MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
730
題
・第 16／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
設
a
>
1
a>1
a
>
1
，則
(
a
−
1
⋅
a
)
−
2
a
4
⋅
a
1
2
\dfrac{(a^{-1}\cdot\sqrt{a})^{-2}}{\sqrt[4]{a}\cdot a^{\frac{1}{2}}}
4
a
⋅
a
2
1
(
a
−
1
⋅
a
)
−
2
等於下列何者？
‹
1
…
15
16
17
…
25
›
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
宜蘭某校在校園地圖上設定 Wi-Fi 可接收範圍，其邊界近似為圓
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
。此圓的圓心與半徑為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
夜市招牌上的燈條繞中心等速旋轉，開始計時時的方向角為
30
30
30
度，此後每秒逆時針增加
22.5
22.5
22.5
度。令
t
t
t
為經過的秒數，感應器輸出為當時方向角的正弦值。若將輸出寫成以弧度為自變數的函數
s
(
t
)
s(t)
s
(
t
)
，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
補習班老師用繪圖軟體示範：如圖，將
y
=
log
x
y=\log x
y
=
lo
g
x
的圖形向左平移
2
2
2
單位，再沿鉛直方向伸縮為原來的
3
3
3
倍（橫坐標不變），得到的圖形恰好是
y
=
log
a
(
x
+
2
)
y=\log_a(x+2)
y
=
lo
g
a
(
x
+
2
)
的圖形，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\neq 1
a
=
1
。則
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
某市集平面配置圖以公尺為單位建立坐標系，其中一條攤位分界線的方程式為
3
x
−
2
y
=
12
3x-2y=12
3
x
−
2
y
=
12
。下列何者為此分界線的截距式？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
河濱自行車活動區以
a
x
+
b
y
≥
c
ax+by\ge c
a
x
+
b
y
≥
c
表示，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
均不為
0
0
0
。邊界直線通過
P
(
−
4
,
0
)
P(-4,0)
P
(
−
4
,
0
)
與
Q
(
0
,
6
)
Q(0,6)
Q
(
0
,
6
)
，活動區包含地點
R
(
0
,
8
)
R(0,8)
R
(
0
,
8
)
，但不包含地點
S
(
0
,
4
)
S(0,4)
S
(
0
,
4
)
。下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知常用對數
log
2
≈
0.3010
\log 2\approx 0.3010
lo
g
2
≈
0.3010
、
log
3
≈
0.4771
\log 3\approx 0.4771
lo
g
3
≈
0.4771
、
log
7
≈
0.8451
\log 7\approx 0.8451
lo
g
7
≈
0.8451
。依上述近似值計算，
log
3
5
7
\log_{\frac{3}{5}}7
lo
g
5
3
7
四捨五入至小數點後第三位的結果為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一座半徑為
25
25
25
公尺的圓形廣場設有兩條互相平行的直線燈帶，其位於廣場內的部分分別為弦
A
B
AB
A
B
與弦
C
D
CD
C
D
。已知
A
B
=
40
AB=40
A
B
=
40
公尺、
C
D
=
48
CD=48
C
D
=
48
公尺，且兩條燈帶位於圓心的相反兩側，則兩條燈帶之間的距離為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
設
a
>
0
a>0
a
>
0
，化簡
(
a
2
a
)
2
3
⋅
a
3
4
(
a
6
)
3
\frac{\sqrt[3]{\left(a^2\sqrt{a}\right)^2}\cdot\sqrt[4]{a^3}}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^3}
(
6
a
)
3
3
(
a
2
a
)
2
⋅
4
a
3
，結果為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
已知
0
∘
<
θ
<
45
∘
0^\circ<\theta<45^\circ
0
∘
<
θ
<
4
5
∘
，且
2
tan
2
θ
−
5
tan
θ
+
2
=
0
2\tan^2\theta-5\tan\theta+2=0
2
tan
2
θ
−
5
tan
θ
+
2
=
0
，則
tan
2
θ
\tan 2\theta
tan
2
θ
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台北某共享腳踏車站用多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
