分數與小數

一、核心圖解

分母是「兩個連續整數相乘」時，一定可以拆成兩項相減。

一般式：$\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$。

把它們加起來，中間的 $-\frac{1}{2}$ 和 $+\frac{1}{2}$ 抵銷、$-\frac{1}{3}$ 和 $+\frac{1}{3}$ 抵銷……最後只剩第一項和最後一項。

二、三行重點

• 化繁為簡，以簡馭繁：看到連續整數相乘的分母就想拆項：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，把一個難算的換成兩個好算的。
• 拆完只剩頭尾，中間全部成對消掉，不要真的去通分。
• 分子不是 $1$ 時先調整：$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$，差幾就補幾。

三、逐步例題

題目：計算 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{9 \times 10}$。

答案 $= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$。

化繁為簡：九項一路加下去，算很久，錯了也看不出來錯在哪。先把範圍縮到前兩項試一次：

• 老實加：$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$
• 用拆項：$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

兩邊一樣，就知道拆項這一招是對的，才敢放心用在九項上。

這一步不是在檢查上面 $\frac{9}{10}$ 這個答案，而是在確認「方法」可不可信。小範圍先試通，大範圍才下手：以簡馭繁。

四、常見陷阱

• 分子不是 $1$ 就直接套公式。$\frac{1}{n(n+2)}$ 拆出來要再乘 $\frac{1}{2}$，因為兩個分母差 $2$。
• 循環小數當成有限小數。$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$，用 $0.33$ 去算會差一點點，選擇題常設這種陷阱。
• 分數與小數混算沒統一。先全部化成分數再算，最後才視需要轉回小數。

五、立即練習

拆項練熟之後，長長一串分數加法會變成兩個數相減。

開始練習：分數與小數 →

這張卡只講了最常用的那一招。第 2 單元・分數與小數完整的 4 堂課、2 場線上模考與成績報告，收在2027 考私中數學衝刺方案裡。