容斥原理（Inclusion–Exclusion）

這招在解什麼題

只要題目在問 「至少符合其中一項」、或幾個集合有 重疊，直接把各項數量加起來就會把重疊部分重複算。容斥原理（Inclusion–Exclusion） 就是「先全部加進來、再把多算的減掉」的系統修正法。

最常見的招牌題：一班 $36$ 人，買雞蛋糕 $20$ 人、買地瓜球 $14$ 人、兩樣都買 $6$ 人，問至少買一樣幾人？直接 $20+14=34$ 會把「兩樣都買」那 $6$ 人算兩次，所以要減一次：

$20 + 14 - 6 = 28.$

兩個集合：加起來，減掉重疊一次

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$

$|A|$ 與 $|B|$ 各自都把 $A\cap B$ 算了一次，合計算了兩次，而它只該算一次，所以減一次 $|A\cap B|$ 補回來。機率版本一模一樣：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

只有互斥（$A\cap B=\varnothing$）時才能直接相加。看到「或」就先問：這兩件事會不會同時發生？會，就得減重疊。

三個集合：加單項、減兩兩、補三重

$|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| \;-\; |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| \;+\; |A\cap B\cap C|.$

節奏是奇數層加、偶數層減：先加所有單項，減掉所有「兩兩交集」，再加回「三者交集」。三者都符合的元素在單項被加 $3$ 次、在兩兩交集被減 $3$ 次，若不補回就變成 $0$——所以最後 $+1$ 次把它救回來。

反面更快：補集法（餘事件）

當「至少一個」的情況很雜、但「一個都不符合」很單純時，從全部扣掉反面往往更快：

$|\text{至少一個}| = |\text{全部}| - |\text{一個都沒有}|.$

這其實是容斥的孿生兄弟。經典場景：「排成一列，甲、乙不相鄰」——正面分類很煩，用全部排法 $-$ 甲乙相鄰的排法（把甲乙綁成一綑）一步到位。機率的 $P(\text{至少一次}) = 1 - P(\text{一次都沒有})$ 也是同一招。

一個高頻應用：格子路徑「避開某些點」

從 $S$ 到 $T$ 只能往東或往北的最短路徑數，是個組合數。若必須避開某些施工路口，就用容斥：

$(\text{可走路徑}) = (\text{全部路徑}) - \sum(\text{經過某禁點}) + \sum(\text{經過兩禁點}) - \dots$

「經過點 $P$ 的路徑數」＝（$S$ 到 $P$）×（$P$ 到 $T$）。多個禁點時，被重複扣掉的「同時經過兩點」要再加回來——又是加減加減的容斥節奏。（若兩個禁點無法同時出現在一條只往東北走的路徑上，這一項就是 $0$。）

常見陷阱（很多人在這裡掉分）

• 看到「或」就直接相加：沒先確認互斥，就漏減了重疊，答案偏大。
• 三集合只減不補：減完兩兩交集忘了 $+|A\cap B\cap C|$，把三重區域整個扣成 $0$。
• 符號層次搞錯：容斥是**加、減、加、減……**交替，跳層或連續同號就全錯。
• 正面硬算：明明補集法（$1-$ 反面）兩步搞定，卻去窮舉正面所有情況。
• 交集算錯：$|A\cap B|$ 常是最容易低估的一項——重疊沒抓乾淨，整條式子跟著錯。

和其他技巧的關係

• 補集法／餘事件是容斥的特例，也是基礎機率裡「至少一次」的標準解法。
• 當情況實在無法整齊分層時，就退回 系統列舉與分類討論，把情形切乾淨再一一數。

學完動手

判「該不該減、減幾次、要不要補回」是容斥的全部功夫。到練習題庫做本知識點的原創分層練習，每題附完整繁中詳解。