校正感測器讀值。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式是
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式是
−
4
-4
−
4
。若把
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(x-2)(x+1)
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
，餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，點
G
G
G
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的重心。平面上一點
P
P
P
滿足
P
A
→
+
P
B
→
+
P
C
→
=
A
B
→
\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}
P
A
+
P
B
+
P
C
=
A
B
。若
A
P
→
=
x
A
B
→
+
y
A
C
→
\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}
A
P
=
x
A
B
+
y
A
C
，則數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，公園圓形花圃的圓心為
O
(
a
,
3
)
O(a,3)
O
(
a
,
3
)
，其中
a
>
1
a>1
a
>
1
，邊界通過
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
。路燈位於
P
(
5
,
7
)
P(5,7)
P
(
5
,
7
)
，通過
P
P
P
的鉛直線
ℓ
\ell
ℓ
與花圃邊界相切。依座標條件判定，
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
已知函數
g
(
x
)
=
tan
(
a
x
)
g(x)=\tan(ax)
g
(
x
)
=
tan
(
a
x
)
的最小正週期為
π
5
\frac{\pi}{5}
5
π
，且
a
<
0
a<0
a
<
0
，則
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
高斯取整函數・不等式與絕對值
開始練習 →
一間停車場收費方式為入場後每滿
20
20
20
分鐘收
15
15
15
元，不滿
20
20
20
分鐘仍以
20
20
20
分鐘計。若阿美停車
t
t
t
分鐘，費用為
15
⌈
t
20
⌉
15\left\lceil \frac{t}{20} \right\rceil
15
⌈
20
t
⌉
元。她付了
75
75
75
元，且停車時間超過
1
1
1
小時，則
t
t
t
的所有可能值所構成的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖為函數
y
=
a
x
+
b
y=a^x+b
y
=
a
x
+
b
的圖形，虛線為其水平漸近線，曲線通過點
P
P
P
。參數
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
小芸在不使用計算機的情況下，要算出下列數值
N
N
N
：
N
=
20
−
145
⋅
12
+
14
⋅
12
4
+
12
6
−
23
⋅
12
3
−
13
⋅
12
5
N=20-145\cdot 12+14\cdot 12^{4}+12^{6}-23\cdot 12^{3}-13\cdot 12^{5}
N
=
20
−
145
⋅
12
+
14
⋅
1
2
4
+
1
2
6
−
23
⋅
1
2
3
−
13
⋅
1
2
5
則
N
N
N
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次曲線標準式
開始練習 →
台南一個市集用坐標圖標示服務台的廣播可聽見邊界，邊界滿足
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
。這個廣播範圍的圓心與半徑為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖，四條曲線分別為
y
=
a
x
y=a^x
y
=
a
x
、
y
=
b
x
y=b^x
y
=
b
x
、
y
=
c
x
y=c^x
y
=
c
x
、
y
=
d
x
y=d^x
y
=
d
x
，虛線為
y
=
1
y=1
y
=
1
，其中
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
均為正數且不等於
1
1
1
。將
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
與
1
1
1
一起比較，下列大小關係何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
如圖，已知
∣
a
⃗
∣
=
3
|\vec a|=3
∣
a
∣
=
3
，
∣
b
⃗
∣
=
2
|\vec b|=2
∣
b
∣
=
2
，且
a
⃗
\vec a
a
與
b
⃗
\vec b
b
的夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
小華在繪圖軟體上畫出函數
y
=
log
3
x
y=\log_3 x
y
=
lo
g
3
x
