容斥原理

兩集合與三集合的容斥公式，用文氏圖看懂「為什麼要減、又為什麼要加回來」，別再重複計算。

一、核心圖解

兩個圈重疊的地方被算了兩次，所以要減掉一次。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

三個集合時，先減掉三塊兩兩重疊，但中央那塊被減過頭，要再加回來：

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

題目： $40$ 人的班上， $25$ 人喜歡數學， $20$ 人喜歡科學， $8$ 人兩科都喜歡。兩科都不喜歡的有幾人？

步驟	做法	結果
1	至少喜歡一科 $=	A
2	兩科都不喜歡 $=$ 總數 $-$ 至少一科	$40 - 37 = 3$

驗算：只喜歡數學 $= 25 - 8 = 17$ ，只喜歡科學 $= 20 - 8 = 12$ 。 $17 + 12 + 8 + 3 = 40$ ✓ 四塊加起來等於總數，表示沒有重複也沒有遺漏。

先練兩集合到不需要畫圖，再進三集合。

一、核心圖解

兩個圈重疊的地方被算了兩次，所以要減掉一次。

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

三個集合時，先減掉三塊兩兩重疊，但中央那塊被減過頭，要再加回來：

|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|

二、三行重點

加減交替：單個相加、兩兩相減、三個再相加。

「都不」要用總數扣：

|\overline{A} \cap \overline{B}| = \text{總數} - |A \cup B|

。

先畫圈再填數：從最裡面（三者都有）往外填，不會重複也不會漏。

三、逐步例題

題目：

40

人的班上，

25

人喜歡數學，

20

人喜歡科學，

8

人兩科都喜歡。兩科都不喜歡的有幾人？

步驟	做法	結果
1	至少喜歡一科 $=	A
2	兩科都不喜歡 $=$ 總數 $-$ 至少一科	$40 - 37 = 3$

驗算：只喜歡數學

= 25 - 8 = 17

，只喜歡科學

= 20 - 8 = 12

。

17 + 12 + 8 + 3 = 40

✓ 四塊加起來等於總數，表示沒有重複也沒有遺漏。

四、常見陷阱

「 $25$ 人喜歡數學」包含兩科都喜歡的人。除非題目寫「只喜歡數學」，否則一定含重疊。

別忘了「都不」那一塊。文氏圖外面還有空間，總數不等於三塊相加。

三集合時中央加回來只加一次。被減三次、原本算三次，淨值為

0

，所以補一次剛好。