MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
681
題
・第 4／23 頁
清除全部篩選
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台南某國中園藝社把校園角落整理成兩個正方形花圃。若兩個花圃的邊長分別為
x
x
x
公尺與
y
y
y
公尺，已知兩邊長的和是
17
17
17
公尺，且用同樣兩邊長圍成的長方形面積是
60
60
60
平方公尺。請問兩個正方形花圃面積總和是多少平方公尺？
國中教育會考
‹
1
…
3
4
5
…
23
›
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
某圓形廣場的圓周上依序有四個座位點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，並連接對角線
A
C
AC
A
C
。已知
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
\angle DAB=(2x+20)^\circ
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
、
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
\angle BCA=(x+10)^\circ
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
、
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
\angle ACD=(x+30)^\circ
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
，求
∠
B
C
A
\angle BCA
∠
B
C
A
的度數。
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某校園花圃的外框為等腰梯形，上底長
6
6
6
公尺、下底長
18
18
18
公尺、兩腰各長
12
12
12
公尺，四邊皆與同一圓形花壇相切。此圓形花壇的半徑為多少公尺？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・圓的性質
開始練習 →
如圖，公園有一塊三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，三邊長分別為
A
B
=
13
AB=13
A
B
=
13
公尺、
A
C
=
20
AC=20
A
C
=
20
公尺、
B
C
=
11
BC=11
B
C
=
11
公尺。
A
A
A
到直線
B
C
BC
B
C
的垂足
H
H
H
位於
B
C
BC
B
C
通過
B
B
B
的延長線上。草地內規劃一個與三邊皆相切的圓形花壇，其半徑為
r
r
r
公尺。數對
(
B
H
,
r
)
(BH,r)
(
B
H
,
r
)
為何？
國中教育會考
比例、速率與百分比・分數與小數運算
開始練習 →
某校園活動的場地費占總經費的
1
4
\frac{1}{4}
4
1
；器材費是場地費的
3
5
\frac{3}{5}
5
3
；宣傳費是器材費的
4
3
\frac{4}{3}
3
4
；保險費是宣傳費的
1
8
\frac{1}{8}
8
1
。支付上述四項費用後，其餘經費全數作為備用金。備用金占總經費的比例為何？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
台灣一家口罩工廠的濾材設計孔徑為
0.00000012
0.00000012
0.00000012
公尺，但生產檔案記成
1.2
×
10
−
5
1.2\times 10^{-5}
1.2
×
1
0
−
5
公尺。將設計值統一改寫成科學記號後，下列哪一項核對結果正確？
國中教育會考
指數與根式・整數四則與運算順序
開始練習 →
某連鎖超商物流中心原有
3
12
3^{12}
3
12
張集點貼紙，配送給兩間門市，每間各配送
3
11
3^{11}
3
11
張。配送後，物流中心還剩多少張集點貼紙？
國中教育會考
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設多項式
P
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[
(
2
x
−
1
)
2
−
(
x
+
3
)
2
]
P(x)=(x+4)[(2x-1)^2-(x+3)^2]
P
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[(
2
x
−
1
)
2
−
(
x
+
3
)
2
]
，
Q
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[
(
x
+
3
)
2
−
(
2
x
−
1
)
2
]
Q(x)=(x+4)[(x+3)^2-(2x-1)^2]
Q
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[(
x
+
3
)
2
−
(
2
x
−
1
)
2
]
。在多項式整除的意義下，
P
(
x
)
÷
Q
(
x
)
P(x)\div Q(x)
P
(
x
)
÷
Q
(
x
)
的商為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・平面上的比例
開始練習 →
小芸站在水平地面上，以直立木棒測量電線桿高度，如圖。她的眼睛
E
E
E
離地
154
154
154
公分，眼睛到木棒的水平距離為
70
70
70
公分。握棒處
F
F
F
比眼睛所在的水平線低
18
18
18
公分，木棒上端
S
S
S
高出握棒處
39
39
39
公分。已知眼睛所在鉛直線與電線桿的水平距離為
10.5
10.5
10.5
公尺；小芸調整站位，使
E
E
E
、
S
S
S
與電線桿頂端
P
P
P
三點共線。則電線桿高約為多少公尺？
國中教育會考
邏輯推理與規律・分數與小數運算
開始練習 →
某高中園遊會服務台有一批餐券。第
k
k
k
輪發放時，發出當時剩餘餐券的
1
k
\frac{1}{k}
k
1
，依序進行第
2
