畢氏定理與特殊直角三角形

這招在解什麼題

只要圖裡有 直角、又要求 長度或距離，幾乎都靠 畢氏定理。直角三角形的兩股 $a$、$b$ 與斜邊 $c$ 永遠滿足

$a^2 + b^2 = c^2.$

看到「垂直」「最短距離」「對角線」「切線」「弦」，先找出那個藏著的直角三角形，再套畢氏。

常見畢氏數：背起來省時間

有些整數邊組合反覆出現，認得就不必每次開根號：

• $3\text{–}4\text{–}5$、$5\text{–}12\text{–}13$、$8\text{–}15\text{–}17$、$7\text{–}24\text{–}25$、$9\text{–}40\text{–}41$
• 以及它們的倍數：如 $6\text{–}8\text{–}10$、$9\text{–}12\text{–}15$、$10\text{–}24\text{–}26$。

看到 $9$ 和 $12$ 兩股，直接讀出斜邊 $15$（$3\text{–}4\text{–}5$ 的 $3$ 倍），比硬算 $\sqrt{81+144}$ 快得多。

逆定理：反過來判斷是不是直角

畢氏定理反過來也成立：若三邊滿足 $a^2+b^2=c^2$（$c$ 為最長邊），則這個三角形一定有直角，直角在最長邊所對的頂點。

所以「哪組邊能排成直角三角形」這種題，就把最長邊平方、看是否等於另兩邊平方和：相等才是直角三角形。

特殊角：兩組必記的比例

有兩種直角三角形的邊長比是固定的，遇到 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 直接套：

• $45^\circ\text{–}45^\circ\text{–}90^\circ$（等腰直角）：邊長比 $1 : 1 : \sqrt{2}$。正方形對角線就是這型（邊 $s$ → 對角線 $s\sqrt{2}$）。
• $30^\circ\text{–}60^\circ\text{–}90^\circ$：邊長比 $1 : \sqrt{3} : 2$，其中 $1$ 對 $30^\circ$、$\sqrt{3}$ 對 $60^\circ$、$2$（斜邊）對 $90^\circ$。

例：斜邊 $16$、一銳角 $30^\circ$，則 $30^\circ$ 對邊 $=16\cdot\tfrac12=8$、$60^\circ$ 對邊 $=16\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3$。

圓裡的兩個招牌直角

圓的題目常「送」你一個直角三角形：

• 弦與圓心距：從圓心作弦的垂線會平分弦，於是「半弦、圓心到弦距離、半徑」構成直角三角形：$\left(\tfrac{\text{弦}}{2}\right)^2 + d^2 = r^2$。（如 $r=13$、$d=5$ → 半弦 $12$、整條弦 $24$。）
• 切線與半徑：切線垂直於過切點的半徑，於是「切線長、半徑、圓心到外點距離 $OP$」構成直角三角形：$(\text{切線長})^2 + r^2 = OP^2$。（如 $OP=13$、$r=5$ → 切線長 $12$。）

立體：空間對角線與「展開」求最短路徑

• 長方體（長寬高 $l,w,h$）的空間對角線 $=\sqrt{l^2+w^2+h^2}$（畢氏用兩次）。
• 求「沿表面爬行的最短路徑」時，把盒子攤平成平面，最短路徑變成平面上的直線，再用畢氏算。攤法不只一種，要比較幾種展開、取最小值。

常見陷阱（很多人在這裡掉分）

• 把斜邊和股搞混：$c$ 一定是最長邊、對著直角；把某條股當斜邊會整題錯。$a^2+b^2=c^2$ 只在 $c$ 是斜邊時成立。
• 只認裸的 $3\text{–}4\text{–}5$、漏掉倍數：$9\text{–}12\text{–}15$、$6\text{–}8\text{–}10$ 也是，別重算。
• 特殊角 $1$ 與 $\sqrt3$ 對應反了：短邊（$1$）對 $30^\circ$、長股（$\sqrt3$）對 $60^\circ$，記錯就長短顛倒。
• 弦忘了取一半：由 $\left(\tfrac{\text{弦}}{2}\right)^2 + d^2 = r^2$ 解出的是半弦 $\sqrt{r^2-d^2}$（半弦與圓心距 $d$ 是兩股、半徑 $r$ 是斜邊），最後別忘乘 $2$ 還原整條弦。
• 立體最短路徑用空間對角線硬算：沿表面爬不能直接用 $\sqrt{l^2+w^2+h^2}$，必須先展開再畢氏，且要試不同展開。

和其他技巧的關係

• 座標平面上兩點距離公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 就是畢氏定理，見 坐標幾何。
• 邊長比推進到角度與非直角三角形時，接 三角比與正餘弦定理。

學完動手

找出藏著的直角、認出畢氏數、套對特殊角比例——這些要靠多做幾題才會變快。到練習題庫做本知識點的原創分層練習，每題附完整繁中詳解。