的圖形，如圖，圖形上橫坐標為
a
a
a
與
9
a
9a
9
a
的兩點分別為
A
A
A
、
B
B
B
，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
。若直線
A
B
AB
A
B
的斜率為
1
16
\dfrac{1}{16}
16
1
，則
a
a
a
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・指數與根式
開始練習 →
臺南某高中數學社的闖關題設定正數
x
x
x
，已知
x
+
x
−
1
=
7
x+x^{-1}=7
x
+
x
−
1
=
7
，則
x
3
/
2
+
x
−
3
/
2
x^{3/2}+x^{-3/2}
x
3/2
+
x
−
3/2
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
臺南一間老屋要在庭院角落
P
P
P
架設三角形遮陽布
△
P
A
B
\triangle PAB
△
P
A
B
。兩條固定邊的長度分別為
P
A
=
6
PA=6
P
A
=
6
公尺、
P
B
=
10
PB=10
P
B
=
10
公尺，且兩邊的夾角
∠
A
P
B
=
120
∘
\angle APB=120^\circ
∠
A
P
B
=
12
0
∘
。這塊遮陽布的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校科展的波形展示器先顯示函數
y
=
sin
x
y=\sin x
y
=
sin
x
，再依序將圖形向右平移
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
，以
y
y
y
軸為基準水平壓縮為原來的
1
2
\frac{1}{2}
2
1
，接著縱向放大為
2
2
2
倍並上下顛倒，最後向上平移
1
1
1
。變換後的函數為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
校園廣場預計設置半徑為
2
2
2
公尺的圓形花圃，設計圖採用直角座標，長度單位為公尺。圓心為
O
=
(
t
,
2
)
O=(t,2)
O
=
(
t
,
2
)
，且花圃的圓周須與直線
L
:
3
x
+
4
y
−
3
=
0
L:3x+4y-3=0
L
:
3
x
+
4
y
−
3
=
0
相切。如圖為其中一種相切情形的示意圖。
t
t
t
的所有可能值所成的集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某捷運路線在平面座標圖上呈一直線，已知路線通過車站
A
(
−
3
,
2
)
A(-3,2)
A
(
−
3
,
2
)
、
B
(
5
,
6
)
B(5,6)
B
(
5
,
6
)
，規劃中的車站
C
(
t
,
9
)
C(t,9)
C
(
t
,
9
)
也位於同一直線上，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・幾何推理與證明
開始練習 →
校方規劃一塊形狀為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的三角形花圃，並設置四個測量標記：
P
P
P
位於三角形內且到三邊的距離相等；
Q
Q
Q
到三個頂點的距離相等；
R
R
R
是三條中線的交點；
S
S
S
是三條高所在直線的交點。工程表依序要填入「頂點
B
B
B
的對邊邊長記號」、「直線
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
的斜率記號」及「
P
,
Q
,
R
,
S
P,Q,R,S
P
,
Q
,
R
,
S
的名稱」。下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖，
A
(
−
1
,
1
2
)
A(-1,\frac12)
A
(
−
1
,
2
1
)
、
B
(
0
,
1
)
B(0,1)
B
(
0
,
1
)
、
C
(
1
,
2
)
C(1,2)
C
(
1
,
2
)
、
D
(
2
,
4
)
D(2,4)
D
(
2
,
4
)
為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
圖形上的四點。直線
ℓ
\ell
ℓ
通過
A
A
A
，斜率為
m
m
m
。若
B
B
B
、
C
C
C
均在直線
ℓ
\ell
ℓ
的下方，且
D
D
D
在直線
ℓ
\ell
ℓ
的上方，則
m
m
m
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台南某民宿要在長方形中庭旁設一條斜坡步道。平面圖上，入口到轉角的位移向量為
u
⃗
=
(
6
,
2
)
\vec{u}=(6,2)
u
=
(
6
,
2
)
，轉角到房門的位移向量為
v
⃗
=
(
3
,
k
)
\vec{v}=(3,k)
v
=
(
3
,
k
)
。為了讓兩段步道的夾角為直角，
k
k
k
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
台北捷運某站出口的東西向位置以實數
x
x
x
表示，且
−
2
<
x
<
3
-2<x<3
−
2
<
x
<
3
。系統將兩段校正距離的總和定義為
F
(
x
)
=
(
x
−
3
)
2
+
(
x
+
2
)
2
F(x)=\sqrt{(x-3)^2}+(\sqrt{x+2})^2
F
(
x
)
=
(
x
−
3
)
2
+
(
x
+
2
)
2
，下列何者與
F
(
x
)
F(x)
F
(
x
)
恆相等？