計數與機率

一、核心圖解

一句話判斷該加還是該乘。

順序算不算，決定用排列還是組合：

組合就是排列除掉「重複算的次數」。甲乙和乙甲排隊算兩種，當代表只算一種，所以要除以 $2$。

機率的定義：

$P = \frac{\text{符合條件的結果數}}{\text{所有等可能的結果數}}$

分母一定要是「等可能」的結果。這是機率題最常出錯的地方。

二、三行重點

• 「或」用加、「再」用乘，但「或」要先確認兩邊沒有重疊，重疊的要扣掉。
• 分母要用等可能的結果數，不是「看起來有幾種答案」。
• 先想清楚有沒有放回、順序算不算，這兩件事會讓答案差好幾倍。

三、逐步例題

題目：擲兩顆骰子，點數和是 $7$ 的機率是多少？

答案：$\frac{1}{6}$。

為什麼分母是 $36$ 不是 $11$：點數和雖然只有 $2$ 到 $12$ 共 $11$ 種，但它們機率不一樣（和是 $7$ 比和是 $2$ 容易得多），不是等可能，不能當分母。

四、常見陷阱

• 把「和的種類數」當分母。上面那題若寫成 $\frac{1}{11}$ 就錯了。
• $(1,6)$ 和 $(6,1)$ 只算一次。兩顆骰子是分得出來的，要算兩種。
• 兩種情況有重疊卻直接相加。$1$ 到 $30$ 中「$2$ 或 $3$ 的倍數」是 $15 + 10 - 5 = 20$ 個，那個 $-5$ 是同時被兩邊算到的 $6$ 的倍數。直接加會多算。
• 有無放回沒看清楚。抽出不放回時，第二次的分母會少一個。

五、立即練習

每題先寫下「分母是幾」，寫對了大半題目就對了。

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