數論基礎：整除、質因數與餘數

數論是 AMC 出題密度最高的領域之一。學校課程很少系統性地教，但 AMC 每年都考 — 這正是競賽生拉開差距的地方。

一、整除與質因數分解

任何大於 1 的整數都能唯一分解成質數的乘積（算術基本定理）。例如：

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

從質因數分解可以直接讀出三個常考量：

• 因數個數：指數各加一再相乘。$360$ 的因數有 $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$ 個。
• 最大公因數（GCD）：各質數取較小指數。
• 最小公倍數（LCM）：各質數取較大指數。

關鍵恆等式：$\gcd(a,b) \times \mathrm{lcm}(a,b) = a \times b$。

二、整除判別法

AMC 8 常直接考，AMC 10 常藏在大題裡：

三、餘數的思考方式

餘數運算的核心：加、減、乘都可以先取餘數再運算。

例：$7^{2026}$ 除以 $10$ 的餘數是多少？觀察 $7^1, 7^2, 7^3, 7^4$ 的個位數是 $7, 9, 3, 1$，每 4 個一循環。$2026 = 4 \times 506 + 2$，所以個位數與 $7^2$ 相同，餘數是 $9$。

這種「找循環節」的手法在 AMC 幾乎年年出現 — 個位數問題、星期幾問題、冪次餘數問題，本質都是它。

四、常見陷阱

• $1$ 不是質數，$2$ 是唯一的偶質數 — 分類討論時最容易漏。
• 「因數」包含 $1$ 和自己；題目問「真因數」（proper divisor）時要排除自己。
• 負數的餘數定義與直覺不同，AMC 範圍內通常只考非負整數，但要看清題目限制。

練習方向

先把「因數個數公式」與「循環節」練到反射等級，再進入 GCD/LCM 的應用題。本站練習題庫的數論題按這個順序由淺入深排列。