計數與機率：從加法原理到對稱性

計數（counting）是 AMC 10 後半段大題的常客，也是最容易「自以為會」的領域 — 列式很快，但多算或漏算一種情形就全錯。

一、兩條地基原理

• 加法原理：分類互斥時，總數 = 各類相加。
• 乘法原理：分步驟進行時，總數 = 各步相乘。

判斷「該加還是該乘」的口訣：分類用加、分步用乘。一道題通常先分類（加），每一類內再分步（乘）。

二、排列與組合

$P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

選擇用哪個的判準只有一個：順序重不重要。排隊、排座位 → 排列；選代表、選子集 → 組合。

常用恆等式：$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$，以及帕斯卡法則 $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$。

三、補集與「至少」

題目出現「至少一個」幾乎都該想補集：

$\text{至少一個} = \text{全部} - \text{一個都沒有}$

例：擲三顆骰子，至少出現一個 6 的機率？直接分類要算三種情形；用補集一步到位：$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{91}{216}$。

四、機率 = 計數的除法

AMC 範圍內的機率題，本質是兩道計數題相除：

$P = \frac{\text{符合條件的情形數}}{\text{所有等可能的情形數}}$

最大陷阱在分母：必須是「等可能」的樣本空間。擲兩顆骰子點數和為 7，分母是 36（有序對），不是 21（無序對）— 用無序對時每種組合的機率不相等。

五、重複計算的防呆

計數錯誤九成是重複計算。三個防呆習慣：

1. 小例驗證：把 $n$ 縮小到 3 或 4，暴力列舉對答案。
2. 換個方法再算一次：直接算 vs 補集算，兩個答案要一致。
3. 圓桌排列、有相同物的排列，先想「除以什麼對稱」。

練習方向

從純計數（不含機率）開始，每題強迫自己寫出「分類還是分步」的判斷，再進入機率與幾何機率。