列舉與方程

先問一句「列得完嗎」：列得完就直接列，列不完才把中文翻成式子。

一、核心圖解

拿到文字題，先問一句：列得完嗎？

列得完就直接列。 列舉法的唯一要求是「有順序」，從小排到大，一個都不漏。

例：買 $5$ 元和 $8$ 元的貼紙，剛好花掉 $31$ 元，各買幾張？

$5$ 元買幾張	剩下的錢	能不能剛好買 $8$ 元的
$0$	$31$	除不盡
$1$	$26$	除不盡
$2$	$21$	除不盡
$3$	$16$	$16 \div 8 = 2$ ✓
$4$	$11$	除不盡
$5$	$6$	除不盡
$6$	$1$	除不盡

一路列到底，才敢說只有一組： $3$ 張 $5$ 元、 $2$ 張 $8$ 元。

列不完才列方程。 這時把中文一句一句翻成式子：

中文說法	翻成式子
比 $x$ 多 $5$	$x + 5$
是 $x$ 的 $3$ 倍	$3x$
比 $x$ 的 $2$ 倍少 $1$	$2x - 1$
兩者的和是 $20$	$\;\cdots + \cdots = 20$
平均是 $6$	$\dfrac{\text{總和}}{\text{個數}} = 6$

設誰當 $x$ ：先看題目最後問什麼，就設那個，算完不必再多繞一步。

二、三行重點

化繁為簡，以簡馭繁：數字小就先列舉，把抽象的問題變成看得見的幾行，看得見的最不會錯。
列不完才列方程：一句中文換一段式子，全部翻完再開始解，不要邊讀邊算。
算完代回原題檢查，不是代回自己列的式子，式子本身可能就列錯了。

三、逐步例題

題目：雞和兔共 $12$ 隻，腳共 $34$ 隻。雞有幾隻？

方法一：列方程

步驟	內容
設未知數	設雞有 $x$ 隻（題目問雞）
表示另一個	兔有 $12 - x$ 隻
列腳數	$2x + 4(12 - x) = 34$
解	$2x + 48 - 4x = 34 \Rightarrow -2x = -14 \Rightarrow x = 7$

方法二：假設法（不用未知數，小六更好上手）

步驟	內容
先假設全部都是雞	腳只有 $12 \times 2 = 24$ 隻
少了幾隻腳	$34 - 24 = 10$ 隻
一隻雞換成兔差幾隻腳	$4 - 2 = 2$ 隻
所以兔有幾隻	$10 \div 2 = 5$ 隻

兔 $5$ 隻，雞 $= 12 - 5 = 7$ 隻。

兩種方法都得到雞 $7$ 隻。代回原題檢查：雞 $7$ 、兔 $5$ ，共 $12$ 隻 ✓；腳 $7 \times 2 + 5 \times 4 = 34$ ✓。

假設法的好處是全程只有加減乘除，卡在「設未知數」的孩子可以先走這條。

四、常見陷阱

列舉沒有順序。跳著列一定會漏，也不知道自己列完了沒。要從小排到大。
設了 $x$ 卻沒說是什麼。後面算出 $x = 7$ 就不知道是雞還是兔，記得寫「設雞有 $x$ 隻」。
代回自己列的式子檢查。式子列錯的話代回去當然會通過，要代回題目原文。

五、立即練習

先練「判斷該列舉還是該列方程」，判斷對了，後面只是計算。

開始練習：列舉與方程 →

這張卡只講了最常用的那一招。第 4 單元・列舉與方程完整的 2 堂課、2 場線上模考與成績報告，收在2027 考私中數學衝刺方案裡。