2
2
輪、第
3
3
3
輪，直到第
20
20
20
輪。所有輪次結束後，剩餘餐券數量是原來的多少倍？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
阿哲用四根木條釘成一個四邊形木框
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，框內放進一個圓形時鐘，時鐘的邊緣恰好與木框的四條邊都相切（即四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
外切於圓）。如圖，各邊長（單位：公分）為
A
B
‾
=
x
+
2
\overline{AB}=x+2
A
B
=
x
+
2
、
B
C
‾
=
2
x
−
1
\overline{BC}=2x-1
B
C
=
2
x
−
1
、
C
D
‾
=
9
\overline{CD}=9
C
D
=
9
、
D
A
‾
=
x
+
4
\overline{DA}=x+4
D
A
=
x
+
4
，則木框
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的周長是多少公分？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
為了保證正整數
A
A
A
能被
1
1
1
到
10
10
10
的每個整數整除，原本只檢查
6
,
7
,
8
,
9
,
10
6,7,8,9,10
6
,
7
,
8
,
9
,
10
是否都是
A
A
A
的因數。現在要從這五個檢查條件中再刪去一個，只要通過其餘四個條件，就仍須保證原本的整除要求。下列哪一組「可刪去的因數條件、通過其餘四個條件的
A
A
A
的最小值」正確？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
圓形蓄水池邊緣有
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
三個測量點。已知
A
C
=
14
AC=14
A
C
=
14
公尺、
B
C
=
48
BC=48
B
C
=
48
公尺，且
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，則此蓄水池的面積為何？
國中教育會考
二次函數與拋物線・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
將方程式
21
(
x
−
8
)
2
−
966
(
x
−
8
)
=
24192
21(x-8)^2-966(x-8)=24192
21
(
x
−
8
)
2
−
966
(
x
−
8
)
=
24192
改寫成等價的方程式
(
x
−
a
)
2
=
b
(x-a)^2=b
(
x
−
a
)
2
=
b
，則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為下列何者？
國中教育會考
相似形與比例線段・平面上的比例
開始練習 →
如圖，某扇梯形窗框
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
D
‾
∥
B
C
‾
\overline{AD}\parallel\overline{BC}
A
D
∥
B
C
，兩底長比為
A
D
‾
:
B
C
‾
=
3
:
7
\overline{AD}:\overline{BC}=3:7
A
D
:
B
C
=
3
:
7
。點
P
P
P
、
Q
Q
Q
分別為對角線
B
D
‾
\overline{BD}
B
D
、
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的中點，且
P
Q
‾
=
8
\overline{PQ}=8
P
Q
=
8
公分，則
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
長多少公分？
國中教育會考
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
文具店以質因數指數向量比較兩批貼紙的數量。設
756
=
2
a
×
3
b
×
5
c
×
7
d
756=2^a\times 3^b\times 5^c\times 7^d
756
=
2
a
×
3
b
×
5
c
×
7
d
，
2500
=
2
p
×
3
q
×
5
r
×
7
s
2500=2^p\times 3^q\times 5^r\times 7^s
2500
=
2
p
×
3
q
×
5
r
×
7
s
，並定義
T
=
∣
a
−
p
∣
+
∣
b
−
q
∣
+
∣
c
−
r
∣
+
∣
d
−
s
∣
T=|a-p|+|b-q|+|c-r|+|d-s|
T
=
∣
a
−
p
∣
+
∣
b
−
q
∣
+
∣
c
−
r
∣
+
∣
d
−
s
∣
，則
T
T
T
的值為何？
國中教育會考
多項式與因式餘式定理・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
已知實數
p
,
q
p,q
p
,
q
使多項式恆等式
(
x
+
p
)
(
2
x
−
3
)
+
q
(
x
−
1
)
≡
2
x
2
+
5
x
−
9
(x+p)(2x-3)+q(x-1)\equiv 2x^2+5x-9
(
x
+
p
)
(
2
x
−
3
)
+
q
(
x
−
1
)
≡
2
x
2
+
5
x
−
9
對所有實數
x
x
x
成立，則
p
+
q
p+q
p
+
q
的值為何？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某機車停車棚的三角形支架，其三邊長分別為
x
+
1
x+1
x
+
1
公分、
x
+
7
x+7
x
+
7
公分與
2
x
2x
2
x
公分，其中
x
>
7
x>7
x
>
7
。若要僅根據邊長判定此支架為直角三角形，則
x
x
x
應為何值？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
某自行車隊記錄五段練習路線的長度，依序為
43
12
\frac{43}{12}
12
43
、
25
7
\frac{25}{7}
7
25
、
23
8
\frac{23}{8}
8
23
、
14
