外兩班售出的包數都正確表示為整數係數的一次式，下列何者符合要求？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，社區活動的三角形裝飾板
A
B
C
ABC
A
B
C
滿足
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。將
B
A
BA
B
A
延長至
E
E
E
，使
B
B
B
、
A
A
A
、
E
E
E
依序共線，射線
A
D
AD
A
D
平分外角
∠
E
A
C
\angle EAC
∠
E
A
C
。若
∠
E
A
D
\angle EAD
∠
E
A
D
比頂角
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
大
18
∘
18^\circ
1
8
∘
，則
∠
A
B
C
\angle ABC
∠
A
B
C
為多少？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某高中園遊會攤位的收益模型為
−
12
p
3
q
+
42
p
2
q
2
+
90
p
q
3
-12p^3q+42p^2q^2+90pq^3
−
12
p
3
q
+
42
p
2
q
2
+
90
p
q
3
，將此式完全因式分解，結果為何？
國中教育會考
整數四則與運算順序
開始練習 →
某間台灣小吃店一天的行動支付帳務依序變動
18
−
27
+
35
−
16
+
22
−
31
+
14
−
9
18-27+35-16+22-31+14-9
18
−
27
+
35
−
16
+
22
−
31
+
14
−
9
百元。若先把減法改寫成加上負數，再將正數與負數各自分組，哪個算式與結果皆正確？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，延長
B
C
BC
B
C
至
D
D
D
，
B
I
BI
B
I
平分
∠
A
B
C
\angle ABC
∠
A
B
C
，
C
I
CI
C
I
平分外角
∠
A
C
D
\angle ACD
∠
A
C
D
，兩線交於
I
I
I
。已知
∠
B
I
C
=
30
∘
\angle BIC=30^\circ
∠
B
I
C
=
3
0
∘
，且
∠
A
B
C
:
∠
A
C
B
=
2
:
3
\angle ABC:\angle ACB=2:3
∠
A
B
C
:
∠
A
C
B
=
2
:
3
，則
∠
A
B
C
\angle ABC
∠
A
B
C
為何？