因數與倍數

質因數分解是所有因數問題的共同起點，因數個數、最大公因數、最小公倍數都從同一張分解表讀出來。

一、核心圖解

把 $72$ 拆到底，所有問題都在這張表裡回答完。

質數	$2$	$3$
$72 = 2^3 \times 3^2$	指數 $3$	指數 $2$
因數個數怎麼算	$3 + 1 = 4$	$2 + 1 = 3$

因數個數 $= 4 \times 3 = 12$ 個。

為什麼是「指數 $+1$ 」：每個因數都長成 $2^a \times 3^b$ ，其中 $a$ 可以挑 $0,1,2,3$ （ $4$ 種）， $b$ 可以挑 $0,1,2$ （ $3$ 種）。挑法相乘就是因數個數，這就是乘法原理。

二、三行重點

先分解，再回答：因數個數、最大公因數、最小公倍數全部從指數讀出來。
因數個數 $=$ 各指數加一後相乘（ $0$ 也是一種選擇，所以要 $+1$ ）。
最大公因數取指數的小的，最小公倍數取大的。

三、逐步例題

題目：求 $\gcd(72, 120)$ 與 $\operatorname{lcm}(72, 120)$ 。

步驟	$72$	$120$	取法
分解	$2^3 \times 3^2$	$2^3 \times 3 \times 5$	，
$2$ 的指數	$3$	$3$	小的 $3$ / 大的 $3$
$3$ 的指數	$2$	$1$	小的 $1$ / 大的 $2$
$5$ 的指數	$0$	$1$	小的 $0$ / 大的 $1$

$\gcd = 2^3 \times 3 = 24$ ， $\operatorname{lcm} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$ 。

驗算： $\gcd \times \operatorname{lcm} = 24 \times 360 = 8640 = 72 \times 120$ 。這條恆等式對兩個數永遠成立，是最快的檢查方式。

四、常見陷阱

指數 $0$ 不能漏。 $72$ 裡沒有 $5$ ，等於 $5^0$ ；算 $\gcd$ 時它讓答案不含 $5$ 。
$\gcd \times \operatorname{lcm} = ab$ 只對兩個數成立，三個數以上不能直接套。
$1$ 也是因數。問「因數個數」時含 $1$ 與自己；問「真因數」才要扣掉。

五、立即練習

先把 $100$ 以內的數練到能秒分解，因數個數與 $\gcd$ 就會跟著變快。

開始練習：因數與倍數 →

一、核心圖解

把

72

拆到底，所有問題都在這張表裡回答完。

質數	$2$	$3$
$72 = 2^3 \times 3^2$	指數 $3$	指數 $2$
因數個數怎麼算	$3 + 1 = 4$	$2 + 1 = 3$

因數個數

= 4 \times 3 = 12

個。

為什麼是「指數 $+1$ 」：每個因數都長成

2^a \times 3^b

，其中

a

可以挑

0,1,2,3

（

4

種），

b

可以挑

0,1,2

（

3

種）。挑法相乘就是因數個數，這就是乘法原理。

三、逐步例題

題目：求

\gcd(72, 120)

與

\operatorname{lcm}(72, 120)

。

步驟	$72$	$120$	取法
分解	$2^3 \times 3^2$	$2^3 \times 3 \times 5$	，
$2$ 的指數	$3$	$3$	小的 $3$ / 大的 $3$
$3$ 的指數	$2$	$1$	小的 $1$ / 大的 $2$
$5$ 的指數	$0$	$1$	小的 $0$ / 大的 $1$

\gcd = 2^3 \times 3 = 24

，

\operatorname{lcm} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360

。

驗算：

\gcd \times \operatorname{lcm} = 24 \times 360 = 8640 = 72 \times 120

。這條恆等式對兩個數永遠成立，是最快的檢查方式。

四、常見陷阱

指數 $0$ 不能漏。

72

裡沒有

5

，等於

5^0

；算

\gcd

時它讓答案不含

5

。

$\gcd \times \operatorname{lcm} = ab$ 只對兩個數成立，三個數以上不能直接套。

$1$ 也是因數。問「因數個數」時含

1

與自己；問「真因數」才要扣掉。