某校生態池中的布袋蓮持續蔓延。設開始觀察後第 $t$ 個月的覆蓋面積為 $f(t)$ 平方公尺，且 $f(t)=a^t$，其中 $a>1$。已知第 $1$、$2$、$3$ 個月的覆蓋面積依序為 $2$、$4$、$8$ 平方公尺。依此模型，第 $5$ 個月的覆蓋面積為多少平方公尺？