5
\frac{14}{5}
5
14
、
11
4
\frac{11}{4}
4
11
公里。若路線長度兩兩不同，第二長的路線長度是多少公里？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，校園內一座四邊形休憩區
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的四邊均與同一座圓形花圃相切，切點依序為
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
。已知
A
B
=
2
x
+
3
AB=2x+3
A
B
=
2
x
+
3
公尺、
B
C
=
x
+
8
BC=x+8
B
C
=
x
+
8
公尺、
C
D
=
x
+
5
CD=x+5
C
D
=
x
+
5
公尺、
A
D
=
14
AD=14
A
D
=
14
公尺，則休憩區的周長為多少公尺？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・幾何：角度與面積
開始練習 →
一家文具店製作正方形紙卡，邊長為
(
4
a
2
−
3
b
3
)
(4a^2-3b^3)
(
4
a
2
−
3
b
3
)
公分，且
4
a
2
>
3
b
3
>
0
4a^2>3b^3>0
4
a
2
>
3
b
3
>
0
。其面積展開後為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・因數個數與因數和
開始練習 →
糕餅店將
156
156
156
個鳳梨酥與
204
204
204
個蛋黃酥分裝成至少
2
2
2
盒內容相同的禮盒，兩種糕餅都要全部用完。所有可能的禮盒盒數之和為何？
國中教育會考
分數與小數運算・比例、速率與百分比
開始練習 →
早餐店一桶豆漿原有
2
1
6
2\frac{1}{6}
2
6
1
公升，已賣出
2
3
\frac{2}{3}
3
2
公升。若每杯可裝的容量為
1
1
1
公升的
12.5
%
12.5\%
12.5%
再加上
1
8
\frac{1}{8}
8
1
公升，剩下的豆漿相當於幾杯的容量？
國中教育會考
角度追蹤・圓的性質
開始練習 →
如圖，
O
O
O
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的外心，且位於三角形外部。已知
∠
B
O
C
=
132
∘
\angle BOC=132^\circ
∠
B
O
C
=
13
2
∘
，其中
∠
B
O
C
\angle BOC
∠
B
O
C
指小於
180
∘
180^\circ
18
0
∘
的角，圖示為符合條件的其中一種配置。考慮所有符合上述條件的三角形，
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的所有可能值為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・分數與小數運算
開始練習 →
將方程式
2
x
−
1
3
=
1
+
x
+
2
5
\frac{2x-1}{3}=1+\frac{x+2}{5}
3
2
x
−
1
=
1
+
5
x
+
2
的右邊合併成一個分式，再將兩邊通分並比較分子，應得到下列哪一個等式？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，市集設置兩個圓形無線網路涵蓋區，其邊界圓的圓心分別為
P
P
P
、
Q
Q
Q
，半徑分別為
x
x
x
公尺與
5
5
5
公尺，其中
x
≥
5
x\ge 5
x
≥
5
，且圓心距
P
Q
=
9
PQ=9
P
Q
=
9
公尺。若兩個邊界圓恰有兩個公共點，則
x
x
x
的範圍為何？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・平面上的比例
開始練習 →
如圖，校園中有一塊正方形花圃
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別為
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
、
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
、
D
A
‾
\overline{DA}
D
A
的中點，
M
M
M
為
E
F
‾
\overline{EF}
E
F
的中點。若
M
G
‾
=
10
\overline{MG}=\sqrt{10}
M
G
=
10
公尺，則
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
的長度為多少公尺？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
設
S
S
S
為
9
9
9
個
(
3
8
+
3
7
)
(3^8+3^7)
(
3
8
+
3
7
)
相加所得的和，則
S
4
\dfrac{S}{4}
4
S
等於下列何者？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
已知正整數
M
=
2
3
×
3
2
×
5
M=2^3\times3^2\times5
M
=
2
3
×
3
2
×
5
。正整數
N
N
N
與
M
M
M
的最大公因數為
2
×
3
2
×
5
2\times3^2\times5
2
×
3
2
×
5
，最小公倍數為
2
3
×
3
4
×
5
2
2^3\times3^4\times5^2
2
3
×
3
4
×
5
2
。則
N
N
N
為下列何者？
國中教育會考
相似形與比例線段
開始練習 →
如圖，梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
B
∥
C
D
AB\parallel CD
A
B
∥
C
D
，且
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
、
C
D
=
10
CD=10
C
D
=
10
。對角線
A
C
AC
A
C
、
B
D
BD
B
D
相交於
O
O
O
。過
O
O
O
作平行於
A
B
AB
A
B
的直線，交邊
A
D
AD
A
D
於
E
E
E
，則
E
O
EO
E
O
的長度為何？