代數技巧：方程、不等式與數列

AMC 的代數題不考繁複計算，考的是化簡的眼光。會觀察結構的人三行解完，硬算的人十分鐘還在展開。

一、巧設未知數

設「對的」未知數比解方程更重要：

• 對稱結構：設總和 $s = x+y$、乘積 $p = xy$，而不是分別解 $x, y$。
• 連續整數：設中間項為 $n$，三個連續整數是 $n-1, n, n+1$，和直接是 $3n$。
• 平均數問題：設偏差而非原值 — 「比平均多幾分」往往讓方程瞬間變短。

二、必背恆等式

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ $x^3 \pm y^3 = (x \pm y)(x^2 \mp xy + y^2)$ $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

最後一條是 AMC 最愛：題目給 $x+y$ 與 $xy$，問 $x^2+y^2$ 或 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ — 不需要解出 $x, y$ 本身。

Simon's Favorite Factoring Trick（SFFT）：形如 $xy + ax + by$ 的式子加上常數即可因式分解：

$xy + ax + by + ab = (x+b)(y+a)$

整數解問題看到 $xy$ 與一次項同時出現，先想 SFFT。

三、二次函數與韋達定理

$ax^2+bx+c=0$ 的兩根 $r, s$ 滿足：

$r+s = -\frac{b}{a}, \qquad rs = \frac{c}{a}$

AMC 問「兩根的平方和」「兩根的倒數和」時，永遠用韋達 + 恆等式組合，不解根。配方 $a(x-h)^2+k$ 則處理最大最小值問題。

四、數列

• 等差：和 $= \frac{(\text{首項}+\text{末項}) \times \text{項數}}{2}$。重點在「項數」的數法：$a$ 到 $b$ 公差 $d$，共 $\frac{b-a}{d}+1$ 項。
• 等比：$S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}$；無窮等比（$|r|<1$）$S = \frac{a}{1-r}$。
• 裂項相消：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，連加時中間全消。看到分母是相鄰整數乘積就用它。

五、常見陷阱

• 除以變數前先確認不為零 — 漏掉 $x=0$ 的解是經典失分。
• 平方兩邊會產生增根，解完要代回驗算。
• 不等式兩邊乘負數要變號；乘以「不知正負」的變數需要分類討論。

練習方向

把「給 $x+y, xy$ 求對稱式」與 SFFT 練熟 — 這兩招覆蓋 AMC 10 代數題的三分之一以上。