幾何：角度追蹤與面積技巧

AMC 的幾何不考證明，考的是快速看出結構。兩個最高頻的題型：角度追蹤與面積計算。

一、角度追蹤的工具箱

按出現頻率排序：

1. 三角形內角和 $180°$、外角 = 不相鄰兩內角和
2. 等腰三角形：兩底角相等 — 看到等長線段就標角
3. 平行線：同位角、內錯角相等
4. 圓：圓心角 = 2 × 圓周角；同弧圓周角相等；圓內接四邊形對角互補

實戰流程：把已知角全部標上 → 找等腰（半徑、等長邊）→ 設未知角為 $x$ 沿圖傳遞 → 列一條內角和方程。AMC 8 的角度題幾乎都能用這四步解完。

二、面積的三板斧

1. 等積變形

同底等高的三角形面積相等。頂點沿平行於底邊的直線移動，面積不變 — 這是「看起來很難的圖」最常見的破解點。

2. 切割與補形

不規則圖形 = 規則圖形相加減。格點圖形可用面積分割，或直接套皮克定理：

$A = I + \frac{B}{2} - 1$

（$I$ 為內部格點數、$B$ 為邊界格點數。）

3. 比例法

兩三角形同高時，面積比 = 底邊比。配合質心、中點、分點，AMC 10 大量考「面積比」而不是面積本身：

例：$\triangle ABC$ 中 $D$ 在 $BC$ 上且 $BD:DC = 2:1$，則 $[\triangle ABD] : [\triangle ACD] = 2:1$（同高）。連續套用就能處理任意分點結構。

三、常備公式

• 三角形：$A = \frac{1}{2}ab\sin C$、海龍公式 $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
• 正三角形邊長 $s$：$A = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$
• 30-60-90 與 45-45-90 三角形的邊長比 — 必須反射性想起
• 圓：弓形面積 = 扇形 − 三角形

四、常見陷阱

• 圖「看起來」是直角不代表是直角 — AMC 的圖常刻意不按比例。
• 相似三角形面積比 = 邊長比的平方，體積比是立方。
• 單位圓滾動問題：圓心走的路徑與圓周接觸的路徑不同。

練習方向

角度追蹤先練到「每題 2 分鐘內」，面積題重點練比例法 — 它是 AMC 10 後段幾何大題的主要解法。