計數與機率樹

一、核心圖解

計數題的關鍵不是公式，是把選擇的順序畫成一棵樹。跟著按「下一步」。

1. 步驟 1 / 5

   ① 從起點出發，先攤開全部可能

   不要急著想「至少一正」有幾種，先把全部可能攤開。

2. 步驟 2 / 5

   ② 第一枚：分岔成 2 條

   第一枚是 正 或 反，樹在這裡分成 $2$ 條路。

3. 步驟 3 / 5

   ③ 第二枚：每條路各再分 2 條 $\Rightarrow 2 \times 2 = 4$

   四條完整路徑。這就是乘法原理：$2 \times 2 = 4$。

4. 步驟 4 / 5

   ④ 挑出符合條件的葉子：$3$ 條

   圈起來的三條符合「至少一正」，機率 $= \dfrac{3}{4}$。

5. 步驟 5 / 5

   ⑤ 驗算：用反面思考

   $P = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$。「至少」型的題目幾乎都該用反面驗算一次。

目前第 1 步，共 5 步

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二、三行重點

• 「而且」用乘、「或者」用加：分步驟完成 $\Rightarrow$ 相乘；分情況二選一 $\Rightarrow$ 相加。
• 機率 $=$ 想要的路徑數 $\div$ 全部路徑數（每條路等可能時才成立）。
• 看到「至少」就想反面：$1 -$ 反面機率，通常快很多。

三、逐步例題

題目：從 $1, 2, 3, 4, 5$ 中任選兩個不同的數，兩數之和是偶數的機率？

兩數之和為偶 $\Rightarrow$ 同奇或同偶

1. 都是奇數

   奇數有 $1, 3, 5$ 三個，任選兩個：$\binom{3}{2} = 3$ 種。

   $3$ 種

2. 都是偶數

   偶數只有 $2, 4$，任選兩個：$\binom{2}{2} = 1$ 種。

   $1$ 種

全部取法為 $\binom{5}{2} = 10$ 種，所以機率 $= \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$。

四、常見陷阱

• 順序算不算？ 「選兩個數」不管順序（用組合）；「排成一列」要管（用排列）。看到「選出」多半不管順序。
• 有沒有放回？ 抽完放回 $\Rightarrow$ 每次分母不變；不放回 $\Rightarrow$ 分母逐次減一。
• 等可能才能用「數路徑」。若各路徑機率不同，必須逐條乘機率再相加。

五、立即練習

先練「把題目畫成樹」，再練組合數，順序是這樣，不要反過來。

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